¿Por qué existe una función coseno si su única diferencia con el seno es un desplazamiento de pi/2? ¿Se podría entonces crear una función por cada...

Ésta es una gran pregunta, porque entre las docenas de razones trigonométricas que se han empleado en la historia, sólo seis siguen siendo de uso corriente en nuestros días, y de ésas, dos son de uso especialmente frecuente: el seno y el coseno.

¿Por qué precisamente ésas dos, y por qué tienen que ser dos, si una de ellas resulta ser una traslación de la otra?

La respuesta sincera, pero poco satisfactoria, es que así se han desarrollado las convenciones matemáticas. Por el motivo que fuera, históricamente resultó más práctico y conveniente pensar en términos de seno y coseno, y no sólo en términos de seno y su traslación.

Pero se puede decir más al respecto. A mí se me ocurren por lo menos dos buenas razones para que las convenciones se desarrollaran de esa manera. Una es geométrica, la otra más bien técnica. Te las resumo enseguida: pensamos la trigonometría en términos de dos funciones en vez de una, porque

• un ángulo es fundamentalmente un objeto de 2 dimensiones, y
• seno y coseno son el par de soluciones canónicas a cierta ecuación de grado 2.

Un ángulo se puede pensar como una relación entre tres puntos, o entre dos rectas que se cortan. Como tal, un ángulo es un objeto que vive en un plano. Los planos son objetos de dos dimensiones: por ejemplo, en el plano cartesiano, el punto pp se identifica con su distancia horizontal al origen y su distancia vertical al origen.

Ahora bien, las coordenadas cartesianas no son la única forma de identificar los puntos del plano. Puede que hayas oído de las coordenadas polares. Identificamos cada punto pp distinto del origen con un número r>0r>0 y un número θ∈[0,2π)θ∈[0,2π), donde rr es su distancia al origen, y θθ la medida del ángulo que forma pp respecto al eje xx positivo.

La relación entre las coordenadas cartesianas y las polares no es difícil de deducir: si un punto tiene coordenadas polares (r,θ)(r,θ), entonces sus coordenadas cartesianas son (rcosθ,rsinθ)(rcos⁡θ,rsin⁡θ).

Te das cuenta de que esta expresión es mucho más práctica que (rsin(θ+π/2),rsinθ)(rsin⁡(θ+π/2),rsin⁡θ).

La relación del coseno con el eje horizontal es análoga a la relación del seno con el eje vertical. Eso justifica el uso de dos funciones, seno y coseno, en vez de una sola.

La otra razón que te ofrezco tiene que ver con las propiedades analíticas de las funciones seno y coseno. Si has visto cálculo diferencial, sabes que la derivada del seno es el coseno, y que la derivada del coseno es el negativo del seno. Si derivas dos veces, concluyes que f(x)=sinxf(x)=sin⁡x y f(x)=cosxf(x)=cos⁡x tienen la propiedad de que

f′′+f=0.f″+f=0.

Esta expresión es lo que se llama una ecuación diferencial, una ecuación en la cual la incógnita es una función en vez de un número, y que está planteada en términos de las derivadas de la incógnita. Esta ecuación es de grado 2 porque usa hasta la segunda derivada de la función.

Si viste álgebra elemental, recuerdas que un polinomio tiene hasta tantas raíces como su grado. Con las ecuaciones diferenciales pasa algo parecido: una ecuación diferencial “bien portada” tiene infinitas soluciones, pero éstas se pueden describir en términos de un conjunto de soluciones básicas. Y el número de soluciones básicas es igual al grado de la ecuación. Por ejemplo, las soluciones de la ecuación f′′+f=0f″+f=0 tienen la forma

f(x)=acosx+bsinx.f(x)=acos⁡x+bsin⁡x.

Dado que la ecuación es de grado 2, se necesitan dos soluciones básicas, y ésas son precisamente seno y coseno. (No son el único par de soluciones básicas de la ecuación, pero seguro que son el más conveniente). Eso, de nuevo, justifica pensar el seno y coseno como dos funciones, en vez de una sola función y su traslación.