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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ACATLAN
ING. CIVIL
ESTEBAN RESENDIZ MUÑOZ
PROPUESTA DE MATERIAL DIDÁCTICO DE MATEMÁTICAS PARA 
REGULARIZAR ALUMNOS DE NUEVO INGRESO EN LA LICENCIATURA 
DE INGENIERÍA CIVIL
MÉXICO, D. F. 2012
PRESENTA:
TESIS 
QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE:
ASESOR: ING. HÉCTOR ARCE PAZ
 
UNAM – Dirección General de Bibliotecas 
Tesis Digitales 
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TESINA 
 
 
 
PROPUESTA DE MATERIAL DIDÁCTICO 
DE MATEMÁTICAS PARA REGULARIZAR 
ALUMNOS DE NUEVO INGRESO EN LA 
LICENCIATURA DE INGENIERÍA CIVIL. 
 
 
Propuesta que presenta el alumno Esteban Reséndiz Muñoz 
con número de cuenta 7804257-3 al Ing. Héctor Arce Paz, 
jefe del programa de Ingeniería Civil FES ACATLAN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 
INDICE 
 
INTRODUCCIÓN .................................................................................................................................................. 4 
DESCRIPCIÓN DE LAS ACTIVIDADES Y DE LAS ESTRATEGIAS .............................................................................. 6 
1 ÁLGEBRA .......................................................................................................................................................... 8 
1.1 CONCEPTOS BÁSICOS DEL ALGEBRA ............................................................................................................ 8 
1.2 OPERACIONES FUNDAMENTALES DEL ALGEBRA .......................................................................................... 9 
1.3 PRODUCTOS NOTABLES. ............................................................................................................................. 10 
1.4 DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL ................................................................................................................... 13 
1.4.1 MISCELÁNEA DE EJERCICIOS DE FACTORIZACIÓN ................................................................................... 18 
1.5 RADICALES .................................................................................................................................................. 24 
2 TRIGONOMETRÍA .......................................................................................................................................... 26 
2.1 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS ................................................................................................................ 26 
2.2 TEOREMA DE PITÁGORAS ........................................................................................................................... 26 
2.3 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES. .............................................................................. 27 
2.4 LEYES DE SENOS Y COSENOS ...................................................................................................................... 31 
3. GEOMETRÍA ANALÍTICA. .............................................................................................................................. 31 
3.1 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS. ................................................................................................................ 31 
3.2 LÍNEA RECTA. ............................................................................................................................................. 33 
3.2.1 PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD ENTRE DOS RECTAS. ................................................................. 35 
3.2.2 ECUACIÓN DE UNA RECTA. ...................................................................................................................... 40 
3.3 FORMA SIMÉTRICA DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA. .................................................................................. 50 
3.4 CIRCUNFERENCIA ........................................................................................................................................ 53 
3.5 ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA EN LA FORMA ORDINARIA FUERA DEL ORIGEN ................................ 56 
4 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ............................................................................................................. 57 
4.1 LÍMITES. ...................................................................................................................................................... 57 
4.2 DERIVADAS .................................................................................................................................................. 62 
4.3 INTEGRALES ................................................................................................................................................ 75 
4.4 IDENTIDAD TRIGONOMÉTRICA. .................................................................................................................. 90 
4.5 COMPROBACIÓN POR DIFERENCIACIÓN .................................................................................................. 102 
CONCLUSIONES .............................................................................................................................................. 118 
BIBLIOGRAFÍA ................................................................................................................................................. 121 
 
 
 2 
 
 
 
 
 
PRESENTE 
 
 
Objetivo General: 
 
Potenciar con clases de regularización de Matemáticas en general en horarios 
convenientes para los alumnos, el aumento en su desempeño y en el nivel con el 
que ingresan a la FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ACATLAN en la carrera 
de Ingeniería Civil. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3 
AGRADECIMIENTOS 
 
 
Gracias a Dios 
Por permitirme llegar hasta este momento tan importante de mi vida y lograr 
otra meta más en mi carrera. 
 
 
Gracias a mis padres 
Por su cariño, comprensión y apoyo sin condiciones ni medida. Gracias por 
guiarme sobre el camino de la educación. Creo ahora entender porque me 
obligaban a decir hijo tienes que estudiar, a terminar mi tarea antes de salir a 
jugar, a ver cómo le haces pero tienes que estudiar, a mi madre por ese apoyo 
incondicional y a mi padre por las pláticas tan amplias que teníamos y muchas 
cosas más que no terminaría de mencionar. 
 
 
Gracias a mi amor 
Por tu apoyo, comprensión y amor que me permite sentir poder lograr lo que 
me proponga. Gracias por escucharme y por tus consejos (eso es algo que lo 
haces muy bien). Gracias por ser parte de mi vida; eres lo mejor que me ha 
pasado. 
 
 
Gracias a mis profesores 
Que compartieron conmigo sus conocimientos y su amor por la Ingeniería, en 
especial a mis Sinodales que me han brindado todo su apoyo para la realización 
de esta tesis. 
 
 
 
 
 
 
 
 4 
INTRODUCCIÓN 
 
En la carrera de Ingeniería Civil de FES ACATLAN, en los últimos años se ha dado 
un fenómeno de no aprobación en materias relacionadas con las matemáticas 
como lo son; el algebra superior, el cálculo diferencial e integral, así como física 
y geometría analítica, por lo que se pretende dar un curso de regularización a 
nivel bachillerato a los alumnos que requieran este apoyo para la mejora 
curricular del alumnado que se encuentra en el primer semestre o en examen 
extraordinario de la carrera de Ingeniería Civil. Se ha visualizado, a través de los 
profesores de dichas materias que una de lascausas fundamentales de éste 
fenómeno es la homogeneidad de los grupos y el nivel académico de los 
diferentes centros educativos a nivel bachillerato. Por este motivo, considero 
pertinente impartir las siguientes materias: algebra, trigonometría, geometría 
analítica, cálculo diferencial, cálculo integral en los aspectos mínimos de 
conocimiento. 
 
Debido a que los exámenes de tipo diagnóstico aplicados a los alumnos de 
reciente ingreso a la carrera en el semestre en curso, arrojaron calificaciones de 
menores seis, en una escala del uno al diez, presento la propuesta del apoyo 
académico en la parte elemental de las materias antes mencionadas, como una 
alternativa de resolución a los alumnos con este tipo de problemas académicos. 
Buscando despertar la motivación de los alumnos a asistir a dichos cursos, las 
calificaciones obtenidas en los mismos serán consideradas con calificación 
adicional en las materias de cálculo diferencial e integral, física, geometría 
analítica o algebra superior del primer semestre de la carrera referida. En 
algebra se abarcarán temas de aspectos fundamentales como, sumas y restas 
algebraicas, así como multiplicaciones y divisiones, productos notables. En la 
parte de factorización se buscará solucionar entre diez y doce casos de los 
mismos, para dar una mayor fluidez al alumno en el manejo de la parte medular 
del algebra. Uno de los temas que menos se alcanzan a impartir en el nivel 
bachillerato es el de radicales y se estudiará en las operaciones fundamentales y 
la racionalización del tema antes mencionado. En la trigonometría, los temas a 
tratar serán; las funciones trigonométricas, el teorema de Pitágoras, las 
identidades trigonométricas, las ecuaciones y gráficas trigonométricas, así como 
las leyes de senos y cosenos. 
 5 
 
En la parte de la geometría analítica se resolverán problemas relacionados con 
la distancia entre dos puntos, la línea recta, la circunferencia, en sus diferentes 
casos, en cada uno de estos subtemas. 
En el caso del cálculo diferencial e integral se ahondará en los temas más 
relevantes o de mayor dificultad para el alumno que son: funciones algebraicas, 
trigonométricas, logarítmicas, exponenciales, los límites, la derivada por 
fórmulas, tanto algebraicas como trigonométricas y logarítmicas y problemas 
relacionados con máximos y mínimos, en el cálculo integral se resolverán, 
integrales inmediatas algebraicas, integrales inmediatas trigonométricas y 
logarítmicas, al igual que la integración por partes, la constante de integración, 
integrales definidas. 
 
Además de los temas ya expuestos anteriormente se darán respuesta a las dudas 
que el alumno tenga en el momento del desarrollo de la propia materia que se 
encuentre cursando, puesto que las asesorías se impartirán en el transcurso de 
la semana y los sábados en un horario de martes a viernes de las 14:30 a 16:00 
hrs. y los sábados de 08:00 a 11:00 hrs., se manejará de esta manera para que 
el alumno tenga opción a asistir en un horario distinto al de sus clases 
curriculares. 
 
 6 
PROPUESTA DE MATERIAL DIDÁCTICO PARA REGULARIZAR ALUMNOS 
DE NUEVO INGRESO EN LA LICENCIATURA DE INGENIERIA CIVIL EN EL 
ÁREA DE MATEMÁTICAS. 
 
