¿Por qué ∞ - ∞ no es 0?

Voy a demostrar que si definimos ∞−∞=0∞−∞=0 podemos llegar a una contradicción. ¿Qué piensas del siguiente razonamiento?

Vamos a partir de una identidad que no debe presentar controversia alguna:

∞=∞+0.∞=∞+0.

Como ∞−∞=0∞−∞=0, podemos reemplazar el 00 del lado derecho para obtener

∞=∞+(∞−∞).∞=∞+(∞−∞).

La suma del lado derecho puede reescribirse:

∞=(∞+∞)−∞.∞=(∞+∞)−∞.

Ahora bien, ∞+∞=∞∞+∞=∞ (esto tampoco debería ser polémico). Por tanto,

∞=∞−∞.∞=∞−∞.

Finalmente, recordando que ∞−∞=0∞−∞=0, concluimos que

∞=0.∞=0.

¡Pero esto es absurdo! ¿Dónde está el error?

Si te diste cuenta de que el reemplazo de ∞+(∞−∞)∞+(∞−∞) por (∞+∞)−∞(∞+∞)−∞ no está bien justificado, ¡buen trabajo!

En honor a la justicia, no puedo simplemente decir que acabo de demostrar que ∞−∞∞−∞ no es cero. Lo que acabo de demostrar es que las siguientes cinco afirmaciones son incompatibles:

1. ∞=∞+0,∞=∞+0,
2. ∞−∞=0∞−∞=0 (ésta es la que da lugar a la pregunta original),
3. ∞+(∞−∞)=(∞+∞)−∞∞+(∞−∞)=(∞+∞)−∞ (ésta se llama la propiedad asociativa de la suma),
4. ∞+∞=∞,∞+∞=∞,
5. ∞≠0.∞≠0.

Las afirmaciones 1, 4 y 5 son inobjetables si es que queremos que ∞∞ represente adecuadamente las propiedades aritméticas del infinito. Por tanto, con tal de salvar la afirmación 2 no nos queda otra opción sensata que abandonar la 3, la propiedad asociativa.

No sería la primera vez que uno abandona una propiedad básica de los números reales con tal de hacer aritmética con el infinito. La propiedad distributiva,

a(b+c)=ab+ac,a(b+c)=ab+ac,

tampoco se cumple cuando a=∞a=∞ y 0<−c<b0<−c. La diferencia es que esa situación tiene una manera natural de resolverse: suma primero y multiplica después (lo único que resulta importar es qué signo tiene el resultado de la suma). Pero acá, con el afán de asignarle un resultado a ∞−∞∞−∞, te traes el lío de que ahora ninguna suma que involucre infinitos de distinto signo tiene una forma natural de resolverse. Por ejemplo, 1=1+0=1+(∞−∞)1=1+0=1+(∞−∞), pero (1+∞)−∞=∞−∞=0(1+∞)−∞=∞−∞=0. Si uno ve algo tan sencillo como 1+∞−∞1+∞−∞, la manera en que uno empiece a operar hace que el resultado cambie.

En realidad, asignarle un valor fijo a ∞−∞∞−∞ no trae ninguna utilidad práctica, a diferencia de (por ejemplo) fijar 0⋅∞=00⋅∞=0, que es una convención empleada en teoría de la medida. Lo más sincero es reconocer que ∞−∞∞−∞ no está definido.