II-2010A

Vista previa del material en texto

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRÉS 
FACULTAD DE INGENIERÍA 
CURSO PREFACULTATIVO – GESTIÓN II / 2010 
SEGUNDO EXAMEN PARCIAL 
ÁREA: MATEMATICA FECHA: 25/10/2010 
TIEMPO DE DESARROLLO DEL EXAMEN: 90 MINUTOS 
_______________________________________________________________________________________ 
Está prohibido el uso de calculadoras. Cada pregunta vale 20 puntos. 
 
l El primer término de una progresión geométrica es igual al primero de otra progresión aritmética. 
Si la razón geométrica es la mitad de la razón aritmética y sabiendo además que la suma del primer 
término y tercer término de la progresión aritmética es igual a la suma del segundo y tercer 
término de la progresión geométrica y que el cuarto término de la progresión aritmética es igual a 
14, hallar las progresiones 
 
2.- Una persona halla que desde un punto A el ángulo de elevación de una torre es de  grados, si 
avanza 6 metros sobre un plano horizontal hacia la torre encuentra que el ángulo de elevación es de 
45º y acercándose 4 metros mas esta vez el ángulo de elevación es de “ 90 ”. Hallar la altura de 
la torre. 
 
3. Si: 
 1 2
4
1 2
xy
x
y
log y
log y
 
 
 


 Hallar el valor simplificado de:    xy x
y
x
E log log xy
y   
 
 
  
 
 
 
4. Resolver la siguiente ecuación trigonométrica: 
01cos84 2  sen 
5. Resolver el sistema 
   
y x
y
x
xy
992727
01log1log
1

 
 
 
 UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRÉS 
FACULTAD DE INGENIERÍA 
CURSO PREFACULTATIVO – GESTIÓN II / 2010 
SEGUNDO EXAMEN PARCIAL 
ÁREA: MATEMATICA FECHA: 25/10/2010 
TIEMPO DE DESARROLLO DEL EXAMEN: 90 MINUTOS 
_______________________________________________________________________________________ 
SOLUCIONARIO 
1-El primer término de una progresión geométrica es igual al primero de otra progresión 
aritmética. Si la razón geométrica es la mitad de la razón aritmética y sabiendo además que la 
suma del primer término y tercer término de la progresión aritmética es igual a la suma del 
segundo y tercer término de la progresión geométrica y que el cuarto término de la progresión 
aritmética es igual a 14, hallar las progresiones 
 naaaaAP .......,,,,.. 321 d → razón aritmética 
nbbbbGP ..,,.........,,.. 321 r → razón geométrica 
De los datos: 11 ab  (1) 
 
2
d
r  (2) 
3231 bbaa  (3) 144 a (4) 
 En la P.A. daa 213  
Reempl. (1) y (2) rbraa 4)2(2 113  
En la P.G. rbb  12 , 
2
13 rbb  
Reempl. en (3) 
2
1111 4 rbrbrbb  
 
2
111 42 rbrbrb  (5) 
Por otra parte: 
34 aad  
)2(14 1 dad  
1143 ad  → 1146 br  
 rb 6141  (6) 
 UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRÉS 
FACULTAD DE INGENIERÍA 
CURSO PREFACULTATIVO – GESTIÓN II / 2010 
SEGUNDO EXAMEN PARCIAL 
ÁREA: MATEMATICA FECHA: 25/10/2010 
TIEMPO DE DESARROLLO DEL EXAMEN: 90 MINUTOS 
_______________________________________________________________________________________ 
 (6) en (5) 
2)614()614(4)614(2 rrrrrr  
 
0282286
61461441228
23
322


rrr
rrrrrr
 
 Factorizando: 0)723)(2(
2  rrr 
El resultado válido es: r = 2 Reemplazando. en (2) d = 4 
 
Las Progresiones son: .......14,10,6,2..AP 
 ........16,8,4,2..GP 
2.- Una persona hallar desde un punto A que el ángulo de elevación de una torre es de  grados, si 
avanza 6 metros sobre un plano horizontal hacia la torre encuentra que el ángulo de elevación es de 
45º y acercándose 4 metros mas esta vez el ángulo de elevación es de “ 90 ”. Hallar la altura de 
la torre. 
Sol. Realizando el grafico, se tiene: 
 