DESCRIPCIÓN DE LAS ACTIVIDADES Y DE LAS ESTRATEGIAS 
 
En el algebra se identificará qué es un término, qué es un término semejante, 
para poder sumar y restar algebraicamente, así como la multiplicación y la 
división. Se realizarán ejercicios en el pizarrón para la explicación de dichas 
operaciones para que después el alumno ejecute ejercicios en casa, 
proporcionados por el profesor y revisados en la clase posterior. La 
memorización de algunas nemotecnias como la siguiente. Las leyes de los 
exponentes se exponen con las operaciones fundamentales de la aritmética en 
orden cronológico, es decir, en la suma, la primera letra es la “S”, en la resta es 
la “R”, en la multiplicación es la “M”, en la división es la “D”, en la potencia es 
“P” y en la raíz es la “R”, quedando de la siguiente manera SRMDPR, haciendo la 
indicación de que en la suma y en la resta, los exponentes no cambian, en la 
multiplicación se suman, en la división se restan, en la potencia se multiplican y 
en la raíz se dividen. Este proceso se ilustra con la siguiente imagen. 
 
 
 
 
 S R M D P R ( ) 
 
 
 
También nos sirve para indicar la jerarquía de operaciones y para las 
operaciones inversas. En la jerarquía de operaciones se les indica que es de 
derecha a izquierda, es decir, SRMDPR( ) , las operaciones inversas son por 
parejas, la suma y la resta son inversas, la multiplicación y la división también, al 
igual que la potencia y la raíz. Para otros temas también existen otras técnicas 
que se desarrollarán en el momento de exponer el tema. 
LEYES DE LOS EXPONENTES 
 
OPERACIONES INVERSAS 
 
JERARQUÍA DE OPERACIONES 
 
 7 
 
En los productos notables, me apoyaré con el triángulo de pascal para el 
desarrollo de polinomios. En la factorización desarrollaré 10 casos, factor común 
monomio, factor común polinomio, factor común por agrupación de términos, 
trinomio cuadrado perfecto, diferencia de cuadrados perfectos, trinomio 
cuadrado perfecto por adición y sustracción, trinomio de la forma CbXX 
2
, 
trinomio de la forma CbXaX 
2
, cubo perfecto de binomios, suma o diferencia 
de cubos perfectos. Suma o diferencia de dos potencias iguales. 
 
En el tema de radicales presentaré los temas más importantes para ser utilizados 
en el cálculo diferencial e integral. 
 
Las funciones trigonométricas serán memorizadas para poder utilizarlas en las 
ecuaciones trigonométricas al igual que en las identidades trigonométricas. 
 
En el tema de las cónicas se realiza un modelo con plastilina. Pidiendo a los 
alumnos realizar cortes de distinta manera, resultando la figura de cada una de 
las cuatro cónicas, y así comenzar a ver los elementos de cada lugar geométrico. 
Las mecanizaciones serán en casa, comprobando, en la clase posterior sí se 
ejecutaron correctamente. 
En el cálculo diferencial e integral sé resolverán ejercicios, la cantidad suficiente 
para que tengan una práctica adecuada para la materia del mismo nombre y 
otras afines en la carrera de Ingeniería Civil. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 8 
REPORTES DE LAS CLASES IMPARTIDAS A JÓVENES DE PRIMER INGRESO 
EN LA FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL CAMPUS FES ACATLAN 
 
1 ÁLGEBRA 
1.1 CONCEPTOS BÁSICOS DEL ALGEBRA 
 
Término: Expresión algebraica que consta de signo, coeficiente, literal y 
exponente. 
 
 Ejemplo: 
23 x 
 
Términos semejantes: son todos aquellos términos que tienen la misma literal y 
exponente. 
 
Ejemplo: 4x, -3x, -x 
 
Leyes de los signos: Signos iguales el resultado es positivo y signos diferentes el 
resultado es negativo en el caso de la multiplicación y división, en la 
potenciación, el sigo negativo elevado a una potencia par, el resultado es 
positivo y elevado a una potencia impar el resultado es negativo. 
 
Leyes de los exponentes: Las leyes de los exponentes se resumen con la 
siguiente regla, que se utiliza como nemotecnia 
 
Leyes de los exponentes 
 
 
 S R M D P R 
 
 9 
En la suma los exponentes no les pasa nada al igual que en la resta , en la 
multiplicación se suman, en la división se restan, en la potencia se multiplican y 
en la raíz cuadrada se dividen. 
 
1.2 OPERACIONES FUNDAMENTALES DEL ALGEBRA 
 
SUMAS 
 
1.- bacbacba 55)32(;)23(  
2.- )22245(;)82010;647( xzyxzyxzyx  
3.- xxxxxxx
12
19
12
946
4
3
3
1
2
1


 
4.- xxx
4
1
9
4
3
10  
5.- xxxx
3
4
3
5
3
1
3
2
 
 
 
MULTIPLICACIONES 
 
1.-    3332222322 yxyxyyxxyyxxyxyxyx  
2.-    345223 2522 xxxxxxyx  
 
 
DIVISIONES 
 
1.- 
baaaba 2
 
 baa
ab
a
a
a
aba

 22 
 
 
2.- 
2823 2  xxx
 
 
 10 
 
43
8232 2


x
xxx 
 xx 63 2  
 84  x 
 84  x 
 0 
 
 
POTENCIAS 
 
1.-      444222 222  xxxxX 
2.-            8126223232 2332233  xxxxxxX 
3.-               163224822426242 234432344  xxxxxxxxX 
 
TRIÁNGULO DE PASCAL 
 
1 
1 1 
1 2 1 
1 3 3 1 
1 4 6 4 1 
1 5 10 10 5 1 
 
 
El triángulo de pascal se utiliza para los coeficientes de binomios elevados a 
cualquier potencia según el grado del binomio 
 
1.3 PRODUCTOS NOTABLES. 
 
Los productos notables cumplen con ciertas reglas fijas. El resultado puede ser 
escrito por simple inspección. 
 
Por ejemplo el cuadrado de la suma de dos cantidades: El cuadrado de dos 
cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad mas el duplo de la 
 11 
primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad. 
Ejemplos. 
 
       963323.1 2222  mmmmm 
         2222 10255255.2 xxxxx  
       22222 12366266.3 babbbbaaba  
         222 1672814492949.4 mmmmm  
         114491172717.5 2222  xxxxx 
         22222 91243322232.6 yxyxyyxxyx  
 
El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera 
cantidad menos el duplo de la primera cantidad por la segunda más el cuadrado 
de la segunda cantidad. 
 
         963323.1 2222  aaaaa 
         49147727.2 2222  xxxxx 
         22222 1243322232.3 bababbaaba  
         422510222525225 963323.4 yayaxxayayxxayx  
          nnmmnnmmnm yyxxyyxxyx 2222 22.5
2
 
 
El cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad más 
el triplo de del cuadrado de la primera por la segunda más el triplo de la primera 
por el cuadrado de la segunda, más el cubo de la segunda. En la diferencia del 
mismo solo se cambia el positivo por el negativo. 
 12 
 
             11281123123212.1 2332233  xxxxxx 
             32246322223232 8126223232.2 bbabaabbabaaba  
             322332233 9543683323323232.3 yxyyxxyyxyxxyx  
 
Producto de dos binomios de la forma   bxax  
 
   421367.1 2  xxxx 
   3413.2 2  xxxx 
   211037.3 2422  xxxx 
   36312.4 3633  xxxx 
 
Cocientes notables 
 
  
 
yx
yx
yxyx
yx
yx






 3
3
33
3
9
.1
22
 
   222233 24
2
242
2
8
.2 yxyx
yx
yxyxyx
yx
yx






 
   222233 22.3 yxyx
yx
yxyxyx
yx
yx






 
   224
2
2242
2
36
93
93327
.4 yyxx
yx
yyxxyx
yx
yx






 
 
 13 
1.4 DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL 
 
CASO 1 
 
Cuando todos los términos de un polinomio tienen un factor común 
 
1.-  222  aaaa 
2.-  abbabb 31103010 2  
3.-  aaaaaa 312515510 32  
4.- 34233323 31296 yxnynxynxxy  
CASO 2 
 
Factor común polinomio 
 
1.-       mxbabambax  
2.-       yxaayax  21112 
3.-         122222  mxxxmxxm 
4.-         111111  axxxaxxa 
5.-         1222  xzyxzyxzyxxzyxzyxx 
6.-           xbazybaxzyzybzyax  
7.-                 311211213112  xxxxxxxxxxx 
 
CASO 3 
 
Factor común por agrupación de términos 
 
1.-       yxbabaybaxbyaybxax  
2.-       43224238463 2  mnmnmnmmnmmnm 
 14 
3.-       232322326432 2  xyxyxyxxyxxyx 
4.-       azxzxazxazaxzx 212122 22222  
5.-               yxaayaxayaxayaxayyxax 4311413141314134433  
 
 
CASO 4 
 
Trinomio cuadrado perfecto 
 
1.-  22 112  mmm 
2.-  222 5225204 yxyxyx  
 
CASO 5 
 
Diferencia de cuadrados perfectos 
 
1.-   aaa  111
2
 
2.-   2242 54542516 yxyxyx  
3.-   653653121062 7749 azxyazxyazyx  
4.- 












323294
2242 bababa
 
5.-   mnmnmn bababa 2242 339  
 
COMBINACIÓN DE CASOS 
 
1.-            1111112 222  bababababababa 
 15 
2.-     bmabmabmabmamaambma 22442242 22222222  
3.-             1313131319129129 222222  xaxaxaxaxaxxaxxa 
 
