¿Por qué es pi=3.14159?

Nos encontramos con π por primera vez cuando calculamos la longitud de una circunferencia y el área de un círculo.

¿Por qué los matemáticos usan un símbolo extraño para representar un número? ¿Por qué no escribir el número?

Arquímedes (y en la escuela a nosotros) podrían decir que π = 22/7, que aproximadamente arroja este resultado: 3,1428571428571428571428571428571 … Pero eso es una aproximación.

Como no hay una fracción exacta para π, que es un número irracional, igual que raíz cuadrada de 2 que tampoco, fue necesario usar un símbolo. Se eligió π por ser la primera letra de la palabra griega περίμετρο que significa perímetro.

El número π con un montón de cifras decimales resulta ser así:

Aproximación decimal:

Lo más sorprendente es la ausencia total de un patrón. Las cifras parecen aleatorias, pero no pueden serlo, pues son las cifras de π y π, aunque extraño, es un número concreto. Hay sospechas convincentes que nos inducen a pensar que toda secuencia finita de cifras tiene que aparecer en alguna parte, en la expresión decimal de π. Pero nada de esto ha sido demostrado ni probado.

Con el número π hay conexiones en otras áreas. En 1748 Euler observó una conexión entre π, e, i (la raíz cuadrada de - 1). En concreto esta elegante fórmula:

e^iπ = - 1

También observó que π aparece cuando sumamos ciertas series infinitas. Resolvió el llamado problema de Basilea (cuestión planteada por Pietro Mengoli en 1644): encontrar la suma de los inversos de todos los cuadrados. Y Euler lo resolvió:

Idéntico método nos lleva a resultados parecidos para potencias de 4, de 6 y en general cualquier potencia par. También es posible usar denominadores pares o impares. Sin embargo, no se ha podido probar para potencias impares.

Y como estas, muchas otras, tal en estadística: el área bajo la campana de Gauss, con ecuación

Cómo calcular π

Shigeru Kondo, en 2013 y durante 94 días, usó un ordenador para calcular π con 12.100.000.000.050 cifras decimales, más de 12 billones. Esto en la practica no sirve de nada. Los usos de π no necesitan ese extraordinario nivel. Es una manera de batir récords.

Los primeros avances sobre el trabajo de Arquímedes se hicieron en el siglo XV , cuando los hindúes representaron π como la suma de una serie infinita. Hacia 1400, Madhava de Sangamagrama usó una de esas series para el cálculo de π con 11 cifras decimales. En 1424, el persa Jamshîd al-Kâshî lo mejoró, usando aproximaciones por polígonos con un número de lados que iba incrementando, parecido a lo que había hecho Arquímedes. Obtuvo 16 cifras.

Y la cosa siguió.

James Gregory redescubrió una de las series de Madhava en 1641. La idea era empezar con una función trigonométrica llamada tangente que escribimos como tan x. Si medimos con radianes (que entiendo saben lo que es), un ángulo de 45° es π/4, y en este caso a = b, de modo que tan π/4 = 1

Izquierda: la tan x = a/b. Derecha: cuando x = 4, la tan es a/a = 1

Considerando la función inversa, la arcotangente, normalmente denotada por arctan, deshace la función tangente; es decir, si y = tan x, entonces x = arctan y. En concreto, arctan 1 = π/4. Madhava y Gregory descubrieron una serie infinita para la arctan:

Haciendo y = 1, tenemos:

John Machin usó una fórmula trigonométrica para tan (x+ y) para mostrar que

Y luego sustituyó 1/5 y 1/239 en la serie por arctan. Machin calculó 100 decimales.

Hay muchas variantes complicadas de la fórmula de Machin, hay una teoría completa de todas esas fórmulas. En 1896, Störmer sabía que

Nadie lo ha hecho mejor usando lápiz y papel. Calculadoras y ordenadores hicieron los cálculos más rápidos y eliminaron errores. La serie de Chudnovsky

genera 14 nuevas cifras decimales por término. Aquí el signo de la suma quiere decir sumar los valores de la expresión formulada a medida que k va recorriendo todos los naturales empezando en 0 y sin detenerse nunca.

Hemos visto que π no es un número racional. El siguiente paso más allá de los racionales son los algebraicos, que satisfacen una ecuación polinómica con coeficientes enteros. Por ejemplo

es algebraico, ya que satisface la ecuación

Un número que no es algebraico se llama trascendental y, en 1761, Lambert que fue el primero que probó que π es irracional, lanzó la hipótesis de que en realidad era trascendental.

Una consecuencia de esto es la respuesta al antiguo problema de la cuadratura del círculo, es decir, construir un cuadrado con la misma área que un círculo usando regla y compás. Esto es equivalente a construir un segmento de longitud π a partir de un segmento de longitud 1. La geometría de coordenadas muestra que cualquier número que pueda construirse de este modo, tiene que ser algebraico. Y como π no lo es, esa construcción es imposible que exista.

También hay gente empeñada en afirmar que el mundo es plano. ¡Qué le vamos a hacer!

En conclusión, por mucho que lo hayan intentado unos y otros, π es un número trascendental con infinitas cifras decimales. ¿Por qué 3.14159 …? Por redondeo y porque en la vida, para construir cualquier puente, edificio o mausoleo de un héroe legendario o sin serlo, pero el pueblo soberano le apetece, con esos dígitos son más que suficientes. Enredarse en otra cosa, en la práctica sería una idiotez.

Espero haya quedado satisfecho. Gracias por preguntar.