10. Multiplicação

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pihoaMca, ..... ,, ___ -.o. ...... pltAQ<oo . .. .... _1_001 ..... __ d. lO ........... __ . 
_ ...... _ . la _1Id ....... _" ... .u-. .. co ....... -.v. _l. " __ n. _ ... -' ... _ 
m_ .................... Ie • • _d*" ............ _.0 O •. C .... " .... __ ,en. 
MUL TIPLlCACION CAPITULO x 
8 MUlTIPLICACION. su OBJETO 
La muhiplicación es una operación de composiciÓn que tiene por oh-
jClo, dadOll numeros llamados multiplicando y muhiplicador. hallar un nú' 
mero llamado producto que sea respecto dd muhiplicando lo que el mulo 
tipLicador es resp«IO de la unidad. 
A~i. muhiplicar 4 (multiplicando) por 3 (multiplicador) es hallar un 
número que sea TN)Xcto de 4 lo que 3 es respecto de 1, pt:ro :l es tres ve· 
ces 1, luego el producto será tfes veces 4, o sea 12. Igualmente. multipli. 
car 8 por 5 es hallar un número que sea respecto de 8 lo que 5 es respecto 
de 1, pero 5 es cinco veces l. luego el pTOducto será 5 veces 8. o sea 40. 
En general, multiplicar a por b es hallar un número que sea r('Specto 
de a lo que b ('S respecto de l. 
NOTACION 
El producto de dos números se indica con el signo x o con un punto 
colocado entre los (actores, que es el nombre que se da al multiplicando 
y multiplicador. 
Asl, el produclO de 6 por 5 se indica 6 x 5 Ó 6.5. 
Cuando los ractores son literales o un número y una letra, se suele 
omitir el signo de multiplicación t:JItre los facwres. 
90 
"'ULTI~LICACIOfrl • 91 
Asi, el pr<Xiuclo de a por b se indica a x b, a.b o simplemente abo 
El pr<Xiuao de 7 por n' se indica 7 x n, 7.n o mejor 7n. 
8 RELACION ENTRE EL PRODUCTO Y EL MULTIPLICANDO 
Consideraremos 4 casos: 
U Si el multiplicador es cero, el producto es cero. Así. 5 x O = O, 
porque el m ultiplicador U indica la ausencia de la unidad, luego el pro-
ducto tiene que indicar la ilusencia del multiplicando. 
2) Si el multiplicador es 1, el producto es igual al multiplicando, 
Asi, 4 x 1 = 4, porque siendo el multiplicildor igual a la unidad, el pro-
ducto tiene que ser igual al multiplicando. 
El Illlmero 1 es el único número que multiplicado por otro da un 
produuo igual a este ú ltimo y por esLO se dice que 1 es el módulo de la 
multiplicación. 
3) Si el multiplicador es > 1, el producto es > el multiplicando. Asf. 
7 x 6 = 42 > 7. porque siendo 6> 1, el producto tiene que SCT > el mul-
tiplia mdo. 
4) Si el nmltiplicador es < l . el producto es < el multiplicando. AsI, 
a x 0.5 = 4, porque siendo 0.5 fa mitad de la unidad, el producto tiene 
que ser la mitad del multiplica ndo. 
De lo anterior se deduce que multiplicar no es siemp"e aumentar. 
§ DEFINICION DE LA MULTIPLlCACION CUANDO 
EL MULTIPLICADOR ES UN NUMERO NATURAL 
Cuando el multiplicador es un n úmero natural , la multiplicación es 
una suma abreviada que consta de tantos sumandos iguales al multiplican-
do como unidades tenga el multiplicador. 
I Ejemplos I 4x3 = 4+4+4 =1 2. 5 x 6 = 5+5+5+5+5+ 5=30. 
oc = o+o+o+o ... ..c veces 
Q MULTIPLlCACION POR LA UNIDAD SEGUIDA DE CEROS 
~ Para multiplicar un entero por la unidad ¡¡eguilb de ceros se a~n 
al entero tanto:!! ceros como ceros acompañen a la unidad. 
Ejempw. I 
( 1 ) 54 X 100 = 5400. porque el volar relativo de codo cifro !e ha hecho 100 
veCeJ moyor. (631. 
(2 ) 1789 X 1000 = 1789000 porque el valor relativo de codo cilra le ha hecho 
1000 veces moyor. 
