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Las calculadoras no siempre han existido. ¿Cómo calculaban los matemáticos que no tenían calculadora las raíces cuadradas y los logaritmos y cómo...

...puedo aprender a calcular las raíces cuadradas a mano?

Matemática

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Aprendizaje Práctico


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Aprender y Estudiar

Hace más de un mes

La regla para la raíz cuadrada puedes encontrarla en cualquier tratado de Aritmética del siglo XIX o principios del XX. Por ejemplo, en el tratado de Aritmética de Salinas y Benítez (1887), excelente aun hoy día en muchas de sus explicaciones clarísimas y rigurosas, y ahí puedes ver cómo se calculan las raíces cuadradas y cúbicas a mano y la demostración de la manera en que se deduce el procedimiento operativo, o “algoritmo”, palabra que aparecía mucho en los textos antiguos, se arrinconó después y ahora ha venido a primer plano desde el advenimiento de la informática.

También puede verse bien demostrada esa regla, y con ejemplos prácticos, en el conocido tratado (“conocido” para quienes se interesan por la historia de la Didáctica Matemática, y no creen que el mundo empezó en 2000…)

Aritmética Razonada y Nociones de álgebra, de Don José María Dalmau Carles

(edición de 1897)

En el colegio, en enseñanza primaria, era obligatorio saber la regla de extracción de la raíz cuadrada de números enteros o decimales para todos los alumnos de mi generación (nací en 1961). Por curiosidad te la copio literalmente del viejo tratado de aritmética de Salinas y Benítez (incluida la puntuación de aquella época):

Para extraer la raíz cuadrada de un número entero mayor que 100, en menos de una unidad por defecto, se le descompone en períodos de dos cifras empezando por la derecha, pudiendo tener una sola el primer período de la izquierda. Hecho esto, se extrae la raíz cuadrada entera del número que forma ese primer período, y se obtiene así la primera cifra de la raíz.

Hallada dicha primera cifra, se la eleva al cuadrado y se resta éste del referido primer período; se escribe a continuación del resto el segundo, y , del número que resulta, se separa la primera cifra de la derecha, dividiendo el que queda a la izquierda por el doble de la cifra hallada en la raíz; el cociente, de esta división, será una cifra igual o mayor que la segunda de la raíz que se busca. Para comprobarla, se la pone a continuación del doble de la primera y se multiplica el número así formado por ella misma; si el producto puede restarse del resto obtenido anteriormente, seguido del segundo período, la cifra que se ensaya es buena, y, si no, se la disminuye en una unidad y se comprueba la nueva cifra, continuando los ensayos hasta que, pudiendo verificarse la sustracción, se obtenga la segunda cifra exacta de la raíz.

Determinada dicha segunda cifra, se baja el tercer período á la derecha del resto obtenido; del número que resulta se separa la primera cifra de la derecha, y se divide la parte de la izquierda por el duplo de la raíz hallada, lo que dará por cociente una cifra, seguramente, no menor que la tercera de la raíz. Para comprobarla, se la escribe a continuación del número que ha servido de divisor, y se multiplica, el que así se forma, por la misma cifra que se ensaya; si el producto puede restarse del resto precedente, seguido del tercer período, la cifra es exacta, y, en caso contrario, se la disminuye en una unidad y se somete la nueva cifra á análoga comprobación, hasta que, pudiendo efectuarse la resta, se obtenga la tercera cifra verdadera de la raíz.

Conocida dicha tercer cifra, se baja el período siguiente á la derecha del resto obtenido, y se continúa de este modo hasta que, bajado el último período, se encuentra la cifra de las unidades de la raíz, y, por resto correspondiente, el residuo final de la operación.

Si este último residuo final fuera cero, es claro que la raíz hallada sería exacta, y el número cuadrado perfecto.

Puede también suceder que, en alguna de las divisiones, el cociente sea cero; entonces, como sería inútil multiplicar por esta cifra y restar el producto, se baja el período siguiente, y se continúa como indica la regla.

