Taller07_DerivacionNumerica_2020_2

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Mg. Johnny R. Avendaño Q. Pag. No. 1 
 
Universidad Nacional Mayor de San Marcos 
Facultad de Ingeniería de Sistemas e Informática 
E.P. de Ingeniería de Sistemas 
Laboratorio de Métodos Numéricos 2020 - 2 
 Derivación numérica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Objetivo: El objetivo de este taller1, es que el alumno implemente, aplique y compare las 
estrategias de resolución numérica al aproximar la derivada numérica, a partir de una 
determinada información (discreta o analítica). Para esto se hará uso de Octave2 a través de 
su respectiva IDE. 
 
Duración de la sesión: 2 Horas. 
Lugar de realización: Laboratorio Virtual de cómputo. 
 
El conocimiento requerido para realizar esta sesión es de haber asimilado los conceptos 
básicos de programación en Octave. 
 
El desarrollo tendrá la siguiente estructura de temas: 
 
1. Derivación numérica basada en las fórmulas de Taylor. 
a) Formula progresiva. 
b) Formula regresiva. 
c) Formula centrada 
2. Derivación numérica basada en la extrapolación de Richardson. 
3. Ejercicios propuestos. 
4. Referencias. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 Estos apuntes de laboratorio han sido redactados a fin de orientar y motivar al alumno en la implementación computacional de 
los algoritmos tratados en el curso de Métodos Numéricos, sirviendo como guía de trabajo en cada sesión; no obstante, el alumno 
debe ampliar los temas desarrollados con la ayuda de la bibliografía sugerida. 
2 Octave es una herramienta computacional dotado de un lenguaje de programación propio muy parecido al lenguaje C, además 
de poseer una sintaxis muy parecida al de Matlab. https://www.gnu.org/software/octave/ apuntes. 
Taller 07 
 
 
Derivación numérica 
 
Derivación numérica basado en las 
fórmulas de Taylor. 
 Mg. Johnny R. Avendaño Q. Pag. No. 2 
 
Universidad Nacional Mayor de San Marcos 
Facultad de Ingeniería de Sistemas e Informática 
E.P. de Ingeniería de Sistemas 
Laboratorio de Métodos Numéricos 2020 - 2 
 Derivación numérica 
 
 
1. DERIVACIÓN NUMÉRICA BASADA EN LAS FORMULAS DE TAYLOR. 
 
a) Formula progresiva. 
𝑓′(𝑥) = 
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
+ 𝑂(ℎ) 
 
b) Formula regresiva. 
𝑓′(𝑥) = 
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥 − ℎ)
ℎ
+ 𝑂(ℎ) 
 
c) Formula centrada. 
𝑓′(𝑥) = 
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥 − ℎ)
2ℎ
+ 𝑂(ℎ2) 
 
1) Realice un programa (en octave) que, a partir de las fórmulas progresiva y centrada, 
muestre un cuadro comparativo (de la derivada) para diferentes valores del tamaño 
de paso; esto es, para la aproximación del valor 𝑓′(0,3) considerando la función 
𝑓(𝑥) = 𝑒−𝑥
2
, considere los valores del tamaño de paso ℎ = 0,5 ; ℎ = 0,1 ; ℎ = 0,05 ; 
ℎ = 0,01 ; ℎ = 0,005 y ℎ = 0,0001 
 
2) En el ejercicio anterior, presente gráficamente (comparación visual) la derivada 
numérica de 𝑓(𝑥) = 𝑒−𝑥
2
 por ambos métodos, considerando una misma cantidad de 
nodos para ambos casos, en todo el intervalo [−2; 2]. 
 
 
2. DERIVACIÓN NUMÉRICA BASADA EN LA EXTRAPOLACIÓN DE RICHARDSON 
 
La extrapolación de Richardson se aplica según el tipo de formula (de Taylor) 
empleado; si consideramos la fórmula progresiva, la extrapolación (de Richardson) se 
escribe como 
𝐷0(ℎ) = 𝐷(ℎ) = 
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
 
 
𝐷𝑗+1(ℎ) =
2𝑗+1 𝐷𝑗 (
ℎ
2) − 𝐷𝑗
(ℎ)
2𝑗+1 − 1
 ; 𝑗 ≥ 0 
 
y su representación mediante un esquema de diferencias es 
 
 
 
 
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Universidad Nacional Mayor de San Marcos 
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E.P. de Ingeniería de Sistemas 
Laboratorio de Métodos Numéricos 2020 - 2 
 Derivación numérica 
 
 
1) Redacte un programa en Octave que aproxime el valor de 𝑓′(0,3) considerando la 
función 𝑓(𝑥) = 𝑒−𝑥
2
, empleando (inicialmente) ℎ = 1 y 5 iteraciones, debe mostrar las 
aproximaciones a traves de un esquema piramidal (de diferencias). 
 
2) En el ítem anterior, modifique lo necesario para que el programa solicite la función, el 
tamaño de paso y el número de iteraciones. 
 
3. EJERCICIOS PROPUESTOS 
 
1) En un circuito con un voltaje impreso 𝐸(𝑡) y una inductancia 𝐿 , la primera ley de 
Kirchoff nos da la siguiente relación 
𝐸 = 𝐿 ∙
𝑑𝑖
𝑑𝑡
+ 𝑅 ∙ 𝑖 
 
donde 𝑅 es la resistencia del circuito e 𝑖 es la corriente. Suponga que medimos la 
corriente con varios valores de 𝑡 y obtenemos 
 
𝑡 1 1,01 1,02 1,02 1,04 
𝑖 3,1 3,22 3,24 3,28 3,24 
 
donde 𝑡 se mide en segundos, 𝑖 se da en amperes, la inductancia 𝐿 es una constante 
de 0,98 henrios y la resistencia es de 0,142 ohm. Aproxime el voltaje para 𝑡 = 1 . 
 
2) Producto de unas investigaciones arqueológicas se ha podido determinar que 
Orsipos3 al participar en las XV Olimpiadas Griegas (720 A.C.) alcanzó las siguientes 
mediciones 
 
Tiempo (𝑠) 0 2 4 6 8 10 
Distancia (𝑚) 0 14 37 64 85 100 
 
a) Se desea saber cuál fue la distancia recorrida cuando Orsipos alcanzó la mitad de 
su tiempo de marca. 
b) Obtenga también la velocidad para el mismo tiempo. 
 
3) La velocidad de un coche que se desplaza por una carretera recta ha sido estimada 
por un radar. Los datos de las observaciones se muestran en la siguiente tabla, en la 
que el tiempo se da segundos y la distancia en metros 
 
Tiempo 0 3 5 8 13 
Distancia 0 225,1 383,9 623,4 993,2 
 
a) Estime la posición del coche a los 10 segundos. 
b) Determine si el coche ha excedido la velocidad máxima autorizada de 55 km por 
hora. En ese caso, ¿en qué instante excede el coche dicho límite por primera vez? 
 
4. REFERENCIAS 
 
• Burden R. L. & Douglas J. F. Métodos Numéricos. Internacional Thompson Editores. 
2013 
 
3 Cuenta la historia que, en aquella oportunidad, Orsipos perdió la ropa durante la carrera y continuó corriendo desnudo, el 
ejemplo creó escuela a partir de esa fecha. En el 450 A.C. los griegos alzaron un monumento en su memoria y fijaron en una 
inscripción el hecho, que valoraron éticamente como símbolo de los vínculos entre desnudez, deportividad y moralidad.