Tarea_13__aplicaciones_ED_1er_orden_

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Ecuaciones Diferenciales
Tarea No. 13
Nombre del Alumno: __________________________________Matrícula: _________________
Fecha: ____________________
Aplicaciones de las ED de primer orden
1. Gracias a ciertos estudios realizados se sabe que la mosca del mediterráneo crece en 
proporción al número presente en cada momento. Después de 2 horas de observación se 
forman 800 familias de la mosca y después de 5 horas se forman 2000 familias. Encontrar:
a) La ecuación que representa el número de familias en función del tiempo.
b) El número de familias que había al inicio.
Respuesta: a) y = 434 e0.3'5t
 b) y = 434
2. La población de cierta ciudad aumenta proporcionalmente al número de habitantes que hay 
en un momento dado en ella. Si después de 5 años la población se ha triplicado y después de 8 
años la población es de 45 000 habitantes, hallar el número de habitantes que había 
inicialmente en la ciudad.
Respuesta: 7 760 habitantes
3. Una industria le ha encargado a una de sus empacadoras procesar pescado para producir un 
concentrado rico en proteínas para mejorar la alimentación de los consumidores. Se sabe que 6 
kg de pescado son los que se necesitan para producir un kg de este producto. Para esto hay 
que secar el pescado en cuartos especiales, en los cuales se hace pasar una corriente de aire 
seco sobre ellos para quitarles la humedad. Por otra parte, los investigadores han demostrado 
que la velocidad de secado es proporcional a la humedad que contenga el pescado y además 
que a los 25 minutos del proceso se ha perdido la mitad de la humedad inicial. Para producir 
este concentrado se requiere que el pescado contenga solamente el 10% de su humedad 
inicial. ¿Cuánto tiempo tiene que permanecer el pescado en el cuarto para perder el 90% de su 
humedad?
Respuesta: 1 hora 23 minutos, aproximadamente.
4. La tasa de crecimiento de una población es proporcional al número de sus habitantes. Si 
después de 18 años la población se ha duplicado y después de 25 años la población es de 200 
000 habitantes, hallar: a) el número inicial de habitantes y b) cuántos habitantes tendrá al cabo 
de 100 años.
Respuestas: a) 76 372 habitantes
b) 3 588 954 habitantes
Ing. Norma Cervantes Rosales, MEE                              Tarea 13: aplicaciones de las ED 1er orden
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5. En cierto zoológico se ha observado que la cantidad de animales aumenta proporcionalmente 
al número actual de dichos animales. Si después de 5 años su número se ha duplicado y 
después de siete años el número de animales es 576, hallar el número de animales con que se 
contaba el día de la inauguración del jardín zoológico.
Respuesta: 218 animales.
6. Ciertas enfermedades se propagan mediante picaduras de insectos (la malaria) , o por 
transmisiones (la tifoidea). Supongamos que x representa la cantidad de transmisores en una 
cierta población, y y es la cantidad de sanos, en el instante t. Si los transmisores se eliminan de 
la población con una rapidez β, de manera que se cumple:
x
dt
dx β−=
Y si la enfermedad se propaga con una rapidez proporcional al producto xy, tendremos:
xy
dt
dy α−=
a) Para x(0)= Xo, hallar x en cualquier instante t.
b) Para y(0)= Yo, hallar y en cualquier instante t (usar el resultado anterior).
c) Cuando t∞, ¿cuál es el valor límite de y y qué significa?
Respuestas: a) toeXx
β−=
b) β
β /)1(0 −
−
=
teax
oeyy
β/0ax
oeyy
−=
7. Según la Ley de Enfriamiento de Newton, la velocidad a que se enfría una sustancia al aire 
libre es proporcional a la diferencia de temperaturas de la sustancia y del aire. Si la temperatura 
del aire es 28° y la sustancia se enfría de 100° a 80° en 12 minutos, ¿en qué momento estará a 
una temperatura de 50°?
Respuesta: t = 43.72 minutos
8. Una sustancia se enfría desde 100° hasta 70° en 15 minutos estando al aire libre 
(temperatura del aire 20°), hallar la temperatura después de 30 minutos.
