¿Qué es el número áureo?

La sucesión de números enteros de Fibonacci (Leonardo de Pisa) es:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …

El rasgo que define esta secuencia es que cada término es la suma de los dos anteriores.

Así, 8 = 5 + 3, 13 = 8 + 5 … 2584 = 1587 + 987. Sólo hay que empezar por los dos primeros números (1 y 1) y así se puede generar el resto de la sucesión en el acto.

La fórmula de recurrencia para hallar cualquier término es la siguiente:

La secuencia de Fibonacci se encuentra en la naturaleza en el número de espirales que se forman a partir del número de semillas de los girasoles, y en las proporciones de habitaciones y edificios diseñados por los arquitectos.

Fibonacci planteo el siguiente problema de generación de conejos:

≪Parejas de conejos adultos generan parejas de conejos jóvenes cada mes. Al principio del año hay una pareja de conejos jóvenes. Al final del primer mes ya serán adultos, al final del segundo mes la pareja adulta sigue allí y ya habrá generado una pareja de conejos jóvenes. El proceso de desarrollo hasta la edad adulta y de generación continúa. Milagrosamente ninguna de las parejas de conejos muere.≫

Fibonacci quería saber cuántas parejas de conejos habría al final del año. Las generaciones se pueden mostrar en un árbol familiar. Examinemos el número de parejas que hay al final de mayo. Vemos que es 8.

En este estrato del árbol, el grupo de la izquierda:

Es una copia de toda la fila superior.

Y el grupo de la derecha:

Es una copia de la fila que está arriba de esa fila.

Esto demuestra que el nacimiento de parejas de conejos sigue la ecuación básica de Fibonacci:

Número después de n meses = número después del mes (n – 1) + número después de (n – 2) meses.

Veamos qué pasa si sumamos los términos de la secuencia:

1 + 1 = 2

1 + 1 + 2 = 4

1 + 1 + 2 + 3 = 7

1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 = 20

1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 = 33

El resultado de cada una de estas sumas formará también una secuencia, que podemos colocar debajo de la ecuación original, pero corrida:

Fibonacci: 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 …

Suma: 2 4 7 12 20 33 54 88 …

La suma de n términos de la secuencia de Fibonacci resulta ser 1 menos que el número posterior al siguiente número de Fibonacci. Si queremos conocer la solución de la suma de 1 + 1 + 2 + … + 987, simplemente sustraemos 1 de 2.584 para obtener 2.583.

Si los números se suman de forma alternada saltándonos términos, como 1 + 2 + 5 + 13 + 34, obtenemos la solución 55, que es un número de Fibonacci. Si tomamos la otra alternancia, como 1 + 3 + 8 + 21 + 55, la solución es 88, que es un número de Fibonacci menos 1.

Los cuadrados de Fibonacci también son interesantes. Obtenemos una nueva secuencia multiplicando cada número de Fibonacci por sí mismo y sumándolos.

Fibonacci 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 …

Cuadrados 1 1 4 9 25 64 169 441 1156 3025 …

Suma de cuadrados 1 2 6 15 40 104 273 714 1870 4895 …

Sumar todos los cuadrados hasta el nesimo miembro es lo mismo que multiplicar el nesimo miembro de la sucesión original de Fibonacci por el siguiente a éste. Por ejemplo:

1 + 1 + 4 + 9 + 25 + 64 + 169 = 273 = 13 x 21

Los números de Fibonacci también aparecen cuando menos te lo esperas. Imaginemos que tenemos un monedero que contiene monedas de 1 y 2 euros. Queremos contar el número de maneras en las que se pueden coger las monedas, para constituir una determinada cantidad. Aquí el orden de las acciones es importante. El valor de 4 euros, al sacar las monedas, puede constituirse de cualquiera de las siguientes formas:

1 + 1 + 1 + 1; 2 + 1 + 1; 1 + 2 + 1; 1 + 1 + 2; 2 + 2. Es decir, hay cinco formas y esto se corresponde con el 5º número de Fibonacci. Si sacamos 20 euros, habrá 6765 maneras de sacar las monedas de 1 y 2 euros, lo que se corresponde con el número 21 de Fibonacci.

La proporción áurea

Si examinamos el cociente de los términos formados a partir de la sucesión de Fibonacci dividiendo un término por el término que le precede, descubrimos otra notable propiedad de los números de Fibonacci. Lo haremos con unos cuantos términos:

1 , 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55.

Muy pronto los cocientes se aproximan a un valor conocido como la proporción áurea, conocido por la letra Φ y tiene el valor exacto

Y esto se aproxima al decimal 1.618033988 … Cada número de Fibonacci lo podemos escribir en términos de Φ

Rectángulos áureos

Estamos rodeados de rectángulos: edificios, fotografías, ventanas, puertas, un libro.

Papel matemático: si cogemos una hoja de papel A4 (210 mm x 297 mm), la razón será 297/210, que es aproximadamente 1.4142. Para cualquier papel tamaño A cuyo lado corto sea igual a b, el lado más largo será siempre 1.4142 x b. Así, para A4, b = 210 mm, mientras que para A5, b = 148 mm.

Si una hoja de papel A se pliega por la mitad, los dos rectángulos más pequeños que se forman están directamente en proporción al rectángulo más grande. Así una hoja A4 plegada genera dos hojas A5. Una hoja A3 está compuesta por dos hojas A4. Cuanto más pequeño sea el número del tamaño A, mayor es la hoja de papel.

Bien, pues todo esto se puede lograr con el número Φ

Pleguemos un rectángulo cualquiera. Si consideramos que la anchura es 1 y escribimos la longitud del lado más largo como x, la razón de longitud a anchura es x/1. Si plegamos el rectángulo, la razón del rectángulo más pequeño es 1/(1/2)x, que es lo mismo que 2/x.

La cuestión en los tamaños A es que nuestras dos razones tienen que representar la misma proporción, de modo que obtenemos una ecuación x/1 = 2/x o x^2 = 2. El verdadero valor de x es, por tanto,

Como esto tenemos el rectángulo áureo, muy utilizado por pintores y arquitectos, y el súper áureo.

A todo esto se le conoce como áureo o las proporciones divinas.