92 • A RITMIETlC", 
9 MULTIPLICÁCION DE DOS NUMEROS TERMINADOS 
IN CEROS 
Se multiplican los números como si no tu"ieran ttTOS y a la deudLa 
de elle producto se añaden lanl03 ceros como haya en el multiplicando y 
multiplicador. 
Ejemplo I 4300 x 25000 = H17500000. .. 
e NUMERO DE CIFRAS DEL PRODUCTO 
En el producto hay siempre tantas cifras como haya en el multipli-
cando y multiplicador juntOS O una menos. 
AsI, el producto 345 x 23 ha de tener cuatro cifras o cinco. 
En efecto; 345 X 23 > :145 x 10. Y como este ú ltimo producto 
345 x 10 = 3450 liene cuatro cifras, el producto 345 x 23. que es mayor que 
él. no puede tener menos de cuatro cifras. 
Por Otra parte, 345 x23<345x lOO, pero este producto 345x 100=34500 
tiene cinco cifras. luego el productO 345 x 23. que es menor que este últi-
mo produClo. no puede tener más de cinco cifras. 
8 REPRESENTÁCION GRÁFICA DEL PRODuCTO 
Ejemplos I 
(1 ) Representar sráficamente 3 x 2. 
B r---r--,------,C 
2 
3 
2 
m.u .... 1J 
Se representan gráficamente {fig. 23) el multiplicando 3 y el muhiplicadar 2 por 
media de segmet1tos, segun se vio en el núm. 76, y se construye un rec-
tángulo cuyo base seo el segmento que represen to el 3 y cuyo o/luto seo el 
~enla que representa el 2. El rKtángula ABCO que cansla de do$ lilas 
horizontales de 3 cuadrados cada una es la repo-esef11aci6n gráfica del JIfa-
dueto J X 2 = 6 potqw el desarrolla de esle producto es J X 2 = J + J = 6. 
MULTIPUCACION • 93 
(1 ) Representor 9,6ficometl te el produciD 4 X s . 
• 
• ' HH--++-j 
ncw .... 14 , 
El rectóngula de lo liguro 24 formada por 4 filos horilootales de S cUCldrodQi 
coda uno a seo de S + S + :. + S :::: 20 C\Jodraoos es la representación 9,6· 
fica del p,oducto S X 4 porque el de$(lfrolla de este produda es: 
X 4 = .. 
9 PRODUCTO CONTINUADO 
P<1ra ha llar el prodllcto d r m:\.5 de dos nllmeros como 2 X 3 x 4 x 5 s.e 
11;111<1 primero el proOllclCI de dos de dios; luegu se multiplica o te produc-
to por d te(le r factor ; luego este segu ndo produclO p:!r el (anor siguiente 
y así hasta e l l,ltimo rano r. 
Así, en este uso, tendremos: 
2 x 3 :::: G; 6 x ,, = 2-1 ; 24 x 5 = 120 
luego 2 X 3 x 4 x 5 = l:!O. R. 
@ PRUfBAS DE LA MULTIPLICACION 
La prueba dt· 1<1 multipliQci6 n puede reali/.arse de trb modos: 
1) Camhiando el orden de los factoro, debiendo darnos el mismo produc-
to, si la opeuciúu está wrre.::ta, ~un la ley conmutativa de la muhipli. 
c<1dllll que verelnOS pronto. 2) Dividiendo el producto por lino de los 
fauo rl"S, dehicmlo darnos el OlTo !"actor . 3) Por 1<1 prue ba del fI Ilue se 
estudi<1 en el numero Zl7. 
~ EJfRCICIO 40 
l . ~Cuál es el noúdulo de la mu ltiplicación? ¿Por Cojué1 
2. S.e"du el mullli'h ta udo 41l, ¿cudl JeI.le !iCr el multiplicador para Cojue 1'1 
prutluClo loCa 48; ti Joole de 48: IU tercera pa,le; :; veco mayor qul' 
41l: cero? 
3. Si d llIulLipllCa"Jo es (j, leu;U se"'; el muhiplicador ~ i el producto es 18; 
~i e~ 3; si (oS ccro? 
" . !-oiclltlo ab = 3a, ¿que numero es b? 
ti. ::oiendo mn:= m, ¿qué n(,mero es 11? 
6- ::Olt:mlu a . j = b, ¿qué valor tkne b ca" relación a a? 
