SEPARATA_MATEMATICAS_FINANCIERAS_2011_-_2

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CARERRA DE CONTABILIDAD 
 
 
 
 
SEPARATA DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Año 2011 
 
 
 
 
 
 
 
 
El presente documento es una recopilación de información obtenida en libros de autores 
prestigiosos y diversos sitios de internet. El uso de este material es estrictamente educativo y 
sin fines de lucro 
 
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la misma no sea objeto de venta u otra transacción a título oneroso, ni tenga directa o 
indirectamente fines de lucro” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2 
 
 
 
Sesión 1- 2 - 3 
 
Concepto 
Está conformada por un conjunto de definiciones, fórmulas y técnicas de cálculo que permiten 
analizar, plantear y resolver casos en un marco financiero. Asimismo, nos proporciona los 
criterios necesarios para la evaluación y toma de decisiones de alternativas de inversión y/o 
financiamiento. 
 
Terminología Básica: 
 
Para poder desarrollar el cálculo financiero. Es necesario conocer las siguientes terminologías, 
abreviaturas y conceptos. 
 
Stock: Se refiere a toda cantidad de dinero asociada a una fecha específica. 
Puede expresarse como: 
 Stock inicial o Valor Actual (VA), 
 Stock final o Valor Futuro (VF). 
 
Flujo: Se refiere a toda sucesión (entradas y/o salidas) de dinero que ocurren a lo largo del 
tiempo. Cuando estas cantidades son iguales y se pagan o depositan periódicamente se conoce 
como flujo o serie uniforme. 
 
Interés: ( I ) Es el costo del dinero, es decir, la cantidad de dinero que se paga o cobra por el 
préstamo de un capital. Depende de la tasa de interés y del período de tiempo. 
 
Tasa de Interés: ( i ) Es el interés que se paga o cobra por cada unidad monetaria y por cada 
unidad de tiempo. Se expresa en términos porcentuales (%) pero para los cálculos debe ser 
convertido a forma decimal. 
 
Valor del Dinero en el Tiempo: Se refiere a un principio básico de las finanzas por el cual se 
establece que: “el dinero tiene distinto valor a través del tiempo”, es decir, cantidades iguales 
de dinero, en distintos períodos de tiempo, no tienen el mismo valor. 
 
Diagrama de Tiempo – Valor: Es una herramienta auxiliar que nos permite representar 
gráficamente todos los datos de un problema financiero, para luego proceder a su solución. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3 
 
 
 
 
1. INTERÉS COMPUESTO 
 
1.1. Concepto: Es aquel interés que se capitaliza, es decir, cuando los intereses devengados se 
suman al capital para generar nuevos intereses. 
 
1.2.Capitalización: Es el proceso mediante el cual los intereses producidos por un 
valor presente se adicionan a éste, al final de cada período, conformando un nuevo 
capital para el siguiente período y repitiéndose el proceso hasta el final del plazo. 
 
1.3. Período de Capitalización: Período de tiempo al final del cual se produce la suma de los 
intereses al capital. Estos períodos se dan por medio de la frecuencia de capitalización, 
que representan el número de veces en que capitalizan en un año. 
 
 Periodo de Capitalización Frecuencia 
 Anual 1 
 Diaria 360 
 Quincenal 24 
 Mensual 12 
 Bimestral 6 
 Trimestral 4 
 Cuatrimestral 3 
 Semestral 2 
 
1.4. Fórmula del Monto o Valor Futuro a Interés Compuesto 
 VF = VA ( 1+ i )
n
 
 Factor Simple de Capitalización (FSC) 
 Para aplicar la fórmula se debe cumplir que la 
 tasa y el tiempo deben tener el mismo periodo. 
 
1.5. Fórmulas derivadas del Valor Futuro 
 
 
n
n
iVFVAó
i
VF
VA 1
)1(
 
 
 
 11
1
n
n
VP
VA
ió
VP
VA
i 
)1log(
log
i
VP
VA
n 
 4 
 
 
 
1.6. Ejercicios 
 
1. Hallar el monto a retirar por un depósito de S/. 28.650, durante 16 meses, efectuado en el 
Banco País, colocado al 4,5% anual durante los primeros 6 meses y 4,75% anual durante el 
tiempo restante. 
 
2. El día 26 de mayo se abrió una cuenta de ahorros, con tasa de interés variable, en el Banco 
Tropical, a plazo fijo durante 90 días, con S/. 12.500 y a una tasa del 24% anual. Hallar el 
monto acumulado, al final del plazo, si se sabe que las tasas de interés fueron las 
siguientes: el 29 de junio 6,50% trimestral; el 1º de agosto 2,10% mensual. 
 
3. Se abre una cuenta con un depósito de S/. 3.000 a la tasa del 0,25% mensual. Luego de 
cuatro meses se depositan S/ 2.000; dos meses después cambia la tasa a 0,18% mensual. 
Después de tres meses se retiran S/. 2.850, y 8 meses después se retira el saldo. ¿Cuál es 
ese saldo? 
 
4. Se recibe un préstamo de $ 2.895 con una tasa anual del 18,5% que será cancelada 
mediante el pago de $ 845 dentro de 2 meses, $ 1.350 dentro de 4 meses y el saldo un 
mes después. ¿A cuánto asciende el último pago? 
 
5. Se recibe un préstamo con una tasa de interés del 4,04% bimestral, por lo que se debe 
pagar un monto de $ 728,28 dentro de 2 meses y $ 883,26 dentro de 5 meses. Cuál fue la 
cantidad otorgada como préstamo. 
 
6. Cuánto se debe depositar en una cuenta a plazo fijo, que paga la tasa de interés del 5,68% 
anual, para que al cabo de 22 meses 15 días el monto acumulado sea de S/. 18.750? 
 
7. ¿Cuánto podré disponer hoy, si me han descontado un paquete de 4 letras cuyos valores 
nominales son S/. 2.655; 3.180; 4.250 y 3.100; las cuales vencen dentro de 30, 45, 60 y 90 
días, respectivamente? La tasa de interés que cobra la entidad financiera es de 4,060401% 
bimestral? 
 
8. El 28 de setiembre se efectuó un depósito en un banco la cual pagaba la tasa de interés del 
0,4% mensual. El 17 de octubre varió a 0,48% y el 3 de diciembre a 0,53%. Hoy, 31 de 
diciembre, el monto acumulado es S/. 6.385. ¿Cuál fue el depósito inicial? 
 
9. Después de 1 año 2meses y 18 días de haber depositado S/. 3.954,50 se obtuvo un monto 
de S/. 4.643.30. ¿A qué tasa de interés mensual se colocó el capital? 
 
10. A qué tasa de interés anual debe colocarse un capital para que se duplique en 15 años? 
 
11. ¿A qué tasa de interés mensual se concedió un préstamo de S/. 4.500, otorgado el 18 de 
agosto y cancelado el 28 de diciembre, si al cabo de dicho tiempo fue cancelado con un 
pago de S/. 4. 995,80? 
 5 
 
12. Después de colocar un capital de S/. 1.000 a una tasa de interés del 0,45 % mensual se 
obtuvo un monto de S/. 1.675.58. Hallar cuál fue el tiempo transcurrido en esta operación. 
 
13. Si se depositan S/ 62.250 en una cuenta a plazo fijo a 200 días, que paga la tasa de interés 
del 8,45% anual, con renovación automática si no se retira el monto al final del plazo. En 
cuánto tiempo podrá retirar S/. 5.000 adicionales. 
 
14. ¿En cuánto tiempo un capital, depositado a la tasa de interésdel 9,25 % anual, podrá 
generar intereses iguales al 15% del monto? 
 