CASO 6 
 
Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción 
 
1.-     xyyxxyyxyxyxyxyyxxyxyxyyxxyyxx  222222222224224222242244224 2 
2.- 
 
  abbaabba
babababbaabababbaabbaa
232232
4324912444984984
2222
22222224224222242244224


 
3.- 
 
  abbaabba
babababbaabababbaabbaa
26262
4643684436163616
2222
22222224224222242244224


 
 
 
 
 
 
CASO 7 
 
Trinomio de la forma cbxx 2 
 
1.-   23652  xxxx 
2.-   431272  xxxx 
3.-   351522  xxxx 
4.-   271452  xxxx 
5.-   8540132  aaaa 
6.-   11212112  mmmm 
 16 
7.-   12929282  nnnn 
8.-   121821662  xxxx 
9.-   30361080662  aaaa 
CASO 8 
 
Trinomio de la forma cbxax 2 
 
1.-          1332
23
2696
1867363766376 222 

 xx
xx
xxxxxx 
2.-          2534
45
8201520
1202074006720206720 222 

 xx
xx
xxxxxx 
3.-            5181
118
5181818
90181318513181851318
222 

 aa
aa
aaaaaa 
4.-          3543
35
9152015
180151122512111515121515 22
22
242424 

 xx
xx
xxxxxx 
 
CASO 9 
 
Cubo perfecto de binomios 
 
1.-  323 1216128  xxxx 
2.-  332349626 323627548 yxyxyyxx  
 
CASO 10 
 
Suma o diferencia de cubos perfectos 
 
1.-   111 23  xxxx 
 17 
2.-   4228 23  aaaa 
3.-   422263 39327 babababa  
4.-   25104521258 23  xxxx 
5.-   63243296 16129436427 nnmmnmnm  
 
CASO 11 
 
Descomposición de un polinomio en factores por el método de evaluación 
 
 
 
1.- 
0231
231
12121
22 23

 xxx
 
 
 
       1121232  xxxxxx 
 
2.- 1243 23  xxx 
 
 
 
0611
1222
212431



 
 
       223262  xxxxxx 
 
 
 18 
1.4.1 MISCELÁNEA DE EJERCICIOS DE FACTORIZACIÓN 
 
1.-  155 2  aaaa 
2.-  222 2 xmxmxm  
3.-   baababaa  12 
4.-   66362  xxx 
5.-  222 369 yxyxyx  
6.-   14432  xxxx 
7.-   23 111 xxxx  
8.-          1223
32
3646
1263626626 222 

 xx
xx
xxxxxx 
9.-   13913127 23  aaaa 
10.-   43223455 mxmmxmxxmxmx  
11.-  22223 5353 babaaabbaa  
12.-       zyxxzxyzxzyxy  23332362 
13.-  22 21441 bbb  
14.-      xyyxxyyxyxyyxxyxyxyyxxyyxx  2222224224222242244224 22443434 
15.-      2244224444244444484488448 2244466 yxyxyxyxyxyxyxyxyyxxyyxx  
16.-   56302  aaaa 
17.-          2375
53
10152115
210151122514111515141115 222 

 mm
mm
mmmmmm 
18.-   111 2426  aaaa 
 19 
19.-   422263 96432278ymymymym  
20.-  222 3492416 bababa  
21.-   654327 111 aaaaaaaa  
22.-  323 1216128  aaaa 
23.-   mmm  111 2 
24.-   37214 2224  xxxx 
25.-   1525151125 2426  aaaa 
26.-     mbambambambaba  22222 2 
27.-  bababababa 321824168 22232  
28.-   111 445  xxxxx 
29.-          564
16
56246
1206193620196620196 222 

 xx
xx
xxxxxx 
30.-   yxyxyx 95958125 2224  
31.-   23 111 mmmm  
32.- 
     
           bayxbayxbayxbayx
bayxbabayxyxbabayxyxbabyxyax


2222222222222 222222
2
 
33.-  13777721 2232233245  mnnmmmnmnmnmnm n 
34.-         cbaxxcxbxa  1111 
35.-      22 244 yxyxyx  
36.-   2242 111 ababba  
37.-  222 63612 abaabb  
 20 
38.-   711774 3336  xxxx 
39.-          1543
35
3152015
601517225417151541715 22
22
242424 

 xx
xx
xxxxxx 
40.-           bababababa 3131313131 3  
41.-     xxxxxxxxxxxxx 353595925109925 222222242224  
42.-         64644646166161636283628 24242424424444848  aaaaaaaaaaaaaaaa 
43.-   23 41449278343 aaaa  
44.-  yxbabyabxa 5431512 222  
45.-   yxyxyxyx 35152 22  
46.-           122323232322323446  anmnmnmamnnmamnanam 
47.-   4343826 2929481 bcabcacba  
48.-     bababa  2424216 2 
49.-           5454452020 22  xxxxxxxxxx 
50.-   67422  nnnn 
51.- 
   
      dcnadcnadcna
dcdcnadcdcnananancdcdacdancnda


22
222222222222222 2222222
 
52.-   6339 3661612161 xxxx  
53.-   164464 23  xxxx 
54.-  xxxx 64164 33  
55.-  3218543618 2332823435  xxyxyxyxyax 
 21 
56.-  222 1711449  ababba 
57.-        1089191811 2  xxxxx 
58.-     cbacbacba  22 
59.-      22 396  nmnmnm 
60.-  
  
  475
7
47357
1407314920317 22 

 xx
xx
xxxx 
61.-  aaaaaa 57945639 223  
62.-       11111  axxxaxaax 
63.-  22224224 59259081902581 yxyyxxyxyx  
64.-     bbbbbbbbbbbbbbb 515125125212525271271 22222242224242  
65.-     mnnmmnnmnmnmnmnnmmnmnmnnmmnnmm  222222222224224222242244224 2 
66.-   222244 224 dcdcdc  
67.-  4335201515 22234  xxxxxx 
68.-     xaxaxaxaxa  22 
69.-   20122408 24  xxxx 
70.-          4352
23
86156
1206736207662076 22
22
242424 

 mm
mm
mmmmmm 
71.-  22222 2341291249 naaanaanan  
72.-  1222 22  xx 
73.-       bayxyxbyxa 3711317  
74.-   361832  xxxx 
 22 
75.-           nmbanmbanbmanbmanbma  22 
76.-  33223 28126 yxyxyyxx  
77.-  21228821228 22  aaaa 
78.-  222 9181181 abbaab  
79.-   121214 336  aaa 
80.-   20244804 2336  xxxx 
81.-         1 yxbababaybaxaybyabbxax 
82.-       1312121231236  maaamamam 
83.-              xxxxxxxxxxxx 25433452
24
68208
120814641514881415 222 

 
84.-               11111111 444242244246446810  aaaaaaaaaaaaaaaaaaa 
85.-         121112112  xaaaxaax 
86.-           nmnmnnmnmnmnnmnm  433 
87.-       23232232222332 21222 xbabaxbaxaxbba  
88.-         bcammbmcmabmbcmcaamabmmcbam 3211311233222332  
89.- 
2
2
3
1
9
1
3
2






 xxx 
90.-   nnnnnn bababa 2242 224  
91.-            axaxxaxxaxxaxxaxxax  108999981 22 
92.-     xaxaxaxaaxaa 434316316961669 222222  
93.-       232329449449 222222  xaxaxaxxaxxa 
 23 
94.-        133333393939 222222  yxyxyxyxyxyxyxyyxxyxyx 
95.-   89722  xxxx 
96.- 
 
  abbaabba
babababbaabababbaabbaa
676676
367636498436363649120364912036
2222
22222224224222242244224


 
97.- 
       
  mnbamnba
mnbammnnbammnnbabababmnnma


3232
3269269444469
2222222222222
 
98.- 











 448
3
2
1
3
2
1
9
4
1 aaa 
99.-     32643264642646412648128 128912891448914464144816481 babababababababbaaba  
100.-   abxabxbaabxx 57352 222  
101.-  323 3527135225125  xxxx 
102.-                1253232323232 22  aaaaaaaaaaa 
103.-       banmnmbnmabnbmnama 5433534155124 2222  
104.-  2363 31961 xxx  
105.-   bababbaa 58403 22224  
 
Nota: para los ejercicios donde el término independiente, su valor, es un 
número amplio y no es tan fácil encontrar el valor que sumados den como 
resultado el término lineal y la multiplicación sea el número del término 
independiente es recomendable que se realicen las factorizaciones del término 
independiente por medio de los factores primos de ese número. En el caso del 
ejemplo número 83 donde el término independiente es 120, se encuentran los 
factores primos de dicho número. 
 
 
 24 
 Factores primos de 
 120 2 
 2 
 30 2 
 15 3 
 5 5 
 1 
 
Los factores primos del número 120 son 2, 3, 5, y los factores del mismo número 
son 2, 4, 6,15,20, 24, 30, 40, 60; que son las combinaciones de los factores 
primos. 
 
 
1.5 RADICALES 
 
Radical: En general, es toda raíz indicada de una cantidad. Si una raíz indicada es 
exacta, tenemos una cantidad racional, y si no lo es, irracional. 
 
Así, 24a es una cantidad racional y a3 es una cantidad irracional. 
 