7. Siendo rlfl :::: tu, ~I.j\.le numelO es a1 ¿I'o r que? 
8. EXpI"CS;H t' tI IOlma oe suma los p roduet05 3 x 4; :; X 7; 6 x 8. 
9. J::xprcs.u en [orilla de ,uma los productO!> /l.4, b.5, c.9. 
10. I:.xprCllar en lorrna de ~uma 106 productos ab, mn, cd. 
94 • AlltlTMlTI C A 
11. Efectuar: 
234 x 56. 
1228 x 31 5. 
4.,.44 x 917. 
12345 x &132. 
100001 x 1001. 
3245672 x 200:3. 
500()()45 x 7004. 
12345678 x 12004. 
J.2. E(ectuar la~ operaCIones siguientes: 
s.;6 por u na deceua. 
M:325 por unil de<:ena de milla r. 
1 centena d e miUil l' por 14 d«enas. 
17 décilnil~ de centenas por 145 centenas de decena. 
ti cem cnil! por 19 ttntenillo de millar. 
18. Efedu.lr: 
, 324 x 100. 
t 121:1 x JOOO. 
., 1!k165.J x 100000. 
" 766á:H x 10000000. 
20 x :JO. 
400 x 40. 
12000 x :3400 . 
70000 x 42000. 
a. t<.:u.inl.<!.' Cllra5 Icodd" los proouClOS: 13 x 4; 45 x 32; 176 x 54:3; 1987 x 5 15~ 
!ti. }{epre;entar gr.i h l1uueUle los productos: 
4 x2. 5x5. 7x8. 
;.Ix6. tix6. 11 x 14. 
16. H allilr el r~wltildo de 
• 
l . 
~ 
•• 
,. 
6. 
,. 
.. 
o. 
a) 3X4X5. 
1.1) 2x2x3x 4. 
(JERCICIO 41 
c) 8x 7 x6x3. 
ti) 5x ll x l 3x7. 
A 6 c~ cada lápiz, tcuánto importar.in/1 d ocenas? R . $5.04. 
I:.ruiquc vcmlc u n U'l reno de l4 ircas a $500 el area y recibe en pago 
ono lerueno d" riOO ruellOS cuaunÓ!:6 a Tazón de $3 el meno cuadrado. 
tCuánto 11: ildcudan~ R. $4600. 
Se compran 8 lib rOli a $2 u no, 5 lapittr05 a SI uno y 4plumas Iucnte5 a 
$3 cada una. ~i !oC vende tooo en SIIl , ¿c:u¡j nto $e pierc.le~ R . SI 5-
Se comprdll :H6 c.locenas de lapiceros a $5 la dOCCllil. Si se ve nden a taZÓn 
de SI cada 2 lapiceros. ¿cu;l l eIi el bendido obtenido? R. $216. 
Se compran 1'14 metros cuadrdd Olo de terreno a $3 el metro, y se venden a 
560 la docena de menos. ¿Cuállto IIC g'dna? R. $168. 
Se (ompran 40 lápices por $2. ¿Cuánto se ganará si se venden toclos a 
72 (l!. la docena? R . SO.40. 
Un auto ¡,¡¡Jc de Ciudad I\Ibdco haóa Monterrey a 60 Kms. por hora y otro 
sale de Ciuúaú México hacia AC'dpulco a 70 Km$. por hora. Si ¡alen a las 10 
de la mañana, ¿a qué dist:<nci" se halla rá n a la I de la t:<nIe? R. 390 Km&. 
Do!; au tOlo !ktlen de dos cllldade~ dist:<ntes e ntre sI 720 Kms. u no hacia 
el otro. El primero and a 40 Knu. por hord y el segundo 30 Kms. por 
hord. Si salen ambos ¡¡ las g a. m., t a qué distancia se encontrdrán a l:u. 
11 a. 111.1 R . 510 KIlU. 
Compré 14 trajei a $30; 22 sombreros a $2 y 8 b<J${ OIICS a $5. Vendiendo 
los traje; por $;)('.0, C'~da sombrero a 51 y cada bastón a S3, .!g'dllO o pierdo 
y (uánlQ~ R . C" no $102. 
10. 
11 
12 
13. 
MULTrPLlCAcrON • 95 
Corn/)Cc 11" coIballQl; a $7U; 15 se murieron y el resto lo verxli a $80 cada 
(aua lo. ¿Gané o perdí y cuiÍ.mo? R. Perdí S50. 
