Si 1+4=5, 2+5=12 y 3+6=21, ¿cuál es el valor de 5+8?

Voy a dar una respuesta muy crítica a la pregunta, lo que debe entenderse como un intento de reflejar que las matemáticas son muy rigurosas en la manera de expresarse y todo en ellas tiene un significado muy claro, único y bien definido, no como una crítica a escribir de esa manera el enunciado de un ejercicio de manera que aparezca más atractivo para la mayoría de la gente.

El signo "+" como operación binaria en el conjunto de los números complejos (de los cuales los números naturales son un subconjunto) tiene un significado muy concreto. Con ese significado, no se cumplen la segunda ni la tercera igualdades, por lo que el antecedente del condicional es falso, así que el consecuente puede tener cualquier valor (Tabla de verdad - Wikipedia, la enciclopedia libre).

Por eso, si se quiere señalar que es una operación binaria que queremos hallar, deberíamos denominarla con un símbolo que no se use con otro significado fijo. Podría valer una letra, como s, por ejemplo (con lo que quedaría "1s4=5" y así todo lo demás), aunque es preferible resaltar que es una función de N2N2 en NN (por ejemplo, f(1,4)=5 y así todo lo demás).

En principio, existe una cantidad infinita de funciones de N2N2 en NN que cumplen las 3 igualdades del enunciado, así que no hay un valor único asociado a f(5,8). Sin embargo, la mayoría de la gente tiende a pensar en la solución que sea más intuitiva. En este caso, como aparece un símbolo de suma, es razonable pensar que las operaciones que se realicen sean solo operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y división) con factores y sumandos naturales. Como una operación tan sencilla como multiplicar el primer por el segundo término y sumarle el primero cumple las 3 igualdades del enunciado, podemos suponer que ese es el significado de esta operación inventada o de esta función de N2N2 en N,N, con lo que tendremos que:

"5+8"=5s8=f(5,8)=5*8+5=45.

Edito la respuesta para hacer dos comentarios. Uno de ellos es una observación que habéis mencionado algunos en las respuestas: todos los casos del ejercicio con "x+y""x+y" cumplen y=x+3,y=x+3, por lo que la operación binaria se puede definir solamente utilizando el valor del término que está a un lado del signo "+","+", quedando así como una función de una variable, aunque las operaciones binarias en general dependen de dos variables. Así, podemos escribir:

"x+y"=f(x,y)=xy+x=x(x+3)+x=x(x+4)=x2+4x=g(x),"x+y"=f(x,y)=xy+x=x(x+3)+x=x(x+4)=x2+4x=g(x),

donde g(x)g(x) es una función que no depende de "y"."y".

Otro comentario tiene que ver con una manera alternativa de resolver el ejercicio suponiendo que la operación binaria "+""+" no es una función, sino que el resultado se obtiene mediante la aplicación de otra regla. Antes de editar la respuesta he supuesto que "+""+" es una operación binaria, en este caso "x+y"=f(x,y),"x+y"=f(x,y), que solo puede depender de "x""x" y de "y","y", pero no de los resultados de las operaciones anteriores.

Si pudiera depender de los resultados anteriores, la regla que parece seguir sería más fácil si cabe: a cada suma hay que sumarle el resultado de la suma anterior. Como la primera suma no tiene una suma anterior, se toma 0 como "resultado de la suma anterior". Esta regla, sin embargo, no constituye una operación binaria o una función de N2N2 en N.N.

Además, si suponemos que se cumple esta regla, caben dos aplicaciones razonables para resolver el ejercicio. Una sería suponer que la operación anterior a la que se pregunta ("5+8") es la última del enunciado ("3+6"=21). Bajo esta suposición, tendríamos que:

"5+8"=21+5+8=34.

La otra suposición se basa en la observación de que los primeros términos de las sumas son los números naturales en orden creciente de 1 en 1, por lo que, antes de resolver la pregunta que nos piden, debemos resolver la que tiene como primer término un 4 (teniendo en cuenta que siempre el segundo término es 3 unidades mayor que el primero):

"4+7"=21+4+7=32.

Finalmente, según esta suposición:

"5+8"=32+5+8=45,

que es el mismo resultado que habíamos visto al interpretar la operación "+""+" como binaria. Sin embargo, el hecho de que obtengamos el mismo resultado es algo que ocurre en este caso particular de función f(x,y)f(x,y) y de regla, pero que no puede generalizarse. Lo interesante que tiene esta regla bajo esta última suposición es que se puede interpretar como una sucesión an,an, teniendo en cuenta lo que he comentado antes de que siempre tenemos y=x+3,y=x+3, por lo que nos podemos olvidar de la y.y. Entonces tendríamos:

a0=0,a0=0,

a1="1+4"=a0+1+4=5=1∗(1+4)=5=f(1,4)=g(1),a1="1+4"=a0+1+4=5=1∗(1+4)=5=f(1,4)=g(1),

a2="2+5"=a1+2+5=12=2∗(2+4)=f(2,5)=g(2),a2="2+5"=a1+2+5=12=2∗(2+4)=f(2,5)=g(2),

a3="3+6"=a2+3+6=21=3∗(3+4)=f(3,6)=g(3),a3="3+6"=a2+3+6=21=3∗(3+4)=f(3,6)=g(3),

a4="4+7"=a3+4+7=32=4∗(4+4)=f(4,7)=g(4).a4="4+7"=a3+4+7=32=4∗(4+4)=f(4,7)=g(4).

Finalmente:

a5="5+8"=a4+5+8=45=5∗(5+4)=f(5,8)=g(5).a5="5+8"=a4+5+8=45=5∗(5+4)=f(5,8)=g(5).

Los términos de una sucesión sí que pueden depender del resultado de los otros términos (en particular, del término anterior) de la sucesión. El problema con la interpretación del ejercicio como una sucesión es que el enunciado se muestra como operaciones binarias, así que la interpretación más razonable es que sean funciones de dos variables como el ejemplo que puse antes de editar.