Respecto al cálculo de los logaritmos y la construcción de sus tablas, es un hecho que constituye una gesta descomunal de la Humanidad, pero desde luego de manera heroica en el caso concreto de Henry Briggs (profesor de Geometría en Oxford), que calculó los logaritmos decimales, o vulgares, con 14 decimales ¡de los primeros treinta mil números naturales! (algo así como el cumplimiento de una cadena perpetua, un trabajo ímprobo durante años y años). Lo más “moderno” (adjetivo tan relativo que no sabemos nunca qué significa…) en el siglo XVII, era emplear la serie del alemán Nicolás Kauffman, vulgarmente llamado Mercator (publicada en 1668), que también publicó el inglés Gregory en el mismo año, no está clara por tanto la prioridad del descubrimiento. Pero Briggs, tras largas entrevistas con Napier o Neper, el “padre de los logaritmos”, calculó sus logaritmos decimales antes de conocerse esa serie, por un método tedioso, fatigoso hasta la náusea, que consistía en interpolaciones simultáneas de millares de términos en dos progresiones correspondientes, una aritmética y otra geométrica, correspondiendo el cero en la aritmética con el 1 en la geométrica, y el 1 con el 10; método teórico pero apenas practicable, que puede consumir horas para el cálculo de un solo logaritmo.

La serie de Mercator es válida, pero “muy poco” convergente, es decir, su convergencia es muy lenta, puesto que requiere demasiados términos para dar una buena aproximación, y su expresión es:

Log(1+x)=x-x²/2+x³/3-x⁴/4+…, donde Log representa el logaritmo natural -o neperiano- y el radio de convergencia requiere que -1<=x<=1.

Posteriormente (siglo XVIII) se usó para la construcción de tablas la serie de Euler:

Log (n+1) - Log n = 2M[ 1/(2n+1)+1/3(2n+1)³+1/5(2n+1)⁵+…],

[ahora Log es logaritmo decimal]

donde M representa el módulo de los logaritmos vulgares, es decir, el factor por el que debe multiplicarse el logaritmo natural para obtener el decimal, y su valor es M=1/Log 10 = Log10 (e) = 0.43429448190325…, que suponía una aceleración de la convergencia tan notable que a partir de n= 1000 bastaba usar solo el primer término de la serie, en la certeza de que el error no supera una unidad del décimo orden decimal. Las tablas usuales se contentaban con 7 decimales y las grandes tablas 10, y hasta más decimales, empleadas solo en astronomía.

Hay otro procedimiento, artesanal, como pide la pregunta, para calcular “un” logaritmo y es emocionante porque nos independiza de las calculadoras, un deseo propio de Robinson Crusoe en su isla (ojalá nunca tengamos la obligación de usarlo…), y es el método de las fracciones continuas, creo recordar haber leído que se le ocurrió al genial Huygens (siglo XVII). Por ejemplo, calculemos log 2, el logaritmo decimal. Se trata de resolver la ecuación exponencial a^x=b por medio de fracciones continuas:

Si x=log 2 entonces 10^x=2. Sustituyendo x=0, obtenemos 10⁰=1<2, pero 10¹=10>2, por tanto, 0< log 2 < 1, así pues el primer cociente incompleto es 0.

log 2= 0+1/X1. Ahora, 10^(1/X1)=2→2^X1=10, es claro que 3 (si no, habría que sustituir valores siempre de 1 a 9), luego X1=3+0. …=3+1/X2, sustituyendo,

2^(3+1/X2)=10, despejando de nuevo, 2^(1/X2)=10/8=5/4, luego (5/4)^X2=2, otra vez, solo que ya con más trabajo cada vez, vemos que X2=3+1/X3, donde siempre las Xn son números enteros positivos entre 1 y 9, salvo el primero, que puede ser cero.

Hasta ahora hemos hallado log 2 =0+1/[3+(1/3+…] o en forma más sencilla tipográficamente, log 2 = [0, 3, 3…] =aprox.= 3/10=0.30, que es el valor de log 2 con dos decimales, y siguiendo un poco más allá obtendríamos 4 o 5 decimales con menos de media hora de cálculo…

El procedimiento es impecable teóricamente, y vale por supuesto para un solo logaritmo, porque si hay que hallar así todos…

He aquí una razón de peso para estudiantes que preguntan para qué sirve la fórmula de Taylor: lo primero de todo para calcular a mano las tablas de logaritmos y las tablas trigonométricas por medio de polinomios, deteniendo la serie de Taylor cuando se tienen suficientes términos para garantizar que el error es inferior a la precisión que nos proponemos. Y así se construyeron esas tablas que se aplicaron a la Astronomía, la Navegación, a la Topografía y a todo lo imaginable hasta la década de los 50 cuando al fin aparecen los ordenadores.

