¿Por qué no funciona sacar la raíz cuadrada de ambos lados de una ecuación y sigue siendo igual?

Si funcionara eso de extraer la raíz cuadrada de los dos miembros de una ecuación y que siga siendo equivalente, tendrías, por ejemplo:

(x + 1)² = (x - 5)² → x + 1 = x - 5 → pasas las x al segundo miembro y los números al primero → 6 = 0.

Esto se debe a que has puesto en un miembro solo un valor de la raíz cuadrada, que tiene en realidad dos valores posibles, y lo has igualado a un valor de la raíz cuadrada en el segundo miembro, que también tenía dos valores posibles.

Lo que sí vale es tomar un solo valor en un miembro y los dos valores posibles en el segundo → x + 1 = ± (x - 5) , luego la ecuación inicial es equivalente a estas dos:

x + 1 = x - 5 ; x + 1 = - (x - 5) ; la primera no da ninguna solución, en este caso concreto, en otros sí puede ser que ambas tengan soluciones.

La segunda da x + 1 = - (x - 5) → x + 1 = - x + 5 → 2x = 4 → x = 2.

En general, si A² = B² → A² - B² = 0 → (A + B) (A - B) = 0 →

→ un producto de dos factores es cero cuando lo es uno de ellos y solo en ese caso; así, o bien

A + B = 0 o bien A - B = 0 → o bien A = B o bien A = - B y recíprocamente, o sea, si A = B o bien A = - B → A² = B².

Lo mismo si siendo m entero, m > 1, es Aᵐ = Bᵐ ; si extraes la raíz m -ésima de ambos miembros pierdes soluciones, al escribir solo A = B, porque

Aᵐ = Bᵐ → Aᵐ - Bᵐ = 0 → (A - B) (Aᵐ⁻¹ + B Aᵐ⁻² + B² Aᵐ⁻³ +…+ Bᵐ⁻1) = 0, luego

o bien es A - B = 0 → A = B,

o bien es Aᵐ⁻¹ + B Aᵐ⁻² + B² Aᵐ⁻³ +…+ Bᵐ⁻1 = 0.

La extracción de raíces de cualquier índice (por supuesto, incluyendo el caso en que sean cuadradas) en los dos miembros de una ecuación debe efectuarse con cuidado, porque si solo tomas un valor de cada raíz se pierden soluciones.

Y no se pierde ninguna solución si tomas un valor de la raíz m-ésima en el primer miembro y todos los posibles valores de la raíz m-ésima en el segundo, o viceversa.

Con las potencias sucede al revés: si tengo x + 1 = 2x -5 solo hay una solución: x = 6 ; pero si elevo ambos miembros al cuadrado,

(x + 1)² = (2x -5)² ahora además de la solución x = 6 aparece otra: x = 4/3.

Y lo mismo pasa si elevas ambos miembros a otro exponente entero positivo cualquiera.