Simplificación de un radical. 
 
CASO I. 
 
Cuando la cantidad subradical contiene factores cuyo exponente es divisible por 
el índice. 
 
1.- 232918  
2.- bababa 252550 222  
3.-      abbaabbabbaaba 33332
2
1
332
2
1
108
2
1 3232642275  
4.-      abccbaabccbaaccbbaaacbaa 11411221122442 432438622973  
 25 
5.- 3 2223 26233 82 23
3
2
27
3
2
nmnnnmnm  
6.- 6
4
1
6
8
2
32224
8
1
8
24
88
83
8
3 2
2



 
7.- 6
2
1
6
6
3
6
6
3
66
61
3
6
1
3
2



 
8.- 
 
 
 
  y
y
y
y
a
y
y
ay
yy
y
a
y
y
a
y
ya
yy
ya
y
a
3
3
9
3
54
18
3
54
12
33
54
6
27
27
2
2
3
27
274
2
3
2727
274
2
3
27
4
2
3
2233
3
323
32
33
32
3
2





 
9.- 
 
   nm
m
nm
m
m
nmm
m
mmn
mm
mn
mm
mn
m
n
5
3
5
3
53
1
53
1
5
59
5
55
59
5
5
9
5
233
22
323
3
33
3
3





 
10.- 333
3
33 2525
5
5
5
25
5
555
551
5
5
1
5 


 
 
CASO II. 
 
Cuando los factores de la cantidad subradical y el índice tienen un divisor 
común. 
 
Hacer enteros los radicales. 
 
1.- 123232 2  
2.-   422222 18292323 aaaaaaa  
3.-        3 53 233 233 2 1282642424 mmmmmmm  
Reducir. 
 
1.- 3331932034  
 26 
2.- 
4
1
4
23
2
1
4
3
2
4
1
2
2
1
2
4
3


 
3.- 3
5
2
33
5
3
 
Multiplicación de radicales. 
 
1.- 231863 x 
2.- 66
7
7
67
7
1
294
14
2
21
7
2
14
2
1 2 x 
3.-       xxxxxxxxxxxxx  22222 53326131321 
 
 
2 TRIGONOMETRÍA 
 
2.1 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 
 
hipotenusa
opuestocateto
seno  
c
a
ASen  
adyacentecateto
opuestocateto
gentetan 
b
a
ATang  
adyacentecateto
hipotenusaante sec
b
c
ASec  
hipotenusa
adyacentecateto
eno cos 
c
b
ACos  
opuestocateto
adyacentecateto
angente cot 
a
b
ACtg  
opuestocateto
hipotenusa
ecante cos
a
c
ACsc  
2.2 TEOREMA DE PITÁGORAS 
 
 27 
En todo triángulo rectángulo, la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los 
cuadrados de los catetos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
De acuerdo al triángulo rectángulo que se encuentra a la izquierda, el teorema 
de Pitágoras queda definido como: 222 bac  
 
 
2.3 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES. 
 
1.- 1csc;csc  AASen
ca
ac
AASen 
2.- 1;  ASecACos
cb
bc
ASecACos 
3.- 1;  CtgAATang
ba
ab
ACtgATang 
4.- ATang
ACos
ASen
 
5.- ACtg
ASen
ACos
 
 
Demostración de Sen2 A + Cos2 A = 1 
 
a 
B 
c 
C A 
b 
 28 
   
dqlACosASentoloPor
c
c
ACosASen
quedanosPitágorasdeteoremaalyrectángulotríanguloalacuerdode
c
ba
ACosASen
c
b
c
a
ACosASen
c
b
c
a
ACosASen
...1tan 22
2
2
22
2
22
22
2
2
2
2
22
22
22

















 
 
Demostración de Sec2 A - Tan2 A = 1 
 
   
dqlATangASec
b
b
ATangASec
b
ac
ATangASec
b
a
b
c
ATangASec
b
a
b
c
ATanASec
..122
2
2
22
2
22
22
2
2
2
2
22
22
22


















 
 
Demostración de csc2 A – ctg2 = 1 
 
   
122
2
2
22
2
22
22
22
22

















ACtgACsc
a
a
ACtgACsc
a
bc
ACtgACsc
a
b
a
c
ACtgACsc
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7.- 
6.- 
8.- 
 29 
EJERCICIOS 
 
 
1.- 
 
 
 
 
 
 
 
 
xCosxCos
xSec
xCosxSen
xSen
xSec
Senx
xCos
xSen
xSec
xSen
xTang
11
1




 
 
 
xSenxSen
xSen
xCos
xSenxCos
xSen
xSenxCos
xCos
xSen
xSenxCos
xCosxSen
xCos
xSen
xSen
xCos
xCos
xSen
xCos
xSen
xCtgxTang
xSec









1
1
1
1
22
 
 
111
1
1
1
1
1
1
22 


xCosxSen
xCos
xCos
xsen
xSen
xSec
xCos
xCsc
xSen
 
3.- 
2.- 
 30 
 
xCosxCos
xCos
xSen
xCos
Senx
xSec
xctg
xCsc
11
1
1



 
 
 
 
 
 
 
  
11
1
1
11
1
1
22
2







xCosxSen
xCosxSen
xCosxCosxSenxSen
xSen
xCos
xCos
xSen
 
 
 
 
 
 
xSenxSen
xSen
xSen
xSen
xSen
xCsc
xCos
xSen
22
2
2
2
2
2
2
4
1
1




 
 
 
4.- 
5.- 
6.- 
 31 
2.4 LEYES DE SENOS Y COSENOS 
 
Ley de senos Ley de cosenos 
 
Csen
c
Bsen
b
Asen
a
 
CCosabbac
BCosaccab
ACosbccba
2
2
2
222
22
222



 
 
 
 
 
 
 
3. GEOMETRÍA ANALÍTICA. 
 
3.1 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS. 
 
1.- Calcula la distancia entre los puntos A (2,4) B (7,4) 
 
 Datos Fórmula. 
 
 
 22
11
4,7
4,2
yx
yx
B
A
 
   
   
5250
2744
22
2
12
2
12



d
d
xxyyd
 
 
 
 
 
 
 
 
 32 
2.- Calcula la distancia entre los puntos A (2,1) B (2,8) 
 
 Datos Fórmula. 
 
)8,2(
)1,2(
22
11
yx
yx
B
A
 
   
   
7049
2218
22
2
12
2
12



d
d
xxyyd
 
 
 
3.- Calcula la longitud del segmento A (2,3) B (8,3) 
 
 Datos Fórmula. 
 
 
)3,8(
)3,2(
22
11
yx
yx
B
A
 
   
   
63660
2833
2
22
2
12
2
12



d
d
xxyyd
 
4.- Calcula la distancia entre los puntos A( 2,3) B (5,7). 
 
 Datos Fórmula 
 
 
)7,5(
)3,2(
22
11
yx
yx
B
A
 
   
   
525
916)3()4(
2537
22
22
2
12
2
12




d
d
d
xxyyd
 
 
 33 
5.- Calcula la distancia entre los puntos A(2,-3) B (5,4) 
 
 Datos Fórmula. 
 
 
)4,5(
)3,2(
22
11
yx
yx
B
A 
 
   
   
58949
2534
22
2
12
2
12



d
d
xxyyd
 
 
6.- Calcula la distancia entre los puntos A 





3
1
,
2
3 B 





2
7
,
3
8 
 
Datos Fórmula. 
 
)
2
7
,
3
8
(
)
3
1
,
2
3
(
22
11
yx
yx
B
A
 
   
3
1
18
205
36
410
36
49
36
361
6
7
6
19
2
3
3
8
3
1
2
7
22
22
2
12
2
12




























d
d
d
xxyyd
 
 
3.2 LÍNEA RECTA. 
 
PENDIENTE DE UNA RECTA. 
 
Ejercicios: 
 
 34 
1.- Calcula la pendiente de la recta que pasa por los puntos A (2,3) y B (5,7). Se 
puede escoger ya sea el punto A o el punto B para sustituir sus coordenadas 
como  11, yx y el otro como  22, yx aplicando la fórmula de la pendiente: 
 
 
12
12
xx
yy
m


 
 
3
4
25
37



m 
 
 
2.- Calcula la pendiente de la recta que pasa por los puntos: J (-2,5) y K (3,1). 
Sustituyendo en la fórmula. 
 
 
12
12
xx
yy
m


 
  5
4
5
4
23
51
23
51








m 
 
3.- Halla la pendiente de la recta que pasa por los puntos  2,3
2
7
,2 





ByA . 
Sustituyendo en la fórmula. 
 
 
21
21
xx
yy
m


 
 
2
11
1
2
11
32
2
2
7
32
2
2
7








ABm 
 
 
4.- Encuentra la pendiente de la recta que pasa por los puntos L (-3,4) y K (2,4). 
Sustituyendo en la fórmula. 
 
 
21
21
xx
yy
m


 0
5
0
23
44





LKm 
 
Nota: Obsérvese que la recta LK es horizontal, pues los dos puntos tienen la 
misma ordenada. Entonces el ángulo de inclinación es de 0º y la tangente de 0º 
es cero, así que puede generalizar diciendo que la pendiente de una recta 
horizontal vale cero. 
 
 
 35 
3.2.1 PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD ENTRE DOS RECTAS. 
 