15. Cuánto tiempo, a partir del segundo depósito, será necesario para que un depósito de S/. 
8.450.65, efectuado hoy en el Banco América y un depósito de S/. 10.200, que se efectuará 
dentro de 150 días, permitan retirar un monto de S/ 21.000, si la tasa de interés que paga 
el banco es del 5,10% anual 
 
Sesión 4 – 5 - 6 
 
2. TASAS DE INTERÉS 
 
2.1. Tasa Nominal: Es una tasa de referencia. Tasa de interés que se anuncia para un período 
de tiempo determinado. Tasa de interés del período multiplicado por el número de 
períodos en el año. 
 Es una tasa relativa o referencial para la cual se debe indicar el período de capitalización 
y que para efectos de cálculo se debe convertir a una tasa efectiva. 
 
 nxperiododelTasaalNoTasa min 
 
 Frecuencia de Capitalización 
 
2.1.1. Frecuencia de Capitalización: Es el número de veces que se capitalizan los intereses en 
un determinado lapso (señalado en la tasa nominal). 
 
 
n
NominalTasa
periododelTasa 
 
2.2. Tasa Efectiva: Es aquella que se aplica directamente a los períodos para la cual está dada. 
. 
 1
n
periodo del tasa1TEA 
 
 1
n
n
TNA
1TEA 
 1
n
1
TEA1periododel tasa 
 
 TEA (anual) TEB (bimestral) 
 6 
 TES (semestral) TEM (mensual) 
 TEC (cuatrimestral) TEQ (quincenal) 
 TET (trimestral) TED (diaria) 
 
2.3. Tasas Equivalentes: Dos tasas con distinto periodo o frecuencia de capitalización 
son equivalentes cuando a partir un capital produce igual cantidad de intereses en un 
mismo plazo. Para convertir una tasa efectiva en otra efectiva periódica o equivalente se 
aplica. 
 1
p
n
:periodo i1:periodo i pn 
 
 Donde: 
 i(
nperiodo::
) = Tasa efectiva del periodo que se quiere calcular. 
 i( pperiodo:: ) = Tasa efectiva del periodo dado como dato. 
 n / p = Relación entre el número de periodos de la tasa a calcular y la tasa 
dada, en ese orden, expresados en la misma unidad de tiempo. 
 
2.4. Ejercicios 
 
1. Hallar la tasa del periodo, si TNA = 17,89% con capitalización mensual. 
2. Si TNS = 25,35% capitalizable quincenal, hallar tasa la del periodo. 
3. Dada TNT = 18,98% con capitalización diaria, hallar la tasa del periodo. 
4. Si i = 4,59% cuatrimestral, capitalizable bimestralmente, hallar la tasa del periodo. 
Convertir: 
1. 5,21% mensual a TEA. 
2. 4,15% cuatrimestral a tasa efectiva anual. 
3. 28,47% TEA a tasa diaria. 
4. 24,45% anual a tasa quincenal. 
5. TNA = 27,76% con capitalización mensual a TEA. 
6. TN = 12,65% trimestral, capitalizable diariamente a TEA. 
7. i = 8,24% anual, convertible cuatrimestralmente a tasa semestral. 
8. 4,65% TEB a TET. 
9. 1,25% mensual a semestral. 
10. 8,75% TEC a TED. 
 
2.4.1. Ejercicios propuestos 
Convertir: 
1. 12,6 % cuatrimestral a TEB. 
2. 15,9 % trimestral a tasa cuatrimestral. 
3. 36 % capitalizable trimestralmente a TEM. 
 7 
4. 9,47 % anual / trimestral a TEQ. 
5. 0,06 % diaria a tasa semestral efectiva. 
6. 1,24 % mensual efectiva a TNA. 
7. 15,6 % semestral a TNA capit. mensual. 
8. 1,5 % mensual a TNT capit. quincenal. 
9. 10,46% trimestral a TNS capit. diaria. 
10. Suponga que desea invertir cierto capital durante un año y le ofrecen las siguientes 
alternativas, todas con el mismo nivel de riesgo. ¿Cuál sería su elección? 
ALTERNATIVA RENTABILIDAD 
A 28,45% anual /capitalización bimestral 
B 0,98% TEQ 
C 14,82% semestral efectivo 
D 4,53 % TEC 
E 5,94 % efectivo trimestral 
F 29,76% TEA 
G 0,07% diario 
 
3. TASA DE INFLACIÓN / DEVALUACIÓN 
 
3.1. Definición: 
Proceso por el cual se registra un aumento generalizado y constante en los precios de los 
diferentes bienes y servicios, trayendo como consecuencia la pérdida del poder 
adquisitivo de la moneda. 
 
La inflación se calcula y registra a través de una tasa de inflación (f). También se calcula 
mediante los números índices, específicamente el índice de precios al consumidor (IPC), 
proporcionados por el Instituto Nacional de Estadística e Informática (INEI). 
 
3.2. Tasa de Inflación Acumulada: 
 
 1nf1*...*3
f1*
2
f1*
1
f1
acumulada
f 
 
3.3. Tasa Real ( r ): 
Mide el grado en que la inflación distorsiona las tasas activas o pasivas, restándole a la 
tasa efectiva el efecto de la inflación. 
La tasa real ( r ) es una tasa a la que se le ha deducido el efecto de la inflación. 
 
 
f1
fi
ó1
f1
i1
rrealTasa 
 Donde, i = tasa efectiva f = tasa de inflación 
 
 
 
 8 
 
 
3.4. Ejercicios 
 
1. Si la inflación mensual de un determinado año, de enero a diciembre fue: 0,21%; 0,27%; 
0,38%; - 0,05%; - 0,09%; 0,47%; - 0,15%; 0,12%; 0,21%; 0,17%; 0,25% y 0,32%, 
respectivamente. Calcular: la inflación acumulada del primer trimestre; del primer semestre 
y la inflación anual. 
 
2. Si en un período de 6 meses la inflación registró las siguientes tasas: 
 Marzo: 0,12%; Abril: 0,28%; Mayo: 0,22%; Junio: 0,48%; Julio: -0,15%; Agosto: 0,09% 
 Determinar la tasa de inflación acumulada para dicho semestre. 
Cuánto disminuye el poder adquisitivo en el mismo lapso. 
 
3. Una entidad bancaria ofrece pagar la tasa de interés del 6% mensual por depósitos a 90 
días. Si la inflación fue del 0,33%, 0,48% y 0,98% mensual, 
 respectivamente. Calcular la tasa de interés real que se obtendría. 
 
4. Calcular la tasa real trimestral aplicada a una inversión de S/. 12.870 colocado el 1° de junio 
a una TEM del 1,45%, si la tasa de inflación fue de 0,85% para junio, 
 0,97% para julio y 1,05% para agosto, respectivamente. 
 
5. Se solicitó un préstamo de S/. 20.000 con una tasa de interés del 2,5% mensual, que será 
cancelado al cabo de 180 días. Se proyecta además una la tasa de inflación de 0,25% 
mensual para los primeros 3 meses, 0,32%; 0,13% y 0,18% para los últimos 3 meses, 
respectivamente. Determinar: 
a) El monto nominal que se deberá pagar. 
b) Inflación acumulada del periodo. 
c) El monto real que se pagaría. 
 
6. Una institución financiera estima que la inflación del próximo mes será de 1,34% y 
 desea saber cuál es la tasa de interés que debe cobrar en sus préstamos a 30 días 
 para obtener una tasa real de rentabilidad del 1,78% mensual? 
 
6. Una letra, con vencimiento dentro de 60 días, fue descontada a una tasa del 
 16,985856% cuatrimestral. Si la inflación del primer mes fue del 1,87% y la del 2° mes fue 
del 1,96%, ¿Cuál fue la tasa real pagada por dicho crédito? 
 
7. Qué tasa de inflación mensual debe producirse para conseguir una tasa real mensual del 
1,76%, en un depósito de ahorrosque paga una tasa de interés del 
 24,36 % anual con capitalización mensual? 
 
3.5. Devaluación 
 
También definida como el proceso de depreciación de la moneda, se refiere a la 
disminución del valor de ella, en cuanto al tipo de cambio, en relación con una “moneda 
fuerte” tal como el dólar o el euro. 
 9 
Cuando ocurre el proceso contrario, se trata de una revaluación o apreciación. 
 
Un agente económico de mercado puede invertir o financiarse en Dólares, Euros o Nuevos 
Soles, por lo que no es suficiente que la tasa en soles sea mayor a la inflación, sino, cuál es 
el Costo de Oportunidad de dejar de invertir en otra moneda. Eso va a depender de qué 
expectativas o proyección tiene de devaluación de la moneda en el tiempo que durará la 
inversión o el financiamiento. 
 
3.6. Efecto del tipo de cambio en el cálculo financiero 
 
La rentabilidad (o pérdida) de un depósito en moneda extranjera dependerá de la tasa de 
interés que se pague por el depósito y por la devaluación (o revaluación) de nuestra 
moneda con respecto de dicha moneda extranjera. 
 
Por lo tanto, la tasa efectiva en moneda nacional de un depósito o inversión en moneda 
extrajera, estará dada por la tasa de interés efectiva en moneda extrajera y la tasa de 
devaluación de la moneda nacional (la devaluación también es una tasa efectiva), según la 
siguiente fórmula: 
 
1esperadandevaluaciódeTasa1*M.E.enTasa1SolesN.enTasa 
 
 Si se deseara convertir la tasa en M.N a tasa en M.E., la fórmula sería: 
 
 1
esperadandevaluaciódeTasa1
SolesN.enTasa1
M.E.enTasa 
 
3.7. Ejercicios 
 
1. Un inversionista dispone de un determinado capital y está analizando dos posibilidades de 
inversión. La primera opción rinde el 5,45% TEA, en dólares. La segunda, ofrece una 
rentabilidad del 8,85% TEA en N. Soles. Se proyecta que para los próximos 6 meses la 
moneda tenga una depreciación del 3,45%. ¿Qué opción recomendaría, invertir en soles o 
dólares? 
 
