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Matemática

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Materiales de Estudio

Hace más de un mes

Primero un preámbulo.

La conjetura de Riemann constituye la hipótesis más importante de la matemática actual. La misma surge de una búsqueda, por parte del gran alemán Bernhard Riemann, de un afinamiento de la función

π(x)x/logxπ(x)≈x/logx

que cuenta, aproximadamente, la cantidad de números primos que hay hasta cierto número x . En efecto, mediante un análisis de la función zeta

ζ(s)=11/ηsζ(s)=∑1∞1/ηs

para valores de s tales que

s=α+iβs=α+iβ,

Riemann, en su breve y famoso ensayo de 8 páginas de 1859, llega a una mejor aproximación, basada en los ceros de ζζ; o sea aquellos valores de s tales que ζ(s)=0.ζ(s)=0. De paso enuncia su famosa conjetura:

Todos los ceros no triviales de la función ζζ están sobre la línea crítica α=1/2α=1/2, en el plano complejo.

Riemann deja su hipótesis sin demostrar pues afirma que no es el objetivo de su investigación, aunque ofrece fascinantes perspectivas sobre el asunto.

Los ceros triviales de ζζ son los números enteros pares negativos sobre el eje real: -2,-4,-6, ...

En otras palabras, TODOS los ceros de la función ζζ , triviales y no triviales, yacen sobre dos líneas perpendiculares en el plano complejo, si la conjetura es cierta.

Algunos ceros no triviales de la función ζ:ζ:

1/2 + i14.134725

1/2 + i21.022040

1/2 + i25.010858

1/2 + i30.424876

1/2 + i32.935062

1/2 + i37.586178

Se han encontrado más de 10 trillones de ceros de la función que están sobre α=1/2α=1/2. Godfrey H. Hardy demostró que una infinidad de dichos ceros está sobre esta línea. Pero infinito no es todos y por tanto no constituye una demostración de la conjetura.

¿A qué viene todo esto? Pues resulta que algunos matemáticos creen que de no ser cierta la hipótesis de Riemann, cualquier cero que no esté sobre la línea podría conducir automáticamente, por su carácter singular, a nuevas constantes de la naturaleza. O sea, la falsedad de la hipótesis sería algo tan extraordinario, dada la gran cantidad de evidencia a favor de su veracidad, que sacaría a la luz nuevas constantes del mundo físico.

Por otro lado, la forma de atacar el problema usando operadores, basándose en la conjetura de Hilbert-Polya, apunta hacia la existencia de un sistema cuántico cuyo espectro coincidiría con los ceros de la función zeta. Por ahí, quizás, haya otra forma de encontrar constantes nuevas. Pero el hallazgo de ese sistema cuántico y la demostración de la falsedad o veracidad de la conjetura, con sus posibles nuevas constantes, son sólo sueños de los matemáticos actuales.

En cuanto al tema en general, Simon Herbert nos ha mostrado que existen dos tipos de mundos en los que el ser humano se desenvuelve: uno natural, el otro artificial. Como él dice en The Sciences of the Artificial, somos capaces de controlar, por ejemplo, la temperatura de nuestra habitación, creando una “atmósfera” artificial. Hay inventos ya imprescindibles para nuestras vidas, como el internet. Cada sistema corre con sus propias leyes, así no sólo hay leyes de la naturaleza, también hay leyes que aplican a cosas que no se encuentran en ella y que nosotros hemos creado, como la inteligencia artificial, los sistemas económicos, etc.. No es difícil imaginar que con el avance continuo en estas ciencias artificiales vendrán nuevos problemas, y tal vez nuevas constantes que se complementarán con las naturales ya encontradas. En definitiva, estamos apenas gateando. Como afirmaba Newton, todavía el gran océano de la verdad yace delante de nosotros, por revelarse su vasta inmensidad. Los fenómenos que quedan por descubrir , y los inventos que quedan para el futuro, son inimaginables para nuestro aun infantil conocimiento…

Primero un preámbulo.