Pn alh;ulil que holce 6 mellO!; cuadr .. uJos de pared en un día ha empleado 
!l dja¡¡ en haftr un trahajo. ~i le pagan a 56 o da metro de pared. ¿cuánto 
debe r'edl)!r? R . $288. 
JUIIII ¡;.II1,1 S6 pur día de lI":lbajo y trabaja 5 1..1101) a la semana. Si gasta 
S~ 1 a 1 .. .c:lll;lIla, ¿cuántu pUt.'<.Ic ahorrd r t:n B M!fIlamllir R. 572 . 
.se, h;H1 ,,,uditlo 14 llalriles de h'!.Tina a $18 cada uno con una potr· 
,1Ida d" $2 por c;ada barril ; 2U sacos de arrOl a $4 cada uno COII tina 
¡;a nallCla 1..1" SI pOI ... (0 Y 7 sacos do: rlijol t.'5 a $15 oda UTlO con una 
pt',dIC1" de 53 IX)I" SilCO. ¿CuJ I lue el COlIto de (ocia la merCdnda que 
"endi~ R. ~61i. 
t'ml"O titone 565, I':ltlldo el dohle de lo (Iue tiene Pedro meJlO$ $ 16 y 
JUdit tanto como lo.. dos an teriores juntO§ m,h SI d. Si entre tocios g-.utan 
51:!~. ~{u;\l es el capital c"mun que quetla l R . 5252. 
I ' n g;¡nMk:ro CIHtlpró 80 calX:la~ de ganado a 540 una. Vendió 30 a 
545 y 2.'1 .. $4~ . ¿Cu:\ mu debe ohtcncr de las (¡ue qued.m para que J¡¡ 
gallallda tm .. ] :;C-.I tic .~~om R . $ 1050. 
e LEYES CE LA MUL~IP_LlC~CION .. 
Las le}'('"'¡ de la rnuh'p!tt;,'ICtf)1l !lOn 6: U !)' de uniformidad, ley con -
mutad\a, ley a.Y.X:iativil, ley di~)( i :\I i"a, ley de monOloníil )' ley distributiva. 
8 1. Uf DE UNIFORMIDAD 
Esta ley puede cnullci~rst: de tfa noodos que Son t:\luivaJentes; 
1) El producto de dos números tiene un valor unico o siempre igual. 
Ejemplo I 5 siUo' X:2 = 10 ,,110 •. 5 meKI' X 2 = 10 meoaJ.. 
S día. x 2 = 10 días. 
Vemos pues, que el producto S X 2, ,uolqulflfo que seo lo naturolezo de los 
COf\luntos que estos numeros reprc.enten, SIempre es 10, luego podemos es-
, .. bir: 
5 x 2=1D. ..... 
2) Lo5 I'roduuos de numeros rell'C<livamente igualo; !iOn iguales. 
Ejemplo I 
Si en un oulo rodeo OSlenlo eslo ocupado por un olumoo de modo que 00 q...edon 
osienlos vocios nI olUrMOS de pie, ombos conluntos eston ,oordinodoJ, luego el 
nUmero de a lumnos o es iguol 01 númefo de sillos b. Es evidente que poro ser110f 
O triple número de glUfTlllO$, o X 3 olUfMos, heri'ln 10110 "iple numero de ,illos, 
b X 3 sillos, y tenótÍOrTIQS o X 3 = b X 3. 
3) Produrto de dos igualdadn. Muhiplicando miembro a miembro 
varias i¡;;ualdarles resulta otra igualdad. 
Ejemplos I 
11 ) Siendo 
l Z ) Siendo 
o =b 
c=d 
re$ulto oc - bd. 
6 = 2.3 
o =e 
mn =p 
,esulta 60mn 6cp. e 11 . LEY CONMUTATIVA 
El orden de los faclores no altera el producto. 
Se pUl'tlen co",idcrilJ" dos casos: 1) Que se mue de dos faclOres. 
2) Que ,c trate de más de dos factores. 
1) Que se trate de dos ractme;. 
Sea el produllo ,'x 4. \'a m05 a demostrar que ti x 4 = 4 x 6. En 
efecto : 
6x 4 = li+6 + 6+6 = 24 
4x6 = 4 +4+ 4+ 4+4+4=24 
y como dos cosas iguall>S iI 
En gener .. 1: 
2) Que se trate de 
una tercera son iguales entre sí, lendrem05: 
6x4 = 4x6. 