2. Un inversionista desea colocar cierto capital durante 180 días y está analizando las 
siguientes alternativas: invertir en una cuenta en S/. que le permitiría obtener un 
rendimiento del 9,45% TEA, o invertir en una cuenta en US$ con un rendimiento de 6,47% 
TEA. Actualmente el tipo de cambio es de S/. 2.74 por dólar y según las proyecciones de 
una consultora financiera se espera que dentro de un semestre el tipo de cambio sería de 
S/. 2.89 por dólar. Calcular en qué moneda es más rentable invertir 
 
3. Un empresario desea invertir su capital por 8 meses. Las mejores tasas que puede conseguir 
de los bancos son del 6,05% TEA en US$ y del 13,76% TEA en N. S/. Si la expectativa de 
depreciación semestral es de 3,57% Determinar en qué moneda debe invertir. 
 
4. Una persona requiere de un capital para iniciar un negocio y busca la mejor alternativa de 
financiamiento para un plazo de 175 días. Las tasas más atractivas, de los bancos más 
 10 
confiables, en S/. y US$, son de 18,45% y de 9,75% TEA, respectivamente. Si hoy el tipo de 
cambio es de S/. 2.81 por dólar y se proyecta que dentro de un año sea de S/. 3.024 por 
dólar. Calcular en qué moneda conviene el préstamo. 
 
5. Una persona dispone de un capital y busca maximizar su rentabilidad financiera para un 
plazo de 290 días. Las mejores tasas de los bancos más sólidos son de 10% TEA en S/. y 
5,67% TEA en US$. Si la devaluación proyectada por el inversionista es de 6,25% anual. 
Calcular en qué moneda conviene invertir. 
 
6. Usted desea solicitar un préstamo para cancelarlo dentro de 330 días. Averigua que las 
tasas más convenientes, en ese momento, son 23,50% TEA en soles y 14,50% TEA en 
dólares. El tipo de cambio es de S/. 2,835 por dólar y de acuerdo a proyecciones del 
mercado se estima que 11 meses después será de S/. 3,00 por dólar. Encontrar: 
a) En qué moneda le conviene solicitar el préstamo? 
b) Transcurrido el plazo, observó que el dólar se cotizó en S/. 2,96 y no en S/. 3,00 como 
se había proyectado. ¿Le convino realmente el solicitar el préstamo en Soles? 
 
7. Un capitalista decide el 18 de agosto invertir $ 40.000 en una cuenta que rinde la tasa del 
6,25% TEA (en soles). A la fecha, el tipo de cambio es de S/. 2.83 por dólar, de modo que 
proyecta retirar su inversión el 30 de diciembre del mismo año, fecha que se estima un 
tipo de cambio de S/. 2.92 por dólar. 
a) Calcular el monto que retirará. 
b) Si tiene la alternativa de colocar dicho capital en una cuenta en M.N. que paga la tasa 
del 0.72083% TEM, ¿Qué opción le convendría? 
 
 
Sesión 7 
 
INTERES VENCIDO , INTERES ADELANTADO 
 
4. Tasas de interés utilizadas en el sistema financiero 
 
4.1. Tasa de Interés Activa: 
 Aquellas que los bancos o financieras aplican a las colocaciones a sus clientes por créditos 
o préstamos de de corto, mediano y largo plazo. Usualmente, se expresan como tasas 
efectivas. 
 
4.2. Tasa de interés Pasiva: 
 Aquellas que los bancos o financieras aplican a las captaciones que realizan del público en 
general o de empresas. También este tipo de tasas se expresan como tasas efectivas. 
 
4.3. Tasa de interés vencida: 
 Es aquella tasa que se aplica a un valor actual (VA) o capital inicial, la cual se hace efectivo 
al concluir el tiempo de depósito o préstamo. 
 
 
 
 11 
4.4. Tasa de interés adelantada: 
 Aquella tasa que nos permite conocer la cantidad que tiene que pagarse o depositarse por 
haber contraído una deuda, antes de la fecha de vencimiento pactada. 
 La tasa de interés adelantada calcula en cuánto disminuye el precio o valor nominal de un 
título valor, por ejemplo: letra, pagaré. 
 La tasa adelantada considera el tiempo entre la fecha que se anticipa el pago y la fecha de 
su vencimiento. 
 
4.5. Tasa de interés compensatoria: 
Aquella que constituye la retribución por el uso del dinero o de cualquier otro bien y /o 
servicio. En transacciones u operaciones bancarias la tasa de interés convencional 
compensatoria está representada por la tasa de interés activa para las colocaciones y por 
la tasa de interés pasiva para las captaciones.. 
 
De acuerdo a lo establecido en la Ley General del Sistema Financiero, de Seguros y 
Orgánica de la Superintendencia de Banca, Seguros y AFP (SBS), esta tasa es fijada por el 
mercado, libremente, en función a la oferta y la demanda. 
 
Este interés se cobra desde el momento del préstamo del dinero, hasta su cancelación 
definitiva. Se puede aplicar en forma vencida, al término de la operación o en forma 
adelantada, al inicio de la operación. 
 
4.6. Tasa de interés moratoria: 
 Constituye la indemnización por incumplimiento del deudor en la devolución del préstamo 
y del interés compensatorio pactado, en la fecha de vencimiento. El interés moratorio se 
cobra sólo cuando se haya pactado para la operación y se calcula solamente sobre el valor 
del préstamo, adicionalmente a la tasa de interés compensatoria o a la tasa de interés 
legal, cuando se haya pactado 
 
 En los casos en que la devolución del préstamo se efectúe por cuotas, el cobro del interés 
moratorio se realiza únicamente sobre la parte que corresponde al capital de las cuotas 
vencidas insolutas, mientras subsista esta situación. 
 
 Su cobro siempre se efectuará en forma vencida, es decir al momento en que la deuda 
vencida es definitivamente cancelada. 
 
5. Aplicaciones de la tasa efectiva en el cálculo de intereses adelantados. 
 
5.1. Descuento Racional: 
 Una operación de descuento es una forma de crédito, en la cual el descuentoes la 
cantidad de dinero que se resta al valor nominal de un título valor (letra de cambio, 
pagaré u otro documento) antes de su fecha de vencimiento con la única finalidad de 
hacerlo efectivo en la fecha de descuento. 
 En la operación de descuento se obtiene el pago anticipado del título valor, mediante la 
cesión del mismo a otra persona o entidad financiera, la cual adelanta el importe del valor 
nominal del título valor, descontando o restando los intereses en forma adelantada por el 
tiempo que resta para el vencimiento del título valor. 
 12 
 
5.2. Valor Nominal del título valor: Es la cantidad o monto que está inscrita en la obligación. 
Indica la cantidad que debe pagarse en la fecha de vencimiento señalada. 
 
5.3. Descontar un título valor: Es la acción de recibir o pagar hoy un dinero a cambio de una 
suma mayor comprometida para fecha futura, según las condiciones pactadas en el 
documento. Un título valor puede ser descontado una o más veces antes de la fecha de su 
vencimiento. Cuando la operación se efectúa entre entidades financieras se denomina 
redescuento. 
 
5.4. Descuento: Es la diferencia entre el valor nominal y valor que se recibe, en el momento de 
descontar el título valor. 
 
5.5. Valor líquido o valor efectivo: Es el valor nominal menos el descuento. Es el valor en 
dinero que se recibe en el momento de descontar la obligación. 
 
5.6. Tasa de descuento: Es el valor porcentual del valor nominal que deduce el prestamista al 
descontar el pagaré. 
 
5.7. Plazo: Periodo de duración del préstamo. 
 
 
5.8. Descuento racional compuesto. 
 
 
n
i1
1
1*ó
n
i11*D Descuento VFVF
 
 
5.9. Factores de descuento 
 Son tasas adelantadas porque se aplican sobre los montos nominales de títulos valores. 
 
5.10. Ejercicios de aplicaciones de tasa efectiva, descuentos en pagarés y letras, 
 interés compensatorio y moratorio 
 
1. Hallar el descuento racional de una letra cuyo valor nominal es de S/.9.000 y vence dentro 
de 50 días. La tasa efectiva mensual del 2.70% El banco cobra, 0.35% de comisión de 
cobranza y S/.5 de portes. Efectuar la liquidación. 
 
2. El día 14 de mayo la empresa IBC, vende productos ferreteros a IDL por un total de 
S/.15.578, emitiéndose y aceptándose en la fecha una Letra con vencimiento a 120 días y 
con una tasa de interés del 3,40% mensual. 
 Si el 18 de agosto procede a descontar dicha letra en el Banco Exterior, calcular la cantidad 
que tendrá que cobrará.. 
 