La conjetura de Riemann constituye la hipótesis más importante de la matemática actual. La misma surge de una búsqueda, por parte del gran alemán Bernhard Riemann, de un afinamiento de la función

π(x)x/logxπ(x)≈x/logx

que cuenta, aproximadamente, la cantidad de números primos que hay hasta cierto número x . En efecto, mediante un análisis de la función zeta

ζ(s)=11/ηsζ(s)=∑1∞1/ηs

para valores de s tales que

s=α+iβs=α+iβ,

Riemann, en su breve y famoso ensayo de 8 páginas de 1859, llega a una mejor aproximación, basada en los ceros de ζζ; o sea aquellos valores de s tales que ζ(s)=0.ζ(s)=0. De paso enuncia su famosa conjetura:

Todos los ceros no triviales de la función ζζ están sobre la línea crítica α=1/2α=1/2, en el plano complejo.

Riemann deja su hipótesis sin demostrar pues afirma que no es el objetivo de su investigación, aunque ofrece fascinantes perspectivas sobre el asunto.

Los ceros triviales de ζζ son los números enteros pares negativos sobre el eje real: -2,-4,-6, ...

En otras palabras, TODOS los ceros de la función ζζ , triviales y no triviales, yacen sobre dos líneas perpendiculares en el plano complejo, si la conjetura es cierta.

Algunos ceros no triviales de la función ζ:ζ:

1/2 + i14.134725

1/2 + i21.022040

1/2 + i25.010858

1/2 + i30.424876

1/2 + i32.935062

1/2 + i37.586178

Se han encontrado más de 10 trillones de ceros de la función que están sobre α=1/2α=1/2. Godfrey H. Hardy demostró que una infinidad de dichos ceros está sobre esta línea. Pero infinito no es todos y por tanto no constituye una demostración de la conjetura.

¿A qué viene todo esto? Pues resulta que algunos matemáticos creen que de no ser cierta la hipótesis de Riemann, cualquier cero que no esté sobre la línea podría conducir automáticamente, por su carácter singular, a nuevas constantes de la naturaleza. O sea, la falsedad de la hipótesis sería algo tan extraordinario, dada la gran cantidad de evidencia a favor de su veracidad, que sacaría a la luz nuevas constantes del mundo físico.

Por otro lado, la forma de atacar el problema usando operadores, basándose en la conjetura de Hilbert-Polya, apunta hacia la existencia de un sistema cuántico cuyo espectro coincidiría con los ceros de la función zeta. Por ahí, quizás, haya otra forma de encontrar constantes nuevas. Pero el hallazgo de ese sistema cuántico y la demostración de la falsedad o veracidad de la conjetura, con sus posibles nuevas constantes, son sólo sueños de los matemáticos actuales.

En cuanto al tema en general, Simon Herbert nos ha mostrado que existen dos tipos de mundos en los que el ser humano se desenvuelve: uno natural, el otro artificial. Como él dice en The Sciences of the Artificial, somos capaces de controlar, por ejemplo, la temperatura de nuestra habitación, creando una “atmósfera” artificial. Hay inventos ya imprescindibles para nuestras vidas, como el internet. Cada sistema corre con sus propias leyes, así no sólo hay leyes de la naturaleza, también hay leyes que aplican a cosas que no se encuentran en ella y que nosotros hemos creado, como la inteligencia artificial, los sistemas económicos, etc.. No es difícil imaginar que con el avance continuo en estas ciencias artificiales vendrán nuevos problemas, y tal vez nuevas constantes que se complementarán con las naturales ya encontradas. En definitiva, estamos apenas gateando. Como afirmaba Newton, todavía el gran océano de la verdad yace delante de nosotros, por revelarse su vasta inmensidad. Los fenómenos que quedan por descubrir , y los inventos que quedan para el futuro, son inimaginables para nuestro aun infantil conocimiento…

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