Ejercicios: 
 
1.- Determina si son o no son paralelas las rectas AB y CD siendo: 
 
 
   
   6,4,4,1
5,7,3,2
DC
BA

 
 
De acuerdo con la condición de paralelismo, si las rectas son paralelas, sus 
pendientes son iguales. Entonces hay que calcular las pendientes: 
 
 
5
2
27
35



ABm 
5
2
14
46



CDm 
 
Como CDAB mm  , concluimos que las rectas AB y CD son paralelas. 
 
2.- Comprueba que los puntos A (1,2), B (4,-1) y C (3,4) son vértices de un 
triángulo rectángulo. 
 
Un triángulo para ser rectángulo debe tener un ángulo recto y un ángulo recto 
está formado por rectas perpendiculares, así que el triángulo ABC es rectángulo 
si dos de sus lados son perpendiculares entre sí. Entonces hay que calcular la 
pendiente de cada lado: 
 
 1
3
3
14
21





ABm 
 
 5
1
5
43
14





BCm 
 
 1
2
2
13
24



ACm 
 
 36 
Como las pendientes de AB y AC son recíprocas y de signo contrario concluimos 
que los lados AB y AC son perpendiculares entre sí y, por lo tanto, el triángulo 
ABC es un triángulo rectángulo. 
 
3.- Comprueba que las rectas que pasan por los puntos J (1,1),K (4,4) y L (0,4), 
M (3,1) son perpendiculares entre sí. 
 
 Se calcula la pendiente de cada una de las rectas: 
 1
3
3
14
14



JKm 1
3
3
03
41





LMm 
 
Como las pendientes son recíprocas y de signo contrario, las rectas JK y LM son 
perpendiculares entre sí. 
 
4.- Comprueba que las rectas que pasan por los puntos A (1,4), B (-1,0) y C (1,1), 
D (3,5) son paralelas entre sí. 
Se calcula la pendiente de cada una de las rectas: 
 
 2
2
4
11
40





ABm 2
2
4
13
15



CDm 
 
Como las pendientes de las rectas AB y CD son iguales, queda comprobado que 
son paralelas entre sí. 
 
 
ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS AL CORTARSE. 
 
Fórmula: 
21
12
1
tan
mm
mm


 
 
Ejercicios: 
 
1.- Calcula el ángulo formado por las rectas A (1,5), B (7,3) y C (2,1), D (6,4). 
Para precisar el ángulo que se va a calcular, conviene hacer la gráfica de las 
rectas. Y con objeto de que la tangente sea positiva, se considera alguno de los 
 37 
ángulos agudos, numerando las rectas como se indicó, es decir suponiendo que 
el ángulo se describe girando en contra de las manecillas del reloj. 
 
 
Las pendientes son: 
3
1
6
2
17
53 





ABm 
4
3
26
14



CDm 
 
A la recta que pasa por los puntos AB la llamamos (1), a la recta que pasa por los 
puntos CD la llamamos (2); entonces: 
4
3
3
1
21  mym . Sustituyendo en la 
fórmula: 
 
 
9
13
12
9
12
13
12
312
12
49
12
3
1
3
1
4
3
4
3
3
1
1
3
1
4
3
tan 



























 
 
 444.1
9
13
tan  
 
 
Ahora se busca en unas tablas o en una calculadora el ángulo cuya tangente sea 
igual a 1.444 y se encuentra que  55º 17´. 
 
 El ángulo marcado en la figura como 
71º55º180
º180


a

 
 
 
71º55
06º179


 
 34º124  
 
 34º124  
 
 38 
Obsérvese que, si se desea calcular directamente el ángulo  deberá 
considerarse a recta que pasa por los puntos CD como recta (1) y la recta que 
pasa por lo puntos AB como recta (2). Entonces sustituyendo en la fórmula 
queda: 
 
 444.1
9
13
3
1
4
3
1
4
3
3
1
tan 














 
 
Se busca en las tablas el ángulo cuya tangente es 1.444, y como ésta es negativa 
se calcula su suplemento. Así se obtiene que: 
 34º124  
 
2.- Calcula los ángulos interiores del triángulo cuyos vértices son A (2,3), B (7,4) 
y C (4,7). 
Primero se hace la gráfica del triángulo y se calcula la pendiente de cada uno de 
los lados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5
1
27
34



ABm 1
3
3
74
47





BCm 2
2
4
24
37



ACm 
 
 
 
 
 
 
 
 
y 
x 
 39 
A continuación, para calcular cada uno de los ángulos se va considerando cuál es 
el lado uno y cuál es el lado dos. Así, para el ángulo que está en el vértice A, el 
lado uno es AB y el lado dos es AC . Se sustituye en la fórmula: 
 
 
 
285.1
7
9
5
7
5
9
5
2
1
5
9
2
5
1
1
5
1
2











Atg 
 
Por lo que el ángulo que está en el vértice A es el ángulo cuya tangente es 1.285: 
 5º52 A 
 
Para el ángulo en el vértice B, el lado uno es BC y el lado dos es AB : 
 
 
 
 
5.1
2
3
4
6
5
4
5
6
5
1
1
1
5
1
5
1
11
1
5
1












Btg 
 
Por lo que el ángulo que está en el vértice B es el ángulo cuya tangente es 1.5 
 
 02º56 B 
 
Para el ángulo que está en el vértice C, el lado uno es AC y lado dos es CB . 
 
 
  
3
1
3
21
3
121
21









Ctg 
 
Por lo que el ángulo que está en el vértice C es el ángulo cuya tangente es 3: 
 53º71 C 
 
 40 
Los tres resultados anteriores se pueden comprobar sumándolos, ya que la suma 
de los ángulos interiores de cualquier triángulo es siempre 180º. 
 
 
53º71
02º56
5º52



C
B
A
 
 __________ 
 06º179  
O sea 180º. 
 
 
3.2.2 ECUACIÓN DE UNA RECTA. 
 
La línea recta se define como el lugar geométrico formado por los puntos tales 
que, si se toman dos cualesquiera de ellos, se obtiene siempre la misma 
pendiente. 
 
 
1
1
xx
yy
m


 
 
De acuerdo con esto se obtiene la ecuación de la recta poniendo la diferencia de 
ordenadas en el primer miembro y el producto de la pendiente por la diferencia 
de las abscisas en el segundo, quedando así: 
 
  11 xxmyy  
 
que es la primera forma en que estudiamos la ecuación de la línea Recta. 
 
Ejercicios: 
 
1.- Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto A (2,3) y cuya 
pendiente es -2. 
 
 41 
Se sustituye en la ecuación de la recta: 
 
  223  xy 
 
 
Se efectúa la operación indicada en el segundo miembro y se pasan todos los 
términos al primer miembro: 
 
 
072
423


yx
xy
 
 
qué es la forma usual en que se expresa la ecuación de la recta. 
2.- Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (-2,-3) y B (5,1). Se 
calcula la pendiente: 
 
 
7
4
7
4
52
13






m . 
 
Ahora se sustituye en la ecuación de la recta usando el punto A o el punto B y la 
m calculada: 
 
usando A: 
 
01374
84217
2
7
4
3



yx
xy
xy
 
 
 
usando B: 
 
01374
20477
5
7
4
1



yx
xy
xy
 
 
Como se ve la ecuación que se obtiene es la misma usando A o B. 
 
La forma de la ecuación de la recta  11 xxmyy  , se emplea en general cuando 
se desea obtener la ecuación de una recta dada, siempre que con los datos que 
se den sea posible llegar a conocer la pendiente y al menos un punto de la recta. 
 42 
3.- Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto J (-2,-3) y que es paralela 
a la recta que pasa por los puntos A (2,3) y B (5,4). Se calcula la pendiente AB: 
 
 
3
1
25
34



ABm 
 
la pendiente de la recta cuya ecuación buscamos es la misma, pues son 
paralelas, así sustituyendo en la fórmula el punto J y m queda: 
 
 
 
073
293
2
3
1
3



yx
xy
xy
 
 
4.- Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto K (2,1) y que es 
perpendicular a la recta que pasa por los puntos A (-2,1) y B (-3,5). Se calcula la 
pendiente de la recta AB: 
 
 4
1
4
23
15





ABm 
 
Como la recta que pasa por K es perpendicular a la recta AB, sus pendientes son 
recíprocas y de signo contrario. Así la pendiente de la recta cuya ecuación 
buscamos es:4
1
m 
 y la ecuación es: 
 
024
244
2
4
1
1



yx
xy
xy
 
 
 43 
5.- Halla la ecuación de la mediatriz del segmento A (-2,3), B (6,5). Recordando 
que la mediatriz es la recta que pasa por el punto medio del segmento, siendo 
perpendicular a dicho segmento, calculamos en primer lugar el punto medio de 
AB: 
 
 4,2
4
2
8
2
53
2
2
4
2
62
ABm
m
m
P
y
x






 
 
Ahora se calcula la pendiente de AB: 
 
 
4
1
8
2
26
35



ABm 
 
Como la mediatriz es perpendicular, su pendiente es recíproca y de signo 
contrario: 
 
 4mediatrizm 
 
El problema es entonces hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto 
(2,4) y cuya pendiente es 4m 
 
 
 
0124
844
244



yx
xy
xy
 
 
que es la ecuación de la mediatriz del segmento AB . 
 