3. Determinar el importe que se abonará en la cuenta corriente de una empresa que 
 presenta una letra, en la sección descuentos en una entidad financiera por S/. 8.750 que 
vence en 90 días. La TEA es 23%, comisión 1,25%, portes S/. 6,00 
 
 13 
4. Determinar el valor líquido que una entidad financiera pagaría el 16 de abril al descontarse 
una letra por S/. 17.500 con vencimiento el día 28 de mayo, si se cobra una TEA del 18,57%, 
además el banco cobra una comisión de 0,25% del importe de la letra y portes por S/. 5,00. 
Adicionalmente se pide calcular el costo efectivo periódico y el costo efectivo anual (CEA). 
 
5. El Banco Americano tiene una letra para descuento por el importe de US$ 20.000 cuya 
fecha de vencimiento es el 26/09. La letra se paga el 27/08, descontado a una TEA del 18%. 
El banco cobra como portes US$5 y comisión del 0,25% sobre el importe de la letra, se pide 
calcular el importe de descuento y el valor a pagar. 
 
 
6. Una letra por S/.14.650, cuya fecha de giro fue el 19 de marzo y que vencerá el 27 de mayo, 
se presenta al descuento el día 12 de abril. El banco cobró interés adelantados a una tasa 
del 1,65% mensual; comisiones del 0,85% y portes de 8,50 soles. Determinar el abono 
correspondiente. 
 
7. Desarrollar la siguiente planilla de descuento: 
 
PLANILA DE DESCUENTO DE LETRAS 
 Fecha de Descuento 01/03 
TEM 2,50% 
Letra 
Fecha de 
Vencimiento 
N° días Importe Interés Portes 
Letra 
Descontada 
1 19/03 S/. 20.560 S/. 6,00 
2 5/04 S/.15.785 S/. 6,00 
3 21/04 S/.10.438 S/. 6,00 
 
8. Determinar el Valor Líquido que el banco abonaría el 16 de abril al descontarse una letra de 
S/.12.500 con vencimiento el 23 de Mayo, si se cobra con una TEA de 29,75%, además el 
banco cobra una comisión de 0,25% y portes por S/. 4,00. Adicionalmente se pide calcular 
el costo efectivo periódico y CEA. 
 
Valor nominal de la letra 
Tasa efectiva anual (TEA) 
Periodo de la tasa (m) 
Fecha de pago 
Fecha de vencimiento 
Días calculados (n) 
Descuento (interés adelantado) 
Portes 
Comisión de cobranza 
Total de descuento 
Valor a Pagar 
 14 
9. Una empresa obtuvo un préstamo de S/ 100.000 el día 15 de julio, bajo las siguientes 
condiciones: vencimiento 15 de noviembre, interés compensatorio del 25% TEA; interés 
moratorio del 1,34% TEM. La empresa por omisión paga la deuda el día 10 de diciembre. 
Determinar el importe de dicho pago. 
 
10. Un pagaré de S/. 15.890 venció el día 03 de mayo y fue cancelada el día 18 de junio. Desde 
la fecha de vencimiento hasta el día 25 de mayo la tasa compensatoria fue del 
69,5881433% TEA y a partir de esa fecha hasta el pago del documento, aumentó en un 
punto porcentual sobre la tasa mensual original. La tasa moratoria que se aplica representa 
el 25% de la TEM compensatoria inicial. Calcular el total a pagar. 
 
11. Una letra con valor nominal de S/.10.800 que venció el 3 de marzo, fue cancelado el 14 de 
abril, ¿Cuál es el pago total a efectuar si la TAMN es del 5% TEM, la tasa de mora es el 15% 
de la TAMN, los gastos de protesto ascienden a S/.20 y los portes son S/.5? 
 
12 Una empresa logró un préstamo de S/ 200.000 el día 15 de julio, bajo las siguientes 
condiciones: vencimiento 15 de enero, interés compensatorio del 28% TEA e interés 
moratorio del 1,5% TEM. Si la empresa paga la deuda el día 2 de febrero, determinar el 
importe de dicho pago. 
 
 
 
Sesión 8 - 9 
 
6. ECUACIONES DE VALOR 
 
6.1. Concepto: Es toda igualdad matemática en la que se relacionan los stocks y los flujos, con 
una o más variables, todas ellas afectados por sus correspondientes factores financieros 
(capitalización y/o actualización), satisfaciendo una determinada condición. 
 
 En las operaciones financieras y mercantiles suelen presentarse casos en las cuales los 
deudores y acreedores, por convenir a sus intereses, se ponen de acuerdo para modificar 
las condiciones pactadas originalmente, lo que hace que se generen nuevas relaciones 
contractuales. Las ecuaciones de valor se aplican principalmente en los casos de: 
- refinanciamiento de deudas, 
- modificación del número de pagos o depósitos, 
- adelanto o postergación de fechas de pago, 
 
6.2. Procedimiento de cálculo: 
a) En un diagrama de tiempo – valor se colocan todos los datos proporcionados, y una 
vez definidas se colocan las incógnitas, según sea el caso. 
b) Se establece analíticamente una equivalencia financiera, es decir, con los datos y 
variables buscamos la relación que se debe cumplir. 
c) Se escoge un punto de referencia temporal, llamado fecha focal, en el cual se ubicarán 
las cantidades involucradas (datos y variables) con sus respectivos factores financieros. 
d) Según lo realizado en (a) y (b), se plantea la ecuación de valor, obteniéndose el valor 
de la incógnita. 
 
 15 
6.3. Ejercicios 
 
1. Se solicita un préstamo de S/. 4.000 con una TEM del 3% que se cancelará con un primer 
pago de S/. 1.500 dentro de 1 mes y 2 pagos de igual valor, dentro de 2 y 4 meses, 
respectivamente. Calcular dichos pagos. 
 
2. Para cancelar una deuda se deberán realizar los siguientes pagos: S/. 654,85 dentro de 45 
días, S/. 589,56 dentro de 3 mesesy S/. 986,50 un mes después. El deudor acuerda con el 
acreedor cancelar toda la deuda con un pago único a los 80 días. Si se aplica una TEM del 
2,35% ¿Cuál será el valor de dicho pago? 
 
3. Un préstamo de S/. 1.865 a una TEM del 1,85% se cancelará mediante 3 pagos, dentro de 
2, 4 y 6 meses, respectivamente y se pacta que cada pago sea un 25% menor a la anterior. 
Determine el valor de cada una de los pagos. 
 
4. Una persona abre una cuenta de ahorros con S/. 3.200 y proyecta realizar 4 depósitos, 
dentro de 3, 4, 5, y 6 meses, respectivamente. Los depósitos son de diferentes cantidades 
y cada uno será un 10% mayor que el depósito anterior, y además, el monto deseado a 
tener en la cuenta de ahorros dentro de 8 meses es de S/. 10.000. Calcular el valor de cada 
depósito, si la tasa que paga el banco es del 4,25% TEA. 
 
5. En la negociación sostenida por “H.M.S. SAC” con un banco local, se aprobó reemplazar las 
deudas de la empresa de S/.12.000 y S/.15.450, con vencimientos dentro de 60 y 120 días, 
respectivamente, por un pago único, con vencimiento a 90 días y con una tasa de interés 
del 24% TEA. Hallar la cantidad a pagar en esa fecha 
 
6. La distribuidora “Alimentos SAC” vende sus productos al crédito por un total de S/. 5. 800, 
por lo cual el restaurante “Costa Azul” acepta tres letras de cambio, de igual valor nominal, 
con vencimientos dentro de 45, 75 y 105 día, respectivamente. 
 Si se aplica una TEM del 2,3%, determinar. 
 a) El valor nominal de cada letra. 
 b) Si el valor de las letras disminuyera en un 20% con respecto a la anterior, ¿qué valor 
nominal tendrá cada letra? 
 
7. Se dispone de S/. 24.000 y se decide invertir en 3 cuentas de ahorros, que pagan la tasa de 
interés del 4% trimestral, de modo que pueda disponer en el futuro de montos similares 
en cada cuenta. Si proyecta utilizar dichos fondos dentro de 4 años, 5años 8meses y el 
último dentro de 7años 4 meses. ¿Cuánto deberá depositar en cada cuenta? 
 
8. Se recibe un préstamo de S/. 2.500 con una TEA del 40%, el cual será cancelado con tres 
pagos iguales dentro de 1, 2 y 4 meses, respectivamente. Si a los 18 días de efectuar el 
primer pago se refinancia el saldo, de modo que éste será cancelado en cuatro cuotas, en 
forma mensual y cada pago será un 10% menor que el anterior. Calcular el valor de cada 
pago. 
 