Cada logaritmo es una esmeralda extraída por un buceador que empleó parte de su vida en ello. No creo que en esta época haya nadie -o casi nadie- con ese espíritu de lucha.

La regla para la raíz cuadrada puedes encontrarla en cualquier tratado de Aritmética del siglo XIX o principios del XX. Por ejemplo, en el tratado de Aritmética de Salinas y Benítez (1887), excelente aun hoy día en muchas de sus explicaciones clarísimas y rigurosas, y ahí puedes ver cómo se calculan las raíces cuadradas y cúbicas a mano y la demostración de la manera en que se deduce el procedimiento operativo, o “algoritmo”, palabra que aparecía mucho en los textos antiguos, se arrinconó después y ahora ha venido a primer plano desde el advenimiento de la informática.

También puede verse bien demostrada esa regla, y con ejemplos prácticos, en el conocido tratado (“conocido” para quienes se interesan por la historia de la Didáctica Matemática, y no creen que el mundo empezó en 2000…)

Aritmética Razonada y Nociones de álgebra, de Don José María Dalmau Carles

(edición de 1897)

En el colegio, en enseñanza primaria, era obligatorio saber la regla de extracción de la raíz cuadrada de números enteros o decimales para todos los alumnos de mi generación (nací en 1961). Por curiosidad te la copio literalmente del viejo tratado de aritmética de Salinas y Benítez (incluida la puntuación de aquella época):

Para extraer la raíz cuadrada de un número entero mayor que 100, en menos de una unidad por defecto, se le descompone en períodos de dos cifras empezando por la derecha, pudiendo tener una sola el primer período de la izquierda. Hecho esto, se extrae la raíz cuadrada entera del número que forma ese primer período, y se obtiene así la primera cifra de la raíz.

Hallada dicha primera cifra, se la eleva al cuadrado y se resta éste del referido primer período; se escribe a continuación del resto el segundo, y , del número que resulta, se separa la primera cifra de la derecha, dividiendo el que queda a la izquierda por el doble de la cifra hallada en la raíz; el cociente, de esta división, será una cifra igual o mayor que la segunda de la raíz que se busca. Para comprobarla, se la pone a continuación del doble de la primera y se multiplica el número así formado por ella misma; si el producto puede restarse del resto obtenido anteriormente, seguido del segundo período, la cifra que se ensaya es buena, y, si no, se la disminuye en una unidad y se comprueba la nueva cifra, continuando los ensayos hasta que, pudiendo verificarse la sustracción, se obtenga la segunda cifra exacta de la raíz.

Determinada dicha segunda cifra, se baja el tercer período á la derecha del resto obtenido; del número que resulta se separa la primera cifra de la derecha, y se divide la parte de la izquierda por el duplo de la raíz hallada, lo que dará por cociente una cifra, seguramente, no menor que la tercera de la raíz. Para comprobarla, se la escribe a continuación del número que ha servido de divisor, y se multiplica, el que así se forma, por la misma cifra que se ensaya; si el producto puede restarse del resto precedente, seguido del tercer período, la cifra es exacta, y, en caso contrario, se la disminuye en una unidad y se somete la nueva cifra á análoga comprobación, hasta que, pudiendo efectuarse la resta, se obtenga la tercera cifra verdadera de la raíz.

Conocida dicha tercer cifra, se baja el período siguiente á la derecha del resto obtenido, y se continúa de este modo hasta que, bajado el último período, se encuentra la cifra de las unidades de la raíz, y, por resto correspondiente, el residuo final de la operación.

Si este último residuo final fuera cero, es claro que la raíz hallada sería exacta, y el número cuadrado perfecto.

Puede también suceder que, en alguna de las divisiones, el cociente sea cero; entonces, como sería inútil multiplicar por esta cifra y restar el producto, se baja el período siguiente, y se continúa como indica la regla.