4b = bao 
más de dos factores. 
Sea el produclo 5 x 4 X 3 x 2. Vamos a demostrar que invirtiendo el 
orden de 105 (;lCtureS no se ahera el protluno. 
En efeclo: El pnxlucto 5 x 4 x a x :! se puede considerar descompues-
to en estos dos rac.:lore): 5.-1 y J.2. Y como para dos factores ya está demos· 
trado (Itle el orden de los mismos no altera el producto. tendremOli: 
5.4 x 3.:l = 3.2 x 5.4. 
El mismo pwduClo 5 x 4 x 3 x ~ se puede considerar descompuesto 
en Otros dos factorn: 5.4.3 )' 2 )' COIllO el orden de los mismos no altera el 
prc:x.lucto. leudrclIIO!i: 
5.4.3 x :! = 2 x 5.4.3. 
l'or medio de eM,u dC$(;olllpDlii .. ioncs pudemOli hacer lodas las combi· 
naciones posibles de lactores y en cada caso se demuestra que el orden de 
los mislllos 110 allera d proouclU: luego queda demostr:.do lo que nos pro-
poniamos. 
1:.n gene-ra l: 
MULTlPLlCaCION • 91 e 111, LEY ASOCIATIVA 
El producto de vario.s números no varia 5lUtiluyendo dO!! o más bc· 
10~ por su producto. 
I Ejemplc, I 2xJ X4XS =120 12x3jx4xS = 120 -, 
12X3JxI4XSJ=I20 
~ ~-
, 20 
En generol: obcd == (ob)cd ==- o(bcd~ 
El pDfénlllsis indico que p.ime.o deben efectuone 101 produdos encellados dent.o 
de ellos )' luego los otros ope.ociones if\dicodos. 
8 1V. LEY DISOCIATIVA 
El producto de varios números no varía d~mponiendo uno O má.\ 
ra<;tores en dos o más (actores. 
EjemploJ I 
11 I Seo el produc'o B X S. Puesto que 8 = 4 X 2, lendremol' 
BXS = 4 X2xS. 
(2 1 Seo el producto 10x12. Puesto que lO = Sx2)' 12 = 3X4,tendremos: 
10x I2 = Sx2x3x4. 
PRODUCTO DE IGUALDADES Y DESIGUALDADES e V. LEY DE MOHOTOHIA 
Consta de dos partes: 
1) Muhiplicando miembro a miembro desigualdades del mismo sen· 
tido e igualdades. resu)la una desigualdad del mismo sentido que las dadas. 
Ejemplos I 
n I Siendo 8>3 
4 =4 
8 X 4 :> J x 4 
12 > 12 
() ) Sieodo a>b 
c =d • >, 
9 =" 
12 I Siendo S = S 
3 <, 
2<4 
resl,¡lto Sx3x2<sx6x4 
JO < 120. 
oceg > bdI". 
98 • "'''ITMETIC''' 
2) Multiplicando miembro a miembro varias desigualdades del mis-
mo sentido resuha una desigualdad del mismo sentido que las dadas. 
Ejemplos I 
el ) Siendo 
resulto 
ESCOLIO 
SX6>JX" 
:Il > 12. 
e2 1 Siendo 
resulto 
o <b 
«d • <, 
oce < bdI. 
Si se: multiplican miembro a miembro desigualdades de sentido con· 
trario, el resultado no puede anticipa~. pues puwe se:r una desigualdad 
de cualquier R OIido o una igualdad. 
Ejemplos I 
e 1 I Multiplicando 
resu lto 
(21 Multipl icando 
rewlla 
B V,. LEY DISTIUIIUTIVA 
Vl'a.sc número 163. 
.. EJERCICIO 42 
1. Multiplicar las 
• ) 15=5. 
4=4. 
igualdades: 
b) l .a=b . 
x = '1' 
R. a) 20=20. 
6>3 
-4 < 15 
6 X -4 < 3 x 15 
2-4 < 45. desigualdod. 
3« 
. > 6 
J X 8 -4 x 6 
2-4 =: 2-4. igualdoc'. 
¡O=3. { 8=4X2. e) b= 5. d) 5x 3= 15. 
f = c. 7x4 = 14x2. 
b) IlX = by. e) 4ab = l Se. d) 3360 = :1360. 