 
 
 16 
Sesiones 10 – 11 - 12 
 
7. RENTAS Y ANUALIDADES 
 
7.1. Concepto: Se refiere a toda sucesión de cantidades iguales de dinero que se pagan o 
reciben con la misma frecuencia de tiempo. También se les conoce como Rentas o Pagos y 
se les simboliza mediante la letra P o R. 
 
7.2. Clasificación: Las anualidades se pueden clasificar de acuerdo a diferentes criterios, siendo 
el más frecuente: 
 
7.2.1. Según su duración: 
Temporales: Aquellas cuando se conoce tanto el inicio como el final del flujo. 
 Ejemplo: Un préstamo bancario. 
 
Perpetuas: Aquellas para las cuales se conoce el inicio pero no el final del flujo. Ejemplo: Las 
pensiones por jubilación. 
 
7.2.2. Según el inicio del primer pago o depósito: 
 
Inmediatas: Son aquellas en el cual la primera renta, pago o depósito se establece desde el 
primer periodo. Ejemplo: Compras al crédito. 
 
Diferidas: Son aquellas en la cual la primera renta se establece después del primer periodo. 
Ejemplo: “Compre hoy, pague dentro de 90 días” 
 
7.2.3. Según cuando se produce la renta: 
 
De pago vencido: Cuando la renta se produce al final de cada periodo. 
 Ejemplo: Créditos personales, hipotecarios, etc. 
 
De pago anticipado: Llamados también imposiciones, son aquellas rentas que se producen al 
inicio de cada periodo. 
 Ejemplo: Pago de alquileres, pólizas de seguros, etc. 
 
7.3. Circuito Financiero 
 Representa todas las posibles equivalencias o transformaciones que se puedan 
 realizar entre el VA, VF y los flujos uniformes. 
 
 capitalización 
 1 
 
 6 3 
 VA P VF 
 
 5 4 
 2 
 actualización 
 17 
 
FRC1
n
i1
n
i1*i
*VAP6
FAS
n
i1*i
1
n
i1
*PVA5
FDFA1
n
i1
i
*VFP4
FCS
i
1
n
i1
*PVF3
FSA
n
i1*VFón
i1
VF
VA2FSC
n
i1*VAVF1
 
 
 FSC: Factor Simple de Capitalización. 
 FSA: Factor Simple de Actualización. 
 FCS: Factor de Capitalización de la Serie. 
 FDFA: Factor de Depósito al Fondo de Amortización 
 FAS: Factor de Actualización de la Serie. 
 FRC: Factor de Recuperación de Capital. 
 
 Todas las fórmulas de anualidades, se aplican a los casos que estas sean temporales, 
inmediatas y de pago vencido, ya que han sido deducidas bajo esas condiciones. Debe 
tenerse en cuenta que el VA debe estar ubicado un período antes del primer pago o 
depósito y el Valor Futuro debe estar ubicado en la misma posición del último pago o 
depósito. 
 En las fórmulas, el valor de “n” representa el número de rentas consideradas y la tasa “ i “ 
deberá ser del mismo periodo que la frecuencia de los pagos o depósitos. 
 
7.4. Ejercicios de Anualidades Vencidas 
 
1. Una empresa está proyectando implementar un nuevo sistema de aire acondicionado, 
dentro de dos años, cuyo costo lo estiman en S/. 54.000. Para ello, la gerencia financiera 
propone ahorrar, mensualmente, una determinada cantidad durante ese tiempo. 
 El banco donde efectuarán los depósitos paga la tasa de interés del 4,25% TEA. ¿Qué 
cantidad deberán depositar cada fin de mes con el propósito de lograr la compra? 
 
2. Un trabajador dependiente ha cotizado a una AFP S/. 165 mensuales, durante los últimos 
cinco años de actividad laboral. Calcular qué monto habrá acumulado en ese período si la 
tasa de rendimiento de la AFP es del 10.50% TEA. 
 
3. La empresa BFI S.A.C. decide cancelar hoy las últimas 4 cuotas de un préstamo contraído 
con un banco local. Las cuotas vencen dentro de 30, 60, 90 y 120 días y cada una es de S/. 
678,45. ¿Qué cantidad deberá pagar si se aplica a esta operación 2,15% TEM? 
 
5. Una tienda vende computadoras personales con las siguientes condiciones: S/. 500 de 
cuota inicial y S/. 630 mensuales durante medio año. Si a sus operaciones comerciales 
aplican una TET del 6,25%, cuál es el precio al contado? 
 
 18 
6. Calcular el monto acumulado al cabo de 36 meses, luego de realizar 24 depósitos 
mensuales consecutivos de S/. 356.756 cada uno, en una cuenta de ahorros que paga la 
tasa de interés del 5,12% TEA.7. Si se compra un equipo, pagando una cuota inicial de $ 70, y el saldo, que se financia a la 
tasa 4% TEM, se cancela mediante 12 cuotas mensuales de $ 69.26. Hallar el precio al 
contado del T.V. 
 
8. Una empresa educativa requiere de una impresora, cuyo precio al contado es de $ 4.000. 
Se compra al crédito pagando una cuota inicial del 25% del precio al contado y seis cuotas 
mensuales iguales. La tasa de interés que se cobrará será del 15,7625 % trimestral. Hallar 
el valor de la cuota mensual. 
 
9. Una persona efectuó compras de equipos de cómputo en una tienda por departamentos 
por un total de S/. 1,580. Al momento de cancelar, con la tarjeta de crédito de la tienda, 
escoge la opción pago diferido a 90 días (el primer pago se efectuará a los 90 días), 
indicando un total de 6 cuotas. Si la tienda aplica una TEM del 4,50%. Calcular el valor de 
sus cuotas. 
 
10. Para la compra de un departamento, se solicitó un préstamo hipotecario. El banco le 
otorga un crédito equivalente al 80% del valor del inmueble. El préstamo establece el pago 
de cuotas mensuales iguales de $ 650, con un plazo total de 8 años, seis meses de gracia 
total y una tasa de interés del 11,50% TEA. 
a) Calcular el precio al contado del inmueble. 
b) Si se desea cancelar toda la deuda al vencimiento de la quincuagésima quinta cuota, 
¿cuánto será la cantidad a pagar? 
 
11. Un préstamo de S/.10.800 otorgado al 23% TEA será cancelado mediante el pago de 6 
cuotas bimestrales iguales más 12 cuotas mensuales iguales, siendo la cuota bimestral el 
doble de la mensual. Calcular el valor de dichas cuotas. 
 
12. Un automóvil cuyo valor al contado es de $ 18.000 se compra al crédito pagándose una 
cuota inicial del 25% del valor al contado y el saldo, financiado al 25% TEA, se cancelará en 
18 cuotas mensuales iguales excepto las de julio y diciembre que serán dobles. Si el pago 
de la primera cuota corresponde al mes de junio, y las cuotas se pagan cada 30 días, 
calcular las cuotas mensuales ordinarias y extraordinarias. 
 
13. Se compra un TV plasma pagando una cuota inicial del 10% y el saldo se financia en 15 
cuotas mensuales. Las 5 primeras son de S/. 80 c/u; las 5 siguientes son de S/. 100 c/u y las 
5 restantes de S/. 150 c/u. Hallar el precio al contado del TV si la tasa de interés que se 
cobra es 36% TEA. 
 
14. Un automóvil cuyo precio al contado es $16.000 es comprado por medio de un crédito 
personal pagando una cuota inicial del 25% y 18 cuotas mensuales fijas vencidas. Calcular 
cuál es el importe de cada cuota si por el financiamiento se cobra la tasa de interés del 
3,50% mensual, así como por gastos administrativos $2,50 más el 0,05% del saldo deudor 
como seguro de desgravamen (sumarlo a la tasa mensual), respectivamente. 
 19 
 
15. Un auto del año cuyo precio al contado es de $ 18.900 se ofrece al crédito con una cuota 
inicial del 20% y el saldo, financiado al 34,50%TEA será cancelado mediante 36 cuotas 
mensuales iguales excepto las de julio y diciembre que serán dobles. Halle el valor de la 
cuota ordinaria y extraordinaria si la primera cuota se pagará en el mes de setiembre. 
 
Sesiones 13 - 14 
 
8. CRONOGRAMAS DE PAGO (Cuadro de Servicio de Deuda) 
 
8.1. Concepto: Se refiere a todo cuadro de servicio de una deuda en la que se detalla 
 el proceso de amortización. 
 
8.2. Amortización: Proceso financiero mediante el cual una deuda u obligación y los 
 Intereses que generan, se extinguen progresivamente por medio de pagos periódicos. 
De cada pago o cuota una parte se aplica a cubrir el interés generado por la deuda y el 
resto a disminuir el saldo por pagar. 
 
