¿Qué es la ley de cosenos?

¿Qué es la ley de cosenos?

Antes de responder la pregunta, quisiera aclarar lo siguiente...

He visto que en la mayor parte de países sudamericanos de idioma español, denominan ley de (los) senos y ley de (los) cosenos a lo que en España se conoce de toda la vida como teorema del seno y teorema del coseno.

Como de lo que se trata es de entenderse, como bien dice algún forero con mejor talante que yo para aceptar la diversidad (sí, lo siento, en algunas cosas me reconozco como algo reaccionario y el tema de la ortografía y el de los nombres de las cosas me puede y soy algo talibán al respecto), aceptaremos barco como animal acuático y voy a explicar qué se entiende por ley de cosenos, aunque ese nombre me dé retortijones de barriga...

La ley de cosenos es un teorema de trigonometría que relaciona la longitud de tres lados de un triángulo cualquiera con el valor del coseno de uno de sus ángulos interiores. Si partimos de un triángulo ABCABC cualquiera, donde convenimos llamar con las letras aa, bb y cc a los lados opuestos a los vértices AA, BB y CC, respectivamente, como se muestra en el siguiente dibujo:

entonces, la ley de cosenos nos dice que el cuadrado de un lado cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble del producto de dichos lados por el coseno del ángulo opuesto al primero. Podríamos interpretar este teorema como una generalización a triángulos de cualquier tipo del teorema de Pitágoras que, como sabemos, sólo es aplicable a triángulos rectángulos.

En términos de la nomenclatura usada en el dibujo anterior, la ley de cosenos se puede formular según cualquiera de las siguientes tres expresiones:

a2=b2+c2–2⋅b⋅c⋅cosA^a2=b2+c2–2⋅b⋅c⋅cosA^,

b2=a2+c2–2⋅a⋅c⋅cosB^b2=a2+c2–2⋅a⋅c⋅cosB^, o bien:

c2=a2+b2–2⋅a⋅b⋅cosC^c2=a2+b2–2⋅a⋅b⋅cosC^.

El conjunto formado por el teorema del seno, la propiedad de que, en un espacio euclídeo, la suma de los ángulos interiores de cualquier triangulo es 180º y la ley de cosenos nos permite resolver cualquier triángulo, sea éste rectángulo o no, con la única condición de disponer de un mínimo de tres datos, uno de los cuales, necesariamente, ha de ser la longitud de un lado.

La demostración del teorema es bastante sencilla y es asequible a alumnos de enseñanza secundaria con un conocimiento previo del teorema de Pitágoras y de las definiciones de las razones trigonométricas seno y coseno.

Consideremos la altura hAhA del triángulo ABCABC que pasa por el vértice AA. Como se muestra en el siguiente dibujo, dicha altura corta el lado aa en el punto PP dividiéndolo en dos segmentos de longitudes xx y a–xa–x.

El triángulo APBAPB es rectángulo en PP, de manera que podemos aplicar el teorema de Pitágoras a sus lados. En este caso, se obtiene que:

c2=x2+h2Ac2=x2+hA2.

Ahora bien, la altura hAhA también es un cateto del triángulo APCAPC, que es rectángulo en PP. Luego, aplicando a dicho triángulo el teorema de Pitágoras, se obtiene que:

b2=h2A+(a−x)2b2=hA2+(a−x)2.

Si restamos miembro a miembro las dos ecuaciones obtenidas, nos quedará lo siguiente:

c2−b2=(x2+h2A)−(h2A+(a−x)2)c2−b2=(x2+hA2)−(hA2+(a−x)2).

Desarrollamos el cuadrado, eliminamos los paréntesis y nos queda:

c2−b2=x2+h2A−h2A−a2−x2+2⋅a⋅xc2−b2=x2+hA2−hA2−a2−x2+2⋅a⋅x,

es decir, simplificando:

c2−b2=−a2+2⋅a⋅xc2−b2=−a2+2⋅a⋅x.

Ahora bien, si observamos el ángulo B^B^, es fácil ver que su coseno viene dado por la relación:

cosB^=xccosB^=xc,

de donde podemos obtener el valor del segmento xx despejándolo:

x=c⋅cos Bx=c⋅cos B.

Por lo tanto, sustituyendo este valor en la ecuación obtenida antes, tendremos que:

c2−b2=−a2+2⋅a⋅x⇒c2−b2=−a2+2⋅a⋅c⋅cosB^c2−b2=−a2+2⋅a⋅x⇒c2−b2=−a2+2⋅a⋅c⋅cosB^.

Aislando el valor de b2b2 se tiene que:

b2=a2+c2−2⋅a⋅c⋅cosB^b2=a2+c2−2⋅a⋅c⋅cosB^,

que es la fórmula de la ley de cosenos aplicada al lado bb del triángulo y su ángulo opuesto B^B^.

Usando un procedimiento similar para las alturas hBhB y hChC se obtienen las otras dos expresiones para la ley de cosenos, que hemos dado al principio, referidas en estos casos a los lados aa y cc del triángulo.