Respuesta: 51.25°
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9. Un cuerpo a una temperatura desconocida se coloca en una habitación en la cual hay una 
temperatura constante de 18°. Si después de 15 minutos la temperatura del cuerpo es de 8° y 
después de 25 minutos es de 12°, hallar la temperatura inicial del cuerpo.
Respuesta: -3.5°
10. Se desea enfriar una sustancia, la cual se introduce en un refrigerador que está a una 
temperatura constante de 5°. Al cabo de 30 minutos, la sustancia está a 8° y después de 40 
minutos está a 6°. Hallar la temperatura inicial de la sustancia.
Respuesta: 86°
11. Un cuerpo a una temperatura de 30° está inmerso en un baño cuya temperatura se 
mantiene en 50°. Después de una hora la temperatura del cuerpo es de 40°. Hallar: a) la 
temperatura del cuerpo después de dos horas a partir de la inmersión, y b) el tiempo que se 
necesita para que la temperatura del cuerpo sea de 48°.
Respuestas: a) 45°
b) 3 hrs 19 mins. 18 segs.
12. La temperatura del aire es de 40°. Si un objeto se enfría en el aire pasando de una 
temperatura de 120° a otra de 100° en 20 minutos. Encontrar: a) la temperatura del cuerpo 
después de 50 minutos, y b) el tiempo necesario para que la temperatura del objeto sea de 70°.
Respuestas: a) 79°
b) 68 minutos
13. El uranio se descompone a una velocidad proporcional a la cantidad presente. Si 
inicialmente hay 10 gramos y después de 2 horas se ve que ha perdido el 5% de su masa 
original, hallar:
a) La ecuación que representa la cantidad restante en cualquier tiempo t.
b) La cantidad de uranio después de 5 horas.
Respuestas: a) y = 10 e-0.026 t
y = 8.781 gramos
14. Un material radiactivo se desintegra a una razón proporcional a la cantidad presente. Si 
inicialmente hay 40 mg de material y al cabo de una hora se observa que ha perdido el 8% de la 
cantidad inicial, hallar:
a) La cantidad de masa en cualquier momento t.
b) La masa del material después de 3 horas.
c) El tiempo que transcurre hasta la desintegración de la mitad de la cantidad inicial.
Respuestas: a) x (t) = 40 e-0.08 t
b) x = 31.47 mg
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c) t = 8.66 horas
15. Sabemos que un material radiactivo se desintegra proporcionalmente a la cantidad existente 
en cada momento. En una prueba realizada con 60 mg de este material, se observó que 
después de 3 horas, solamente el 80% de la masa permanecía en ese momento. Hallar:
a) La ecuación que exprese la cantidad restante de masa en un tiempo t.
b) ¿Qué cantidad permanece cuando t = 5 horas?
c) ¿Para que valorde t, la cantidad de material es 1/4 de la cantidad inicial?
Respuestas: a) y = 60 e (t ln 0.8) / 3
b) y = 41.365 mg
c) 18.6 horas
16. Cierto material radiactivo se desintegra a una tasa proporcional a la cantidad presente. Si 
actualmente se cuenta con 300 gramos del material y después de 2 años se observa que el 
14% de la masa original se ha desintegrado, hallar:
a) Una expresión para la cantidad de material en un tiempo t.
b) El tiempo necesario para que se haya desintegrado un 30%.
Respuestas: a) y = 300 e [0.5 ln (43 / 50)]
t = 4.73 años
17. Se cabe que cierto material se desintegra a una razón proporcional a la cantidad presente. 
Si después de una hora se observa que el 20% se ha desintegrado, hallar la vida media del 
material.
NOTA: La vida media es el tiempo necesario para que se desintegren la mitad de los átomos en 
una cantidad inicial.
Respuesta: 3.11 horas
18. Se ha observado en el laboratorio que el radio se desintegra a una rapidez proporcional a la 
cantidad de radio presente. Su vida media es de 1600 años. ¿Qué porcentaje desaparecerá en 
un año?
Respuesta: 0.043%
 
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