¿Qué es el número 1? ¿Es primo?

El número 1 es el elemento neutro de la multiplicación. En teoría de grupos es el nombre que se suele dar al elemento neutro de un grupo.

Y no es primo, el primer primo es el 2. Eso es una convención que sirve para que cualquier número se pueda factorizar de manera única como producto de primos, el cual es un teorema fundamental. Si el 1 fuera primo no habría una forma única ya que se podría usar con cualquier exponente 1^1 ó 1^2 ó 1^3,… para cualquier factorización.

Los que te dicen que el 1 es primo es que no han estudiado matemáticas hasta el nivel donde se desmiente.