 
 44 
6.- Dado el triángulo J (-2,3), K (6,5), L (4,7), encontrar: 
 
La ecuación de la mediana del lado JK . 
La ecuación de la altura, considerando como base el lado JK . 
La ecuación de la mediatriz del lado KL . 
La ecuación del lado LJ . 
 
Solución. 
 
Recuérdese que la mediana es la recta que une el punto medio de un lado con el 
vértice opuesto. Entonces se determinan las coordenadas del punto medio del 
lado JK . 
 
 
 4,2
4
2
8
2
53
2
2
4
2
62







JKm
m
m
P
y
x
 
 
 
En seguida se calcula la pendiente de la mediana pues ya sabemos que pasa por 
 4,2
JKm
P y por  7,4L : 
 
 
 
2
3
24
47



m 
 
 45 
Con este valor de m y usando cualquiera de los dos puntos, por ejemplo L, 
queda: 
 
 
 
0223
123142
4
2
3
7



yx
xy
xy
 
 
que es la ecuación de la mediana del lado JK . 
 
 
La altura es perpendicular a la base y pasa por el vértice opuesto. Así tenemos 
que encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto L (4,7) y es 
perpendicular a la recta JK. Entonces se calcula la pendiente de JK: 
 
 
4
1
8
2
26
35



JKm 
 
La pendiente de la altura es recíproca y de signo contrario: 
 
 4altiram 
y la ecuación de la altura es: 
 
 
0234
1647
447



yx
xy
xy
 
 
 46 
Para encontrar la ecuación de la mediatriz de KL se determina el punto medio: 
 
 
 6,5
6
2
12
2
75
5
2
10
2
46
m
m
m
P
y
x






 
 
se calcula la pendiente de KL: 
 
 1
2
2
64
57





KLm 
 
La pendiente de la mediatriz es m=1 
La ecuación de la mediatriz es: 
 
 
01
56
516



yx
xy
xy
 
 
 
Para encontrar la ecuación del lado LJ se calcula su pendiente: 
 
 
3
2
6
4
24
37



LJm 
 
y con el punto L (4,7), la ecuación es: 
 
 
01332
82213
4
3
2
7



yx
xy
xy
 
 
7.- Halla la ecuación de la recta cuya pendiente es m= -2 y que pasa por el punto 
de intersección de las rectas: 
 
0222
0732


yx
yx
 
 
 47 
Las coordenadas del punto de intersección se encuentran resolviendo como 
ecuaciones simultáneas las dos ecuaciones dadas, pues en cada ecuación de 
recta las variables x y y representan las coordenadas de cualquier punto de la 
recta. Así, los valores de x y y que satisfacen las dos ecuaciones tienen que ser 
las coordenadas del punto donde se cortan dichas rectas. El sistema de 
ecuaciones puede resolverse por cualquier método de eliminación o por 
determinantes. Lo vamos a resolver eliminando por resta. Así restaremos la 
segunda ecuación de la primera: 
 
 
1
55
0550
0222
0732






y
y
yx
yx
yx
 
 
Sustituyendo el valor de y en cualquiera de las dos ecuaciones se encuentra el 
valor de x. 
 
Sustituyendo en la primera: 
 
 
2
42
0732
07132




x
x
x
x
 
 
Así obtenemos que las coordenadas del punto de intersección son: (2,1). Ahora 
la ecuación de la recta es: 
 
 
052
421
221



yx
xy
xy
 
 
 48 
8.- Encuentra las intersecciones con los ejes coordenados de la recta 
0632  yx . 
Con el eje de x: 
 
3
62
062
0




x
x
x
y
 
 
La intersección es el punto (3,0). 
Con el eje y: 
 
2
63
063
0




y
y
y
x
 
 
La intersección es el punto (0,2). 
 
9.- Encuentra la pendiente de la recta 043  yx . Para calcular la pendiente se 
necesita conocer las coordenadas de dos puntos de la recta. Para eso se puede 
despejar cualquiera de las variables y dar valores a la variable independiente. 
 
Despejando y: xy 34 
 
 x y 
 1 1 
 2 -2 
se tiene ya los puntos (1,1) y (2,-2), así que la pendiente es: 
 
 3
1
3
12
12





m 
 
10.- Hallar la ecuación de la recta cuya ordenada al origen es b=4 y cuya 
pendiente es m=2. 
Se sustituyen los valores de m y b en la fórmula bmxy  
 
 
042
42


yx
xy
 
 49 
Por supuesto, esta ecuación se puede encontrar usando la forma  11 xxmyy  , 
pues se conoce la pendiente y, al conocer b, se sabe que la recta pasa por el 
punto (0,4): 
 
 
042
24
024



yx
xy
xy
 
 
11.- Calcula la distancia del punto  1,2A a la recta 023  yx . 
 
La distancia de un punto a una recta siempre se mide perpendicularmente a la 
recta. Así, para calcular la distancia, hay que trazar desde A una recta 
perpendicular a la recta dada, para determinar el punto B en el cual se 
intersectan dichas rectas, ya conocido el punto B, el problema se reduce a 
calcular la distancia entre dos puntos. Para obtener la ecuación de la recta AB, 
en la que se conoce al punto A hace falta su pendiente, peor sabemos que es 
recíproca y de signo contrario a la pendiente de la recta 023  yx . Así que se 
calcula ésta despejando y. 
 23  xy 
 
 
por lo que 3m y la pendiente de la recta AB es 
 
3
1
ABm 
 
La ecuación de AB es: 
 
 
013
233
2
3
1
1



yx
xy
xy
 
 
 
 
 
 
 
 
 50 
3.3 FORMA SIMÉTRICA DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA. 
 
Así como la ordenada de la intersección de una recta con el eje de las Y se le 
llama ordenada al origen b, a la abscisa de la intersección de la recta con el eje X 
se le llama abscisa al origen y se representa con a. ahora planteamos como 
problema encontrar la ecuación de una rectaconociendo su abscisa y su 
ordenada al origen: al conocer a y b se conocen dos puntos de la recta: 
 
 (0,b) y (a,0) 
y con ellos se encuentra la ecuación, para lo cual primero se calcula la pendiente: 
 
a
b
a
b
m





0
0 
 
Después se sustituye en la ecuación  11 xxmyy  , usando por ejemplo el punto 
(0,b): 
 
 
 
abaybx
bxabay
x
a
b
by


 0
 
 
y luego se divide toda la ecuación entre el término independiente ab: 
 
 
ab
ab
ab
ay
ab
bx
 
 
 1
b
x
a
x 
 
que es la ecuación de la recta en su forma simétrica. Esta ecuación puede usarse 
cuando se desea obtener la ecuación de una recta conociendo los puntos donde 
la recta interfecta a los ejes. 
 51 
Ejercicios: 
 
1.- Encontrar la ecuación de la recta cuyas intersecciones con los ejes están 
dadas por 3a y 5b . 
 
Se sustituyen estos valores en la ecuación: 
 
 1
b
y
a
x 
 
 1
53

yx 
 
 
01535
1235


yx
yx
 
 
2.- Hallar las intersecciones con los ejes de la recta cuya ecuación es: 
 
 0632  yx 
 
Hay que transformar la ecuación a la forma simétrica, para lo cual se pasa el 
término independiente al segundo miembro y se divide toda la ecuación entre 
dicho término: 
 
3
5
3
5
1
23
632
0632







B
C
b
yx
yx
yx
 
 
 52 
3.- Trazar la recta cuya ecuación es: 
 0643  yx 
 
Se calculan sus intersecciones con los ejes y se hace la gráfica. 
 2
3
6



A
C
a es el punto (2,0) 
2
3
4
6




B
C
b es el punto 






2
3
,0 
 
 
f(x)=-.75x+1.5
-12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6
-5
5
10
x
y
 
 
4.- Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto J (-2,-3) y es 
perpendicular a la recta: 
 0132  yx 
 
Se calcula la pendiente de la recta 0132  yx con la fórmula: 
 
3
2
3
2
; 

 m
B
A
m 
 
 53 
Entonces la pendiente de la recta cuya ecuación se pide es recíproca y de signo 
contrario: 
 
2
3
m 
 
A continuación se sustituye este valor y las coordenadas del punto J, en la 
primera forma de la ecuación de la recta   :11 xxmyy  
 
 
01223
6362
2
2
3
3



yx
xy
xy
 
 
3.4 CIRCUNFERENCIA 
 
ECUACIÓNDE LA CIRCUNFERENCIA EN LA FORMA ORDINARIA CON CENTRO EN 
EL ORIGEN 
 
 La circunferencia se define como el lugar geométrico de un punto que se mueve 
en un plano, de tal manera que está siempre a la misma distancia de un punto 
fijo, situado en el mismo plano y llamado centro. A la distancia que hay en el 
centro y cualquier punto de la circunferencia se le llama radio. 
 Si queremos encontrar la ecuación de la circunferencia. Primero vamos a 
considerar el caso particular, en que el centro de la circunferencia está en el 
origen de las coordenadas y el punto A (x, y) es punto cualquiera de la 
circunferencia. 
 54 
 
 y 
 
Figura 
 
 A(x,y) 
 x 
 
 
 
 
 
 
 Escribiendo la condición geométrica, tenemos: 
 rAC 
'''''''
 
 
 
Al sustituir en la fórmula de distancia entre dos puntos, nos queda: 
 
 
222 ryx  
 Elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad: 
 222 ryx  
 
En esta ecuación x y y representan las coordenadas de cualquier punto de la 
circunferencia; r es el radio de la circunferencia. 
 