 
En el triangulo ABC: )1(
10 x
H
tag

 
 
 45º 90 A 
E 
C 
B 
D 6 4 
 UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRÉS 
FACULTAD DE INGENIERÍA 
CURSO PREFACULTATIVO – GESTIÓN II / 2010 
SEGUNDO EXAMEN PARCIAL 
ÁREA: MATEMATICA FECHA: 25/10/2010 
TIEMPO DE DESARROLLO DEL EXAMEN: 90 MINUTOS 
_______________________________________________________________________________________ 
En el triangulo EBC: 
)2(4
4
4
º45




Hx
xH
x
H
tag
 
 
En el triangulo DBC: 
 
)3(
cos
º90
H
x
tag
x
H
sen
x
H
tag







 
 
Igualando 1 y 3 y luego reemplazando 2, se tiene: 
 
  
metrosH
HHH
HHH
Hxx
x
H
H
x
12
242
4104
10
10
22
2
2






 
 
PREGUNTA N° 3 
Si: 
 1 2
4
1 2
xy
x
y
log y
log y
 
 
 



 Hallar el valor simplificado de:    xy x
y
x
E log log xy
y   
 
 
  
 
 
 
 
 
 
 UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRÉS 
FACULTAD DE INGENIERÍA 
CURSO PREFACULTATIVO – GESTIÓN II / 2010 
SEGUNDO EXAMEN PARCIAL 
ÁREA: MATEMATICA FECHA: 25/10/2010 
TIEMPO DE DESARROLLO DEL EXAMEN: 90 MINUTOS 
_______________________________________________________________________________________ 
SOLUCION.- 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Resolver la siguiente ecuación trigonométrica: 
 01cos84 2  sen 
 Solución: Esta ecuación se puede escribir 4(1-cos
2
α)-8cosα +1 =0 
Ordenando: 4cos
2
α+8cosα-5 = 0 Resolviendo: 
 
 
 
 
2
2
1 2
4
1 2
2
1 2
4 4
1 2 2
4 4
xy
x
y
De la condició n :
log y
; aplicando cambio de base.
log y
log y l og xy log y
log xy l og xy
; simplificando.
log y x
log log y
yx
log
xy log
y
xl og x log y
log
yl og xy
lo
log x log y log xy
x
log
y
 
 
 





  
 
 
 
 
 
 
    
  
 
 
2
1 1
2
2
1 5
2
2 2
xy
x
x y
y
x
g
y
Al resultado aplicando cambio de base : log xy
log xy
Reemplazando en la exp resió n : E E
 
 
   
 
 
 
 
 
  
    
 UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRÉS 
FACULTAD DE INGENIERÍA 
CURSO PREFACULTATIVO – GESTIÓN II / 2010 
SEGUNDO EXAMEN PARCIAL 
ÁREA: MATEMATICA FECHA: 25/10/2010 
TIEMPO DE DESARROLLO DEL EXAMEN: 90 MINUTOS 
_______________________________________________________________________________________ 
 
5. Resolver el sistema 
   
y x
y
x
xy
992727
01log1log
1

 
 
RESPUESTA No. 5 
     01log1log  xy (1) 
 
y xx y 992727 1 (2) 
 
)1log()1log(  xy 
2 yx (1’) 
y xx y 992727 1 
       yxxy
1
212
1
33 3333

 
y
x
x
y 2
2
3
3 3333  
y
x
x
y 2
2
3
3  
5
32

x
y
y
x
 
 
 UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRÉS 
FACULTAD DE INGENIERÍA 
CURSO PREFACULTATIVO – GESTIÓN II / 2010 
SEGUNDO EXAMEN PARCIAL 
ÁREA: MATEMATICA FECHA: 25/10/2010 
TIEMPO DE DESARROLLO DEL EXAMEN: 90 MINUTOS 
_______________________________________________________________________________________ 
5
32 22


yx
yx
 (2’) 
Sustituyendo (1’) en (2’) 
5
)2(
)2(32 22



xx
xx
 
222 312122510 xxxxx  
01224 2  xx 
062 2  xx 
0)2)(32(  xx 
2
3
x y 2x Esta respuesta no se considera 
Si 
2
3
x entonces 
2
1
y 
 
Solución 
2
1
;
2
3
 yx