2. Aplicar la ley de uniformidad a las igualdades: 
¡ ¡ 5=0. {'X 6= "". a) a = be. b ) bd ) x'1 =6. e ac=. mn = h. 2 2 6 3 8 4 = X . X = 1 . 
R. a} amn = " ch. b) 2Ox'1 = 246. e) S'¡(k¡c = 54Obd. 
MUl TIPUCACtON • 99 
S. -Siendo abe = 30, bac = ... , eba = ... lPOf qué? R. tuu: = 30; cba = 30 
por la lq' conmutativa. 
C. tDónde habrá mas lápices, en 8 caj:u de 10 lápiCC$ cada una o en l a a ¡·u 
de 8 l.ipiCC$ cadoa UrtOl? ¿Qué ley aplia? R. Igual en las dos; la ey 
conmutaliva. 
11. ,¡Cuál es el mayor de los pnxhJCtos 8.7 .(j.5 Y 7 .5.6.s} R. Son iguaJes. 
8- ücrib!r el pnxlueto 2.3 . .¡ Oc 6 modos distintos aplicando la ley con· 
mut.all\·a . R . 2.3. 4. 2.4 .3. 3.2 .4, 3. 4 .2, 4.2.3. 
7. El pu:xluclO abed se puede escribir de 2'¡ modos distintos aplicando la 
ley conmulaliva. ücril»lo de nue ve modos distintos. R . Por ejemplo: 
abcd, abdc. aeba, acdb, adbe. adeb, bacd, bade, bcad. 
a. :J.5.6= 1 ~,.6 por la ley.... R. Asociativa. 
9. S,endo 311b = 00 y a = j , ¿que pucde C!iCribiraplicando la ley asociativa? 
10. 
11. 
12. 
1~ 
1~ 
R. 15b =90. 
Ú(:liba el producto 6 x !/ de tres modos distintos apliando la ley diso-
c¡aliva. R. 2x3x9, 6X:lx3, 2x3x3x3. 
j'ueslO <¡ue 20 = [) x 4, Icm.hemos, por la ley disoc;at;ya <¡ue 20 x 3 = .... 
R.20x3 = 5x 4 x3. 
Tra nsCorme el pf<.K.luclO 8 x 6 en un prodUCIO eljuiyalenle de 4 fact ores. 
~Que ley aplica? R. '¡ X 2 X 3 X 2. Ley di§OCiauva. 
Aplique la ley dl~iallYa ,,1 p l<xlucto 10 x ] I! X 12 transformándolo en un 
pl'oducto e<¡ ui \·ah.:nte de ti factores. R. 2 x 5 X 2 X 3 X 3 x 2 X 2 X 3. 
Multiplique las desigualdades: 
1
'< & • )19 >2. 
5> 4. 
Aplicar la 
.) la: •. 
e > d. 
b) { ;! ~; 
6 <8. 
R. a) 45>8. b) 18<80. 
l., d. monotonía en: 
b) l ~~ !: ,) { 
a>b . 
c> 4. 
t > J. 
c} au > bdf •. 
8> 6. 
a=b. 
c=4. 
d ) m <n. 
a < p. 
3 < 4. 
d) lSam < 24np. 
1'<' d) 4 = 4. P<q· 
a < b. 
R . a) oc> bd. b) 5m > 3n. e) 8ac> 6bd. d) 12ap < 2Obq. 
Halle el Icsult.nlo Oc muhipliar nliembro a miembro en los a50S si· 
guicntes: 
• ) 15 >4. 
a < b. 
b) 1 m<p . 
n > q. 
R . a) No se sabe. b) No se sabe. 
@ ALTERACIONES DE LOS FACTORES 
1. Si el multiplicando se multi plica o d ivide por un número, el pro-
ducto queda multiplicado o dh idido por el mismo numero. 
100 . . ,U T MlTIC. 
1) Que t:I multiplicando 5e multiplique por un número. 
Sea el producto 57 x 6. Por derinición sabemos que: 
57 x 6 = 57 + 57 + 57 + 57 + 57 + 57. 
Multipliquemos el multiplicando 57 por un número. 2 por ejemplo, 
y tdldremos: 
(57 x 2)6=57 x 2+ 57 x 2 +57 x 2+ 57x 2+57 x 2+ 57 x 2. 
Ahora bien : Esta segunda suma contiene el mismo número de: suman· 
dos que la primera, pero cada sumando de la segunda es el doble de cada 
sumando de la primera. luego la segunda suma. o sea, el segundo produc· 
to, será el doble de la primera suma o primer producto; luego al muhipli. 
car t:I multiplicando por 2, el producto queda multiplicado por 2. 