EJEMPLOS. 
 
1.- Encuentra la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y radio 
igual a 4 
 
 
 C 
 55 
Sustituyendo en la ecuación de la circunferencia, se obtiene: 
 
  222 4 yx 
 16
22  yx 
 
2.- Encuentre la ecuación de la circunferencia cuyo entro se halle en el origen y 
que pase por el punto A ( 3, 4 ). 
En los datos que nos dan, no está la medida del radio; por lo tanto, lo vamos a 
calcular. Como sabemos que el radio es la distancia del centro a cualquier punto 
de la circunferencia, encontramos la distancia del origen al punto A y éste es el 
radio de la circunferencia: 
     52516943
22
CA 
Entonces el radio de está circunferencia es 5, r =5; lo sustituimos en la ecuación 
de la circunferencia 
 
 
 
25
5
22
222


yx
yx
 
 
3.- Encuentra la ecuación de la circunferencia cuyo centro esté en el origen y que 
sea tangente a la recta 
 
3x + 4y + 15 = 0 
Para resolver este problema vamos a recordar la ecuación de la distancia de un 
punto a una recta 
 
22
11
BA
CByAx
d


 
Así sustituyendo los valore del centro de la circunferencia que es el punto (0,0), y 
de la recta 3x + 4y +15=0 en la fórmula anterior, nos queda: 
 
 
 
3
25
15
169
15
)4(3
15)0(4)0(3
22





r 
 
 
 56 
Al sustituir este valor que acabamos de encontrar para el radio, en la ecuación 
de la circunferencia: 
 
 
9
)3(
22
222


yx
yx
 
 
3.5 ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA EN LA FORMA ORDINARIA FUERA DEL 
ORIGEN 
 
Para realizar problemas de este tipo, debemos recordar la ecuación de la 
circunferencia con el centro fuera del origen. 
 
     222 rkyhx  
 
4.- Halla la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto C ( 5,1) 
y cuyo radio es igual a 3. 
 
 Sustituyendo estos valores en la ecuación obtenemos: 
 
    915 22  yx
 
Si desarrollamos los binomios, reducimos términos semejantes y ordenamos la 
ecuación, llegamos a lo que se llama forma general de la ecuación de la 
circunferencia. 
 
 
   
017210
09122510
915
22
22
22



yxyx
yyxx
yx
 
 
 57 
5.- Encuentra la ecuación de la circunferencia con centro en el punto (2, 3) y 
radio igual a 5. 
Sustituimos los valores de h,k y r en la ecuación de la circunferencia en su forma 
ordinaria: 
 
 
   
     
   
01264
2532
532
22
22
222
222




yxyx
ordinariaformaenEscrita
yx
yx
rkyhx
 
 
 
4 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 
 
4.1 LÍMITES. 
1.- 


 2
2
53
25lim
xx
x
x
 
2
2
2
2
2
2
53
25
lim
x
x
x
x
x
x
x
x



 = 
5
3
2
5
2


x
x = 
50
20


= 
5
2
 
2.- 
3
6
3
lim 2


 x
xx
x




0
0
33
639
 
 
  
 3
23
3
6
3
lim 2





 x
xx
x
xx
x
= 523  
3.- 





 0
0
11
11
1
1
1
lim
x
x
x
 
 
  
  
  
 
211
1
11
11
11
1
lim






 x
xx
xx
xx
x
 
4.-   28682
3
lim


x
x
 
5.- 
 
  3
1
9
3
9
9
9
312
3
12
3
lim
4
2
312
4
2





x
x
x
 
 58 
6.- 51
25
1
169
3
9
4
lim 2





 x
x
x 
7.- 
x
lim
 


fxexdx
cbxax
35
24
 lim
55
3
5
5
55
2
5
4
x
fx
x
ex
x
dx
x
c
x
bx
x
ax


= 0
0
00
000
42
53






dd
x
f
x
e
d
x
c
x
b
x
a
 
8.- 





 0
0
11
431
1
43
1
lim 2
x
xx
x
 (indefinido) se puede quitar la indeterminación con 
algún paso 
algebráico, en este caso con factorización. 
 
  
 1
14
1
43
1
lim 2





 x
xx
x
xx
x
54  x 
9.- 
   








 0
0
0
31518
33
33532
3
352
3
lim
22
x
xx
x
 
   
  
  
    71613212
3
123
3
12
1262
3
6254
3
3522
3
352
3
lim 222
















x
x
xx
x
xx
x
xx
x
xx
x
xx
x
 
10.- 





 0
0
33
99
3
9
9
lim
x
x
x
 
 
  
  
  
633
9
39
33
39
9
lim







 x
xx
xx
xx
x
 
11.- 
2
lim
x
 
  
 
12444
2
422
2
8 23






x
xxx
x
x
 
12.- 
0
lim
x
 
0
0
00
00
4
16
2
3






xx
xx
 
 
0
lim
x
 
 
 
  
 
4
4
44
4
16
4
16 2
2
3









x
xx
xx
xx
xx
xx
 
 59 
13.- 
2
lim
x
 0
4
0
4
624
2
62





x
xx
 
14.- 
2
lim
t
 
  
   3
1
12
32
12
23
2
65
2
2









tt
tt
tt
tt
 
15.- 
3
lim
x
 
6
7
6
7
6
4129
3
442









x
xx
 
16.- 
1
lim
x
 ;
0
0
1
13



x
x
 indefinido 
 
1
lim
x
 
  
 
3111
1
11
1
1 23






x
xxx
x
x
 
17.- 
1
lim
u
 





0
0
11
761
1
76
2
2
u
uu
 Indefinido. 
 
1
lim
u
 
   
   
4
2
8
11
17
1
76
2
2






uu
uu
u
uu
 
 
18.- 
1
lim
x
 
0
0
11
312
1
32 2






x
xx
 
 
1
lim
x
 
 
  
 1´
2
2232
1
624
1
32 22








x
xx
x
xx
x
xx
=
1
lim
x
 
  
 
  5312
1
132



x
xx
 
19.- 
0
lim
x
 
0
043 2


x
xx
 
 
1
lim
x
 
 
  143413
43


x
xx
 
20.- 
1
lim
x
 
0
0
11
11
1
1






x
x
 Indefinido. 
 60 
1
lim
x
 
   
   
 
    2
1
11
1
1
1
11
1
11
11
1
1













xxx
x
xx
xx
x
x
 
21.- 
2
lim
x
 
0
0
22
33
22
354
2
352









x
x
 indefinido. 
 
2
lim
x
 
  
          
   
   3
2
6
4
33
4
352
22
352
4
352
95
352
3535
2
35
22
2
2
2
2
222

















xx
xx
xx
x
xx
x
xx
xx
x
x
 
22.- 
1
lim
x
 indeterminado. 
 
1
lim
x
 
   
       
  
    












23310310
3101
23310
43
23310
2323
310
23
2
2
2
2
2
222
xxx
xx
xx
x
xx
xx
x
x
 
  
  23910
31011
2 

xx
xxx
= 
   
   
 
 
 
3
4
12
4
62
22
332
231
31011
2










xx
xxx
 
 
23.- 
1
lim
x
   






0
0
14131
213141
1413
234
23
2
23
xx
xxx
 
 
1
lim
x
 
  
   14
25
141
125
1413
234 22
2
23








x
xx
xx
xxx
xx
xxx
15
8
141
251



 
 61 
Factorizar por división sintética 
234 23  xxx
 
 
 1 +4 -3 -2 1 
 1 5 2 
 1 5 2 0 
 
 Uno de los factores del polinomio es (x- 1) y el otro factor es )25( 2  xx 
 
 
 
24.- 
          
  
        
   6
1
48
8
1644
44344
1644
44434
64
16434
4
lim
2
3
2
24
3
224









 xxx
xxxx
xxx
xxxx
x
xxx
x
 
 
 
 
 
25.- 

 0
0327
0
lim 3
x
x
x 
 
   
   





 



















 0
18
3270
18
327
927
327
327327
0
lim
2
33 2
3
2
3
2
3
x
xx
x
xx
xx
x
 
 
 
 
 62 
4.2 DERIVADAS 
FÓRMULAS DE DERIVACIÓN 
1.- 0
dx
dc
 
2.- 1
dx
dx
 
3.-  
dx
dw
dx
dv
dx
du
wvu
dx
d
 
4.-  
dx
dv
cvc
dx
d
 
5.-  
dx
du
v
dx
dv
uvu
dx
d
 
6.-  
dx
dv
nvv
dx
d nn 1 
7.- 
2v
dx
dv
u
dx
du
v
v
u
dx
d






 
8.- 
c
dx
du
c
u
dx
d





 
9.-  
dx
dv
vv
dx
dv
v
dx
d 1
ln  
10.-  
dx
dv
v
e
v
dx
d log
log  
11.-  
dx
dv
aaa
dx
d vv ln 
12.-  
dx
dv
ee
dx
d vv  
 63 
13.-  
dx
dv
uu
dx
du
vuu
dx
d vvv .ln1   
14.-  
dx
dv
vvsen
dx
d
cos 
15.-  
dx
dv
vsenv
dx
d
cos 
16.-  
dx
dv
vvtg
dx
d 2sec 
17.-  
dx
dv
vvctg
dx
d 2csc 
18.-  
dx
dv
vtgvv
dx
d
secsec  
19.-  
dx
dv
vctgvv
dx
d
csccsc  
20.-  
21 v
dx
dv
vsenarc
dx
d