8.3. Elementos del Cronograma de Pagos. 
 
8.3.1 Interés: Se calcula aplicando la tasa del periodo sobre el saldo deudor inmediato 
 anterior. 
1k
DeudorSaldoi
k
I x 
 
8.3.2. Amortización: Es parte de la cuota o pago que se cancela a cuenta del saldo 
 deudor o principal. Se calcula según el tipo de cronograma. 
 
 kInterésCuotakónAmortizaci (Cuotas Iguales) 
 
 
periodosden
Principal
kónAmortizaci (Cuotas Decrecientes) 
 
8.3.3. Cuota o Pago: Es el desembolso que se realiza periódicamente y se calcula de 
 acuerdo al tipo de cronograma. 
 
 kInteréskónAmortizaciCuota 
 
8.3.4. Saldo Deudor: Llamado también saldo del principal, o saldo. Representa el total 
 que aún falta pagar hasta un determinado período. 
 
 kónAmortizaci1kDeudorSaldokDeudorSaldo 
 
8.4. Sistemas de repagos de préstamos. 
 Un cronograma de pagos puede elaborarse de distintas maneras, siendo los más 
frecuentes las de: 
a) Cuotas Iguales (Cuotas Fijas) o Método Francés. 
b) Cuotas Decrecientes (Amortizaciones Iguales) o Método Alemán. 
 
 20 
8.5. Ejercicios 
 
1. Una alumno del IFB desea adquirir una computadora portátil, cuyo precio al contado es S/. 
2.047,40. Logra la compra recibiendo la facilidad de pagar el 20% del precio al contado 
como cuota inicial y el saldo, financiado a la tasa de interés del 25% anual, lo cancelará en 
seis cuotas mensuales. 
 Elaborar el cronograma de pagos correspondiente: 
a. Si las cuotas son fijas (iguales). 
b. Si las cuotas son decrecientes. 
 
2. Elabore un cronograma de pagos correspondiente al reembolso de un préstamo de 
 S/.5.000. Se deberán considerar 6 cuotas constantes, bimestrales y una TEA del 24,50% y 
un periodo de gracia total de 120 días. 
 
3. Elabore un cronograma de pagos correspondiente al reembolso de un préstamo de 
 $ 8.600. Se deberán considerar 4 cuotas constantes, trimestrales y una TEA del 21,55 % y 
un periodo diferido parcial de 180 días. 
 
5. Desarrollar un cronograma de pagos para un préstamo de S/. 1.500, a cancelarse en 6 
meses, con cuotas iguales y con una TEA del 10%. El desembolso se efectúa el 12 de 
noviembre y los pagos se realizarán los días 12 de cada mes. 
 
6. Elaborar un cronograma de pagos hasta la 10 cuota, de un préstamo personal de S/.15.760 
a pagarse en 20 cuotas mensuales iguales, excepto las de julio y diciembre que serán 
dobles. La tasa de interés es del 45,25% TEA y la primera cuota se pagará en el mes de 
marzo. 
 
7. Se adquiere un préstamo personal de S/. 8.500, el cual deberá ser cancelado en 18 cuotas 
mensuales iguales, con una tasa de interés del 25% anual. 
Ya cancelada la 5° cuota, la SBS interviene la financiera por problemas de liquidez. 
a) Elabore el cronograma de pagos correspondiente hasta la 5° cuota. 
 Debido a la intervención de la SBS, la deuda pasa a otra entidad financiera, la cual 
modifica, por acuerdo mutuo, las condiciones de pago a 12 cuotas decrecientes, 
incrementando la tasa de interés mensual en medio punto porcentual. 
 b) Elabore el cronograma de pagos hasta la 4 cuota refinanciada. 
 
8. Un préstamo de $ 15.000 se cancelará mediante el pago de 24 cuotas mensuales 
decrecientes siendo la tasa de interés del 22,5% TEA. El deudor al momento de pagar la 6ª 
cuota solicita pagar sólo el 50% de la misma y solicita además que el saldo deudor se 
refinancie en 18 cuotas mensuales iguales. Determinar: 
a) ¿Cuánto pagó al vencimiento de la 6ª cuota? 
b) ¿A cuánto ascendió el saldo deudor?c) El valor de la cuota mensual luego del refinanciamiento. 
 
9. Se concede un préstamo de S/. 25.000 para pagarlo en 24 cuotas mensuales iguales y a la 
tasa de interés del 32% anual. 
 a) Calcular el valor de cada cuota. 
 21 
b) Si al vencimiento de la cuota 10 se cancela sólo el 45% de la cuota y se cuerda un 
refinanciamiento del saldo mediante el pago de 18 cuotas mensuales decrecientes, 
calcular el valor de la 6° cuota. 
 
 10. Un banco aprueba a la empresa A.C.M. un préstamo de $ 60.000, para la compra de una 
máquina, el cual será cancelado en 8 cuotas mensuales iguales, aplicando una TEA del 
18%. 
a) Elabore el cronograma de pagos para el cliente. 
Las condiciones financieras permiten que el cliente realice una amortización adicional en 
cualquier momento del plazo considerando una TEM del 1,60% para la reprogramación 
del nuevo saldo en el número de cuotas pendientes y en montos decrecientes. 
b) Elabore el cronograma correspondiente si el cliente amortiza $ 1.500 adicionales en el 
tercer mes. 
 
11. Una deuda de S/. 35.000 se va a cancelar en 7 cuotas mensuales iguales y a la tasa del 
41.16% anual. 
a) Hallar el valor de la cuota y elabore el cronograma de pagos correspondientes. 
 Si al momento de pagar la cuarta cuota, abona el doble, con la finalidad de amortizar más 
para bajar la deuda pero sin variar el número de cuotas pactadas 
b) ¿Cuál es la cantidad que amortizó el cuarto periodo? 
c) Calcular la nueva cuota y elaborar el cronograma correspondiente. 
 
12. Completar el siguiente cronograma de cuotas iguales, sustentando cómo obtiene los 
siguientes resultados: 
a) El valor del préstamo o principal. 
b) La tasa mensual. 
c) El valor de la cuota. 
 
 
 
Mes Interés Amortización Cuota Saldo Deudor 
0 
1 
2 
3 
4 7.575,20 
5 892,52 
6 112,46 
7 
8 
9 
10 
11 
12 
 
 
 
 22 
 
 
Sesión 15 
 
9. Depreciación de Activos 
 
Las maquinarias, las edificaciones y otras clases de activos, necesarios para las operaciones 
de las empresas, generan por el uso, una disminución de sus valores, que no puede evitarse 
con los gastos corrientes de operaciones. 
 
Puesto que el capital invertido debe permanecer constante, es necesario estudiar la forma 
de establecer un fondo de reserva que compense esta pérdida de valor. 
 
9.1. Definición: Es la pérdida de valor, no recuperada con el mantenimiento, que sufren los 
activos y se debe a diferentes factores que causan finalmente su inutilidad, obligando, por 
lo tanto, el reemplazo del activo. 
 
 Costo Inicial (C), es el costo de adquisición del activo, el cual puede incluir embalaje, 
transporte, descarga, instalación. 
 
 La vida útil (n), o duración probable de un activo, se determina con base en la experiencia 
y, tanto los expertos en estas materias como los fabricantes de equipos y maquinarias 
señalan la vida útil de los distintos activos y sobre estos datos se basa el cálculo de la 
depreciación. 
 
 Al terminar la vida útil del un activo, debe reemplazarse, invirtiéndose para ello un valor 
que recibe el nombre de costo de reemplazo. 
 
Durante la vida útil del activo debe separarse periódicamente una determinada cantidad 
(para cubrir la depreciación del activo), creando con ella un fondo que recibe el nombre 
de fondo de reserva (F) o depreciación acumulada, y que debe ser igual al costo de 
reemplazo al terminar la vida útil del activo. 
 
Cuando el activo ha dejado de ser útil, siempre conserva algún tipo de valor, así sea como 
chatarra o material de desecho. Este valor residual recibe el nombre de valor de desecho 
o de salvamento (S). 
 
Valor Contable (V) o también conocido como valor en libros, es la diferencia que se 
establece entre el costo del activo y el fondo de reserva. 
 
Valor de Uso (W), es la diferencia entre el costo inicial y el fondo de reserva. 
 
Existen varios métodos para determinar el cargo periódico que debe efectuarse por 
concepto de depreciación; a continuación, estudiaremos los más utilizados. 
 