2 ) Que el multiplicando se: divida por un número. 
Sea el producto 57 x 6. Por definiciÓu. sabemos que: 
57 x 6= 57 +57 + 57+5J+57 +57. 
Dividiendo el mulliplicilndo por un número. 3 pot' ejemplo, len· 
dremos: 
(57 + 3) x 6 = 57 + 3 + 57 + 3 + 57 + 3 + 57 + 3 + 57 + 3 + 57 + a 
Ahora bien: Esta segunda suma contiene el mismo número de su-
mandos que la antt'rior. pero cada sumando de ésta es la tercera parle de 
cada sumando de la anterior, luego la segunda suma, o sea, el segundo pro-
ducto sed la tercera parle de la suma primera o producto anterior; luego 
al dividir el multiplicando por a el producto ha quedado dividido por 3. 
11 . Si el multiplicador se multiplica o divide por un número, el 
produclo queda multiplicado o dividido por dicho número. 
Seil el producto 57 x 6. Multipliquemos o dividam05 el multiplica-
dor por un número. ~ por ejemplo. y tendremos: 
+ 
57X(6X2) 
y como el orden de (actores no altera el producto, resulta: 
+ + 
57 x (6 x 2)=(6 x 2)X 57 
con lo cual este caso queda comprendido en el anterior. 
111 . Si el multiplicando se multiplica por Wl número y el mullipli-
cador se divide poI: el mismo número O vice..-ersa , el producto no varía. 
En electo: Al multiplicar uno de los (actores por un número, d pro-
duao queda multiplicado por dicho número, pero al dividir el otro faaar 
por el mismo número, el producto queda dividido por el mismo número. 
luego no varia. 
IIIULTIPUC ... CIO N • 101 
~ EJERCICIO 43 
l . ~Que alteración sufre el producto de 88 x S si el 88 se multiplica p:>r 4; 
~i se divide por ll? • R. Queda multiplicado por 4; quffia 4ividido por U. 
S. ~Que alteración su[n: ti producto de 16 x 8 si ti 8 lo multiplicamos por 3; 
si lo dividimO$ por 4? R. Queda lIIuhiplicado por 3: queda dividido 
po< • • 
S. ¿Que alteració n sube ti producto de 6 x 5 si el 6 lo multiplicamos por 4 
y el 5 lo IIlUltiplicanlO$ por 5? R. QUl':da muhiplicado por 20. 
4. lQue alteración sulre el prooJuctu de 24 x 14 si el 24 lo dividim05 por 6 
Y el 14 lo multiplicamos por 2? R. Queda dividido por 3. 
6. 72 es ti producto de dos lactores. ¿Qué variación experimentará este 
producto si el multiplicando lo multiplIcamos por 3 y el multiplicador 
por 4) R. Se: eonviertt: en 864. 
6. S4 es el producto de dO$ laetores. lCuál seria ote producto si ti mul-
tiplicando lo lIIuhiplicam05 por 5 y el multiplicador también Jo multi-
plicarnos por S? R. 2100_ 
7. ¿Qué alteración sufrirá el producto de 150 x 21 si ti ISO lo multiplicamos 
por J Y el 21 lo dividimOli por 3? R. Ninguna. 
&. Siendo ab = 60, t$CI"ibir los productos: 
a} (3a)b =.... d) (a + 5)b = . . 
b) a(2b) =.... e) a(b ..... S) = .. . . 
e) (26)(4b) = . . .. f) (a -+- 2)(b -+- 2) = . . . . 
R. ~) ISO. b) l ro e) 480. d) 12. e) 12. f) 15. 
11. 8a = b. Escribir los productos: 
a) 24a = ... . d) 16(") = ... . 
b) fa= ... . e) 2(56) = .. . . 
e) 8(26) = ... . ~ 2(44) = .. . . 
R. a) 3h. 
b 
b) 2' e) 2h. d) 4h. • e) - h . • ~ b. 
lO. ab = 60. Escribir 10$ productos: 
. a) (fa)(b + 2) = ... . e) (&)(b + 3) = ... . 
b) (26)(b + 4) = ... . d) (a + 2)(h+1O) = .. . . 
R. a) 120. b) 30. c.) 120. d) 3. 
	Sem título