Si 1^x=2, ¿cuánto es x?

No existe valor real de xx que cumpla esa ecuación.

Supongamos que existe una solución a la ecuación

1x=21x=2

Llamemos a esa solución como x0x0 , entonces podemos aplicar logaritmo a ambos lados de la ecuación y se tiene que

log(1x0)=log(2)⟹x0log(1)=log(2)log(1x0)=log(2)⟹x0log(1)=log(2)

Pero com log(1)=0log(1)=0 entonces se tiene que

x0(0)=log(2)⟹0=log(2)x0(0)=log(2)⟹0=log(2) , esto es una contradicción, por lo que nuestra suposición inicial es incorrecta y por lo tanto no existe una solución real a la ecuación 1x=21x=2 .

Corrección 1: En mi búsqueda de ser lo más general posible cometí un error y afirmé que esta ecuación no tenía solución compleja, por el simple hecho de que olvidé que el logaritmo complejo no da una única respuesta.

El logaritmo de un número complejo zz está definido como

log(z)=ln∣z∣+i(θ+2πk)log(z)=ln∣z∣+i(θ+2πk) , donde k=0,±1,±2,...k=0,±1,±2,...

Entonces, de la ecuación 1z=21z=2 obtenemos que en la parte de zlog(1)=ln(2)zlog(1)=ln(2) podemos pasar dividiendo el logaritmo de 1, pues log(1)=ln(1)+i(0+2πk)=2πkilog(1)=ln(1)+i(0+2πk)=2πki , lo que nos lleva a que

z=ln(2)log(1)=ln(2)2πki=−iln(2)2πkz=ln(2)log(1)=ln(2)2πki=−iln(2)2πk , donde kk es un entero distinto de 00 .

Por lo tanto, la respuesta correcta es que la ecuación 1x=21x=2 no tiene solución real pero sí tiene solución compleja*(véase la corrección 2), con x=−iln(2)2πkx=−iln(2)2πk , k≠0k≠0 y k∈Zk∈Z

Corrección 2: De nuevo olvidé que la exponenciación compleja no da una única respuesta (perdón matemáticos del mundo).

El exponente cc complejo de un número complejo zz está definido como

zc=eclog(z)zc=eclog(z)

Como remarqué en la corrección 1, el logaritmo complejo da varios resultados (conocidos como las ramas del logaritmo) por lo que la exponenciación también dará varios resultados. Así que la respuesta x=−iln(2)2πkx=−iln(2)2πk , k≠0k≠0 y k∈Zk∈Z solo es una solución aparente, pues 1x1x será igual a 22 solo para uno de los infinitos resultados de 1x1x . Por ejemplo, tomemos x=−iln(2)2πx=−iln(2)2π

⟹1x=exlog(1)=e−iln(2)2π(i2πk′)=ek′ln(2)=2k′⟹1x=exlog(1)=e−iln(2)2π(i2πk′)=ek′ln(2)=2k′

Como se puede ver, esta "solución" solo es válida para el valor k′=1k′=1 . Lo interesante de esto es que para cualquier xx complejo, 11 siempre es uno de los resultados de 1x1x , pero no hay que olvidar que no es el único. Moraleja: Usen los complejos con cuidado.