 
 
 23 
 
 
 
9.2. Método de línea recta o uniforme. 
Es el más simple de los métodos y el más utilizado: consiste en suponer que la 
depreciación anual es la misma para toda la vida útil del activo y, de acuerdo con esto, se 
reservan cada año partes iguales, de tal manera que al terminar la vida útil del activo, se 
tenga un fondo de reserva que, sumado al valor de salvamento, de cómo resultado el 
valor de reemplazo. 
 No obstante que es el método más usado, hay dos objeciones importantes en su 
aplicación. 
 
 Primero: No tienen en cuenta los intereses sobre el fondo de reserva. 
 
 Segundo: Las maquinarias y equipos se deprecian más rápidamente en sus primeros años 
de uso, además, hay que tener en cuenta que, en los primeros años de uso, el gasto por 
reparaciones es pequeño y aumenta con el transcurso del tiempo, llegando a ser 
considerable en los últimos años, por lo que conviene distribuir los gastos de reparación y 
depreciación en forma más uniforme, disponiendo que los cargos por depreciación sean 
mayores en los primeros años de uso de los equipos y menores en los últimos años, en los 
cuales los gastos por reparaciones serán mayores. 
 
 Designando como C el costo inicial, que se supone será igual al de reemplazo, por S al 
valor de salvamento y n por los años de la vida útil, la depreciación periódica (D) se 
obtiene de la siguiente fórmula: 
 
 
n
SC
D 
 
9.2.1. Ejercicios 
 
1. Cierto equipo de una empresa tiene un costo de US$ 5.000 y una vid estimada de 4 años. Si 
el valor de salvamento es del 10% del costo inicial, hallar el valor de la depreciación anual y 
el cuadro correspondiente. 
 
2. La compañía Cementera compró una máquina para hacer bloques de ladrillo de concreto 
en S/.120.100,00. estima que tendrá una vida útil de 8 años y un valor de rescate de 
S/.13.520. Empleando el método de la línea recta, obtener la depreciación anual y elaborar 
el cuadro de depreciación. 
3. Aplicando el método uniforme o de línea recta. ¿Cuál será el valor contable de una 
máquina con una vida útil estimada de 7 años? Su costo de adquisición fue de US$ 40.000 
y se previó valor de salvamento al final de su vida útil de US$10.000,00? 
Construir la tabla de depreciación, e indicar: 
a) ¿Cuál es valor acumulado al segundo año? 
b) ¿Cuál es el valor al finalizar el tercer año? 
 
 24 
4. Se estima que una máquina cuyo costo es de S/.4.000 tendrá una vida útil de 6 años y al fin 
de dicho periodo un valor de salvamento de S/.400. Encontrar la depreciación promedio 
anual. Elaborar una tabla de depreciación por el método uniforme donde se muestre el 
valor en libros cada año. 
 
5. Aplicando el método de línea recta, calcular el valor acumulado en el fondo de reserva, 
después de 10 meses de comprada un determinado equipo, cuyo costo fue de S/.12.760 y 
una vida útil estimada de 9 años y un valor de salvamento de S/.2.100. 
 
6. Aplicando el método uniforme. Hallar cuál será el valor en libros de un grupo de 
computadoras, con una antigüedad de 6 años y 4 meses y una vida útil estimada de 10 
años. 
El costo de este grupo de computadoras fue de US$ 8.460 y se proyecta un valor de 
salvamento, al final de su vida útil, del 15,50% del costo. 
 
9.3. Método de la suma de dígitos. 
 
 Con este método, se logra que el cargo por depreciación sea mayor en los primeros años 
de vida del activo y vaya disminuyendo cada año. 
 
Para hallar el cargo anual de depreciación se procede de la siguiente manera: 
 
Se ordena de mayor a menor los números que corresponden a los años de duración delactivo. La depreciación para cada año queda expresada por un factor, dada por una 
fracción, cuyo numerador es el dígito que corresponde, en orden decreciente, al año cuya 
depreciación se está calculando (número de años que le restan de vida útil al activo) y 
cuyo denominador es la suma de todos los números (dígitos). 
 
Entonces, la depreciación se calcula según la siguiente fórmula: 
 
 
dígitosdesuma
activoalrestanlequeaños
*SCD 
 
9.3.1. Ejercicios 
 
1. Elaborar un cuadro de depreciación mediante el método de la suma de dígitos para un 
activo fijo que adquiere una empresa a un costo de S/. 6.000,00, además de gastos de flete 
e instalación de S/. 500. Se estima que la vida útil de este activo será de 4 años y que 
tendrá un valor de salvamento de S/. 1.200. 
 
2. Una máquina tiene un costo inicial de S/. 89.000, una vida útil de de 6 años y un valor de 
salvamento de S/. 12.000. Elaborar un cuadro de depreciación aplicando el método de 
suma de dígitos. 
 
3. Una entidad educativa adquirió por medio de una importación directa al fabricante un lote 
de computadoras personales a un costo de US$ 95.600. Por concepto de flete marítimo, 
desaduanaje e impuestos pagó un 15% del valor de la compra, y por traslado e instalación 
 25 
pagó un 2,5% del valor de la compra. Estima que la vida útil del lote adquirido sea de 6 
años y además considera que el valor de desecho, al final de la vida útil será del 10% del 
valor de la compra. Desarrollar el cuadro de depreciación por el método de la suma de 
dígitos. 
 
4. Una empresa constructora adquirió una nueva mezcladora en US$ 16.800 a la cual le 
estima una vida útil de 8 años, así como un valor rescate del 12% del costo de la máquina. 
Elaborar el cuadro de depreciación por el método de la suma de dígitos. 
 
9.4. Método de unidades producidas. 
 
 Con este método, la depreciación de los activos contempla la intensidad de su uso o la 
cantidad de unidades producidas, dejando de lado el deterioro por el paso del tiempo. De 
esta manera, el cargo por depreciación no será el mismo periodo a periodo, sino que está 
en función de la producción, la misma que tampoco es la misma a lo largo del tiempo. 
 
La depreciación se calcula de la siguiente manera: 
 
 
anualproducción*
total producción
L - C
D 
 
 
9.4.1. Ejercicios 
 
1. Un activo fijo adquirido en S/. 16.000 posee las siguientes características técnicas: 
capacidad de producción diaria máxima de 1.000 unidades, vida útil de producción: 
1.250.000 unidades. 
Se estiman los siguientes niveles de producción para los siguientes 5 años: 200.000; 
250.000; 350.000; 300.000; 150.000 unidades respectivamente. Calcular la depreciación 
anual y elabore el respectivo cuadro, considerando un valor de desecho del 10% del costo. 
 
2. Una camioneta rural, para el servicio turístico, tuvo un costo de adquisición de US$ 25.000 
y se le proyecta una vida útil de 1.000.000 km. Además de un valor de salvamento de US$ 
5.000. Calcular la depreciación para los 4 primeros años de operación si el propietario 
proyecta los siguientes recorridos: primer año 300.000 km; segundo año 250.000 km; 
tercer año 200.000 km; cuarto año 150.000 km. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 26 
 
Sesión 16 - 17 
 
INSTRUMENTOS PARA ANÁLISIS DE INVERSIONES 
 
10. PRINCIPIOS DE INVERSIÓN 
 
10.1. Concepto: Se refiere a las distintas formas y criterios que se aplican para determinar la 
factibilidad y/o conveniencia de una alternativa de inversión o de financiamiento. 
 
Toda inversión se analiza en base a un flujo de caja proyectado, considerando la 
información más importante el Flujo de Efectivo Neto (FEN), que se calcula con la 
diferencia entre los flujos de ingresos y los flujos de egresos. 
Otra información importante es la tasa de rendimiento esperado de la inversión, dado 
por el Costo de Oportunidad de Capital (COK). 
 
10.2. Indicadores de Evaluación: El análisis de una inversión basado en el FEN y en 
 el COK origina ciertos indicadores, llamados Indicadores de Evaluación, los cuales los 
podemos clasificar en: 
 
10.2.1. Indicadores de Actualización: Se basan en el cálculo del Valor Actual del FEN, asociado 
a una alternativa de inversión. 
 
10.2.2. Indicadores de Equivalencia: Se aplican en la evaluación de alternativas que tienen 
diferente vida útil, requiriendo homogenizar la unidad de tiempo para que las 
cantidades sean comparables y se calcula mediante la aplicación del Factor de 
Recuperación de Capital (FRC) que se aplica a un determinado valor presente. 
 
10.2.3. Indicadores de Rentabilidad: Son aquellos que mediante una tasa reflejan el 
 rendimiento asociado al flujo de efectivo neto de una inversión. Se obtiene en base a 
la comparación del flujo de entrada de efectivo con el flujo de salida de efectivo. 
 
10.3. Indicadores de Actualización: 
 
10.3.1. Valor Actual Neto (VAN): Es el principal indicador de actualización y se obtiene de la 
diferencia entre los flujos de entrada de efectivo y los flujos de salida de efectivo, 
todos ellos, actualizados a una tasa dada por el COK. 
 