Respecto al cálculo de los logaritmos y la construcción de sus tablas, es un hecho que constituye una gesta descomunal de la Humanidad, pero desde luego de manera heroica en el caso concreto de Henry Briggs (profesor de Geometría en Oxford), que calculó los logaritmos decimales, o vulgares, con 14 decimales ¡de los primeros treinta mil números naturales! (algo así como el cumplimiento de una cadena perpetua, un trabajo ímprobo durante años y años). Lo más “moderno” (adjetivo tan relativo que no sabemos nunca qué significa…) en el siglo XVII, era emplear la serie del alemán Nicolás Kauffman, vulgarmente llamado Mercator (publicada en 1668), que también publicó el inglés Gregory en el mismo año, no está clara por tanto la prioridad del descubrimiento. Pero Briggs, tras largas entrevistas con Napier o Neper, el “padre de los logaritmos”, calculó sus logaritmos decimales antes de conocerse esa serie, por un método tedioso, fatigoso hasta la náusea, que consistía en interpolaciones simultáneas de millares de términos en dos progresiones correspondientes, una aritmética y otra geométrica, correspondiendo el cero en la aritmética con el 1 en la geométrica, y el 1 con el 10; método teórico pero apenas practicable, que puede consumir horas para el cálculo de un solo logaritmo.

La serie de Mercator es válida, pero “muy poco” convergente, es decir, su convergencia es muy lenta, puesto que requiere demasiados términos para dar una buena aproximación, y su expresión es:

Log(1+x)=x-x²/2+x³/3-x⁴/4+…, donde Log representa el logaritmo natural -o neperiano- y el radio de convergencia requiere que -1<=x<=1.

Posteriormente (siglo XVIII) se usó para la construcción de tablas la serie de Euler:

Log (n+1) - Log n = 2M[ 1/(2n+1)+1/3(2n+1)³+1/5(2n+1)⁵+…],

[ahora Log es logaritmo decimal]

donde M representa el módulo de los logaritmos vulgares, es decir, el factor por el que debe multiplicarse el logaritmo natural para obtener el decimal, y su valor es M=1/Log 10 = Log10 (e) = 0.43429448190325…, que suponía una aceleración de la convergencia tan notable que a partir de n= 1000 bastaba usar solo el primer término de la serie, en la certeza de que el error no supera una unidad del décimo orden decimal. Las tablas usuales se contentaban con 7 decimales y las grandes tablas 10, y hasta más decimales, empleadas solo en astronomía.

Hay otro procedimiento, artesanal, como pide la pregunta, para calcular “un” logaritmo y es emocionante porque nos independiza de las calculadoras, un deseo propio de Robinson Crusoe en su isla (ojalá nunca tengamos la obligación de usarlo…), y es el método de las fracciones continuas, creo recordar haber leído que se le ocurrió al genial Huygens (siglo XVII). Por ejemplo, calculemos log 2, el logaritmo decimal. Se trata de resolver la ecuación exponencial a^x=b por medio de fracciones continuas:

Si x=log 2 entonces 10^x=2. Sustituyendo x=0, obtenemos 10⁰=1<2, pero 10¹=10>2, por tanto, 0< log 2 < 1, así pues el primer cociente incompleto es 0.

log 2= 0+1/X1. Ahora, 10^(1/X1)=2→2^X1=10, es claro que 3 (si no, habría que sustituir valores siempre de 1 a 9), luego X1=3+0. …=3+1/X2, sustituyendo,

2^(3+1/X2)=10, despejando de nuevo, 2^(1/X2)=10/8=5/4, luego (5/4)^X2=2, otra vez, solo que ya con más trabajo cada vez, vemos que X2=3+1/X3, donde siempre las Xn son números enteros positivos entre 1 y 9, salvo el primero, que puede ser cero.

Hasta ahora hemos hallado log 2 =0+1/[3+(1/3+…] o en forma más sencilla tipográficamente, log 2 = [0, 3, 3…] =aprox.= 3/10=0.30, que es el valor de log 2 con dos decimales, y siguiendo un poco más allá obtendríamos 4 o 5 decimales con menos de media hora de cálculo…

El procedimiento es impecable teóricamente, y vale por supuesto para un solo logaritmo, porque si hay que hallar así todos…

He aquí una razón de peso para estudiantes que preguntan para qué sirve la fórmula de Taylor: lo primero de todo para calcular a mano las tablas de logaritmos y las tablas trigonométricas por medio de polinomios, deteniendo la serie de Taylor cuando se tienen suficientes términos para garantizar que el error es inferior a la precisión que nos proponemos. Y así se construyeron esas tablas que se aplicaron a la Astronomía, la Navegación, a la Topografía y a todo lo imaginable hasta la década de los 50 cuando al fin aparecen los ordenadores.

Cada logaritmo es una esmeralda extraída por un buceador que empleó parte de su vida en ello. No creo que en esta época haya nadie -o casi nadie- con ese espíritu de lucha.

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