 
21.-  
21
cos
v
dx
dv
varc
dx
d

 
22.-  
21 v
dx
dv
vtgarc
dx
d

 
23.-  
21 v
dx
dv
vctgarc
dx
d

 
24.-  
1
sec
2 

vv
dx
dv
varc
dx
d
 
 64 
25.-  
1
csc
2 

vv
dx
dv
varc
dx
d
 
EJERCICIOS 
 SOLUCIONES: 
 
1.- 3xY  2' 3xY  
2.- 24 bxaxY    





 2424' )( x
dx
d
bx
dx
d
abx
dx
d
ax
x
d
Y 
 = bxax
dx
dx
xb
dx
dx
axa 2424 33 










 
3.- 53
4
 xY 3
1
3
1
'
3
4
0
3
4
53
4
x
dx
dx
x
dx
d
x
dx
d
Y  
4.-   





  5
2
37 3
3 45 2
3
38
73
xxx
x
x
x
x
Y -   




 
4
3
7 xx + 








7
3
8 x = 7
3
3
1
873 3
13
xxx 

 
 7
4
3
4
5
7
7
24
3
7
5
39
'

 xxxY 
5.-  52 3 xY         310235335' 22242  xxxxx
dx
d
xY 
6.-  2
1
2222 xaxaY  
     x
xa
xa
dx
d
xaY 20
`2
1
2
1
'
22
22
2
1
22 



 
22222
2
xa
x
xa
x




 
7.-     2
1
2222 51235123 xxxxY  
        23515123´ 22
1
2
2
1
22  x
dx
d
xx
dx
d
xY 
 65 
 
 
          06515151
2
1
23¨ 2
1
22
2
1
22 







xxx
dx
d
xxY 
      2
2
2 516100
512
1
23´ xxx
x
xY 








 
    2
1
2
2
2
51610
512
23
´ xxx
x
x
Y 


 
 
         
2
1
2
2
2
2
1
2
2
2 516
51
235
516
512
2325
´
xx
x
xx
xx
x
xx
Y







 = 
         






2
23
2
2
1
2
2
1
22
51
5161015
51
51516235
x
xxxx
x
xxxxx 
 
2
3
51
1645
x
xx


 
 
8.- 
22
22
xa
xa
Y


 =    2
1
2222  xaxa  
dx
d
xaY 22'     2
1
222
1
22   xaxa  22 xa
dx
d
 
 'Y      






 222
3
2222
2
1
xa
dx
d
xaxa +  x
xa
20
1
22


 
 'Y  
 
 









 x
xa
xa 20
2
1
2
3
22
22 + 
22
2
xa
x

 
 66 
 'Y  
  2
3
22
22



xa
xax + 
  2
1
22
2
xa
x

 
 'Y    
  2
3
22
2222 2
xa
xaxxax

 
 'Y 
  3
3
22
3232 22
xa
xxaxxa

 = 
  2
3
22
323
xa
xxa

 
 
9.- Y 823 24  xx 'Y  43x
dx
d  22x
dx
d
 +  8
dx
d
 
 'Y  0412 3 xx xx 412 3  
10.- Y 3234 xx  
 'Y 4
dx
d + 
dx
d x3 - 
dx
d  32x 
 'Y  2630 x 263 x 
11.- S 5at - 35bt 'S
dt
d 5at - 35bt
dt
d
= 45at - 215bt 
12.- W
2
2z
 - 
7
7z
= 2
2
1
z 7
7
1
z 'W  z2
2
1
 - 
7
1  67z = 6zz  
 
13.- 
dx
d
 v 
dx
d
= 
2
1
 2
1
v 
dx
d
v 
 
dx
d
= 
v2
1
dx
dv
 
14.- 
dx
d







2
32
xx
= xx 32  'Y 32 62   xx = 
32
62
xx


 
 67 
15.- 
dt
d




  3
2
3
4
32 tt = 
dt
d
= 3
1
3
8
t - 
3
6
3
1
t 
 
dt
d
= 
3
8
3
1
t - 3
1
2

t = 
3
8
3
1
t - 
3
1
2
t
 
16.- Y 







4
1
4
3
42 x
dx
d
x 'Y
dx
d
4
3
2x
dx
d
4
1
4

x 
 'Y
4
6
4
1
x - 4
5
4
4 
x 
 'Y
4
5
4
1
1
2
3
xx
 
 
17.- Y 3
2
x - 3
2
a 'Y
dx
d
3
2
x - 
dx
d
3
2
a 
 'Y
3
2
3
1
x - 0 
 'Y
3
1
3
2
x
 
18.- Y
x
cxbxa 2
 =  2cxbxa  1x = cxbax 1 
 'Y 02  ax + c = 
2x
a
 + c = c
2x
a 
19.- Y
2
x
 - 
x
2
= 
2
2
1
x
- 2
1
2

x = a
2
1
2
1
x - 2
1
2

x 
 'Y
2
1





  21
2
1
x + 2
3
2
2 
x = 
x4
1 + 
2
3
1
x
 = 
x4
1 + 
xx
1 
 
 68 
20.- S
t
ctbta 2
=  2ctbta  2
1
t = 2
1
at + 2
1
bt + 2
3
ct 
 
'S 







2
3
2
1
ta + 










  2221
2
3
2
1
tctb =
tt
a
2
 +
t
b
2
+ tc
2
3 
21.- Y ax + 
ax
a
=   2
1
ax +    2
1
axa 
'Y        







ax
dx
d
axaax
dx
d
ax 2
3
2
1
2
1
2
1 = 
   
 
 a
ax
a
aax
2
3
2
1
22
1

 
 'Y
axx
a
ax
a
axax
a
ax
a
2222
2
 
 
22.- r 21 =   2
1
21  'r
2
1
  2
1
21

 
d
d  21 = 
212
1

 2 = 
21
1

 
23.-  tf  3232 t = 3 'f  t =  22323 t
dt
d  232 t =  22323 t  t6 = 
t18  2232 t 
24.- F  x = 3 94 x =   3
1
94 x 'F  x = 
3
1
  3
2
94 x
dx
d  x94  = 
  3
2
943
1
x
 9 = 
 3 294
3
x
 
 
 69 
25.- Y
22
1
xa 
 =   2
1
22 xa 
 'Y -
2
1   2
3
22  xa
dx
d  22 xa  = 
  2
3
222
1
xa 

 x2 = 
  2
3
222
2
xa
x

= 
  2
3
22 xa
x

 
26.-  of =   5
3
52 o 'f  o = 
5
3  o52  = 
  5
2
525
3
o
 5 = 
  5
2
52
3
o

 
27.- Y
2







x
b
a 'Y 






x
b
a2 












x
b
a
dx
d
 = 






x
b
a2 1 x
dx
d
b 
 'Y b2  2





 x
x
b
a = 






x
b
a
x
b
2
2 
28.- Y
3
2







x
b
a 'Y 3
2
2







x
b
a 
dx
d







2x
b
a 
 'Y
2
2
3 






x
b
a 




 2x
dx
d
b 
 'Y 3
2
2







x
b
a  bx2 = bx6
2
2







x
b
a 
29.- Y bxax  =   2
1
bxax  'Y x
dx
d
  2
1
bxa  +   2
1
bxa  
dx
d
x 
 'Y x     bxabxa
dx
d
bxa 







2
1
2
1 
 
 
   
       bxa
bxa
bxa
bxa
bxa
bxabx
bxa
bxabxbxa
bxa
b
xY

























2
32
2
32
2
22
2
2
12
'
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
1
 
 70 
30.-   2
1
2222 tattatS      t
dt
d
tata
dt
d
tS 2
1
222
1
22'  
     222
1
22 2
2
1
' tatta
dt
d
tS 






 
 
 
 
  2
1
22
2222
1
22
2
1
22
2 1
1
1
'
ta
tata
ta
S






 
31.-     1


 xaxa
xa
xa
Y        xa
dx
d
xaxa
dx
d
xaY 
 11
' 
       11' 2 


xa
xaxaY 
 
 
   
 22
1
'
xa
xaxa
xaxa
xa
Y







 = 
 2
2
xa
a
xaxa


 
32.-    12222
22
22




 xaxa
xa
xa
Y        222212222' xa
dx
d
xaxa
dx
d
xaY 

 
           xxaxxaxaY 22' 2222222   
 
 
 222
222
'
xa
xax
Y


 +
 
   
 222
2222
22
222
xa
xaxxax
xa
x




 
 =
   222
3
222
3232
42222
xa
x
xa
xxaxxa





 
33.-   12
1
22
22


 xxa
x
xa
Y       2
1
22112
1
22' xa
dx
d
xx
dx
d
xaY   
 71 
 
       





  222