 
 Io FEN 2 FEN n 
 FEN 1 FEN 3 
 
 
 1 2 3 . . . n 
 
 FED 
 
 
 27 
 Io = Inversión Inicial 
 FEN = Flujo de Efectivo Neto 
 FED = Flujo de Efectivo Descontado (Actualizado) 
 
 
nCOK1
nFE...
3COK1
3FE
2COK1
2FE
COK1
1FEF.E.D. 
 
 FEDIoVAN 
 
Criterios de Decisión: 
 
- Para toda alternativa: Si VAN 0 ( FED Io ) Se acepta 
 
 Tasa de rendimiento Tasa de rendimiento 
 Obtenido Esperado 
 
 Si VAN 0 ( FED Io ) Se rechaza 
 
- Para AMES A y B: 1° condición “n A ” = “n B ” 
 2° condición VAN A vs. VAN B Se escoge el de 
 mayor VAN 
 
10.3.1.1. Ejercicios 
 
1. Una empresa está analizando la posibilidad de comprar una nueva máquina de producción 
cuyo costo es US$ 25.000. Con de este activo proyectan ingresos adicionales durante los 
próximos 5 años según lo siguiente: 
 
Año 1 2 3 4 5 
FEN 10.000 12.500 14.000 10.000 8.000 
 
 La empresa evalúa sus inversiones considerando una tasa mínima de rendimiento del 
12,50% TEA. Con estas proyecciones, ¿Recomendaría la compra? 
 
2. Evalúe las siguientes alternativas de inversión cuyos F.E.N. se dan a continuación: 
 
Año A B C 
0 ( 34.500 ) ( 55.000 ) ( 80 000 ) 
1 10.200 15.000 19.000 
2 10.200 18.000 16.000 
3 10.200 17.000 15.000 
4 10.200 19. 000 40.000 
5 10.200 15.000 35.000 
6 14.000 11.000 16.000 
 
 Considerando un COK = 15 % anual, cuál opción recomendaría: 
 
 28 
 
 
 
3. Se está considerando la compra de cierto activo que requiere de una inversión inicial de 
US$ 32.000 y que a lo largo de su vida útil, de 5 años, producirá los siguientes flujos de 
efectivo. 
 
Año 1 2 3 4 5 
FEN -8.750 19.200 12.350 15.250 20.720 
 
Si se espera una tasa de rendimiento sobre la inversión del 20% anual, determine la 
conveniencia de comprar dicho activo. 
 
4. Se está considerando la compra de cierto activo que requierede una inversión inicial de 
US$ 38.000 y que a lo largo de su vida útil, de 5 años, producirá los siguientes flujos de 
efectivo. 
 
Año 1 2 3 4 5 
FEN -2.750 18.000 21.000 25.000 14.000 
 
Si se espera una tasa de rendimiento sobre la inversión del 20% TEA, determine la 
conveniencia de comprar dicho activo. 
 
10.4. Indicadores de Rentabilidad: 
 
10.4.1. Tasa Interna de Retorno (TIR): Es aquella tasa para la cual el VAN de un flujo de 
efectivo es igual a cero. También se define como la máxima tasa de rendimiento que se 
puede obtener una determinada inversión. 
 El valor de la TIR es independiente de la tasa de rendimiento fijada por el 
inversionista, sólo depende del flujo que se está considerando (es un valor 
característico del flujo). 
 Para calcular la TIR se puede utilizar una hoja de cálculo o en forma manual mediante 
tanteo y aplicación del método de interpolación lineal. 
 
10.4.1.1. Ejercicios 
 
1. Calcular la TIR del siguiente flujo si el COK = 17,45 % anual 
 
Años 0 1 2 3 4 
FEN -20.115 8.700 8.700 8.700 8.700 
 
2. Sean los siguientes flujos anuales esperados de los siguientes proyectos mutuamente 
excluyentes. 
 
Años 0 1 2 3 4 5 
Proy. A - 7.900 1.688 2.230 3.150 4.290 5.350 
Proy. B - 9.890 3.100 3.100 3.100 8.000 5.417 
 29 
a) ¿Cuál recomendaría si el rendimiento requerido es 19%? 
b) Calcular la TIR de cada proyecto. 
 
3. Una empresa dedicada a la fabricación de muebles y equipos para bancos ha estimado los 
flujos de efectivo neto para los seis años de vida de dos proyectos, X y Y. Estos flujos se 
resumen a continuación: 
 
 Proyecto X Proyecto Y 
Inversión Inicial US$ 41.000 US$ 23.000 
Año Entradas de Efectivo 
1 10.800 6.500 
2 10.800 6.500 
3 14.500 8.500 
4 14.500 8.500 
5 18.000 9.500 
6 18.000 9.500 
a) Halle el VAN de cada uno de los proyectos, para un COK = 22% 
b) Halle la TIR de cada proyecto. 
 
4. Sean los siguientes flujos anuales esperados de los siguientes proyectos mutuamente 
excluyentes. 
 
 Años 0 1 2 3 4 5 
Proy. A - 7.500 1.250 2.250 3.250 4.250 5.250 
Proy. B - 9.500 3.200 3.200 3.200 3.200 3.200 
a) Cuál recomendaría si el rendimiento requerido es 18 % 
b) Calcular la TIR de cada proyecto. 
 
5. Una empresa ha estimado los flujos de efectivo para los cinco años de vida de dos 
proyectos, A y B. Estos flujos se resumen a continuación: 
 
 Proyecto A Proyecto B 
Inversión Inicial US$ 38.000 US$ 15.000 
Año Entradas de Efectivo 
1 8.000 4.950 
2 12.000 4.950 
3 14.000 4.900 
4 16.000 4.900 
5 12.000 4.900 
Halle la TIR de cada uno de los proyectos para un COK = 20% 
 
10.5. Relación Beneficio - Costo (B/C): El método de análisis B/C se basa en la relación entre 
los costos y beneficios asociados con un proyecto particular. El primer paso es 
determinar cuáles elementos son beneficios y cuáles son costos. En general, los 
beneficios son ventajas, expresadas en términos monetarios, que recibe el propietario. 
Los costos son los gastos anticipados de construcción, operación, mantenimiento, etc. 
 30 
 La relación Beneficio/costo esta representada por la relación: 
Costos
Ingresos
 
 
 Donde los Ingresos y los Costos deben ser calculados utilizando el VAN o el VAC 
(valor actual de costos). 
 El análisis de la relación B/C, toma valores mayores, menores o iguales a 1, lo que 
implica que: 
 B/C > 1 implica que los ingresos son mayores que los costos, por lo tanto, el proyecto 
es aconsejable. 
 B/C = 1 implica que los ingresos son iguales que los costos, por lo tanto, el proyecto 
es indiferente. 
 B/C < 1 implica que los ingresos son menores que los costos, por lo tanto, el proyecto 
no es aconsejable. 
10.5.1. Ejercicios 
 
1. Una empresa de confecciones para ampliar su negocio ha solicitado un crédito a un Banco 
local por S/.30.000 para ser cancelado a 5 años a una TEA del 15% y estima tener el siguiente 
flujo de inversiones, ingresos por ventas y costos de operación. 
Calcular el resultado de la inversión utilizando el criterio B/C, e interprete el resultado. 
 
Año Inversión Ingresos Costos 
0 30.000 
1 25.000 15.000 
2 30.000 18.000 
3 35.000 21.000 
4 35.000 21.000 
5 35.000 21.000 
 
10.6. Periodo de Recuperación de Capital (Payback): Se define como el número de años que 
se requiere para que las entradas de efectivo de una inversión recuperen las salidas de 
efectivo de esa inversión y evalúa si es económicamente conveniente. 
 
 Para calcular el periodo de recuperación simplemente se cuenta el número de años que 
toma a las entradas de efectivo proyectadas igualar a las salidas de efectivo proyectadas. 
 
10.6.1. Ejercicios 
1. Supóngase que se tienen dos proyectos que requieren un mismo valor de inversión inicial 
equivalente a S/. 1.000. El proyecto (A) presenta los siguientes FEN (datos en miles): 
 
 
 31 
 
 
 
2. Se tiene los siguientes flujos de 2 proyectos se pide determinar cuál es el que conviene por 
el criterio del VAN y B/C, si el COK = 20% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sesión 18 
 
EXAMEN FINAL 
 
Años 0 1 2 3 4 5 
Proyecto A -1.000 200 300 300 200 500 
Proyecto B -1.000 600 300 300 200 500 
Año 0 1 2 3 4 
Ingresos -25.000 7.000 7.000 8.500 8.500 
Inversión/co
stos 
-30.000 9.000 12.000 15.000 16.000