es la misma?

Con el fin de evitar malentendidos, reformulo la pregunta de este modo:

¿Porqué la cardinalidad de todos los conjuntos R ⁿ es la misma, donde R es la recta real y n es cualquier entero positivo?

Esto es cierto, afortunadamente, y se puede probar de muchas maneras, por ejemplo, ésta:

En principio, existe una biyección entre cualquier intervalo abierto y la recta real entera; por ejemplo, la función f: (-π/2, +π/2) →R, definida por f(x)= tg x es una biyección, como puede comprobarse fácilmente recordando que entre el primer y cuarto cuadrante la tangente es inyectiva, y el hecho de que existen los dos límites:

lím f(x) =-∞ cuando x → -π/2, así como lím f(x) =+∞ cuando x → +π/2, siendo f continua en todo su dominio, garantiza que f es suprayectiva (teorema de Bolzano), de modo que f es una biyección, cuya existencia prueba que un intervalo abierto cualquiera (hay una biyección lineal afín entre cualquier par de ellos) tiene el mismo cardinal de la recta real entera, el cardinal del continuo, Aleph 1.

Sea I=(-π/2, +π/2), de modo que I ⁿ es un n - cubo abierto, de dimensión n.

Ahora, definamos la aplicación φ: R ⁿ → I ⁿ por medio de la ecuación:

φ(x₁, x₂, …,xₙ) = ( f ⁻¹(x₁), f ⁻¹(x₂), …, f ⁻¹(xₙ) ).

Es obvio, por ser f y f ⁻¹ biyectivas, que φ define una biyección entre R ⁿ

y el n - cubo abierto de dimensión n, o sea, I ⁿ.

Quedará probado en general que R ᵐ y R ⁿ tienen el mismo cardinal, concretamente el cardinal del continuo, Aleph 1, si probamos que el n-cubo y la recta real tienen el mismo cardinal, por ser de equivalencia la relación "tener el mismo cardinal" (y por tanto, se cumplen las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva).

A partir de ahora, y por facilidad de cálculo, tomemos desde ahora en adelante I=(0,1), que desde luego tiene la misma cardinalidad que cualquier otro intervalo abierto, pero permite simplificar las fórmulas de las aplicaciones definidas sobre él como espacio pantalla.

Definamos ψ: I → I ⁿ de este modo:

Dado a € I, será a=0' a₁ a₂ …aₙ… donde las aⱼ son las cifras decimales, entre 0 y 9 ambas inclusive. Solo se excluye el caso en que a partir de cierto lugar sean todas las cifras iguales a 9, en el caso 0.999… porque el valor de ese número es 1, que no pertenece al intervalo abierto I = (0,1), y en todos los demás casos porque se elige, desde el principio, el valor decimal exacto, no periódico, forzando la cifra anterior.

Por ejemplo, no consideramos el decimal periódico 0.27499999…(periódico) sino 0.275000…, decimal exacto (o puede llamarse periódico, pero de período 0).

Ahora, dado cierto x € I, será x=0' x₁ x₂ …xₖ…, y definimos la imagen de x por ψ:

ψ(x) =(y₁, y₂, …yₙ) € I ⁿ, donde definimos, a su vez:

y₁ = 0' x₁ xₙ+₁ x₂ₙ+₁ x ₃ₙ+₁ …, es decir, escogemos las cifras decimales de x de lugares congruentes con 1 módulo n, o sea, los lugares 1, n+1, 2n+1, 3n+1…

y₂ = 0' x₂ xₙ+₂ x₂ₙ+₂ x ₃ₙ+₂ …, es decir, escogemos las cifras decimales de x de lugares congruentes con 2 módulo n, o sea, los lugares 2, n+2, 2n+2, 3n+2…,

y así sucesivamente hasta la última:

yₙ = 0' xₙ x₂ₙ x₃ₙ …, es decir, escogemos las cifras decimales de x de lugares congruentes con n módulo n, o sea, los lugares n, 2n, 3n…

Excepción:

Si alguno o algunos de los valores de yₖ (1≤k≤n) resultan, desde cierto orden decimal en adelante, iguales a 9 (periódico) definimos ese yₖ = 0.5.

Como ejemplo, si queremos aplicar (0,1) en (0,1)x(0,1)x(0,1) pondríamos, por ejemplo, para el valor arbitrario x = 0.320145701445687912…desgajando los decimales:

(0.317469…, 0.240481…, 0.051572…).

No es muy complicado asegurarse de que esta aplicación ψ: I → I ⁿ es suprayectiva; de hecho, dada una n-upla de valores (y₁, y₂, …yₙ) volviendo a colocar los decimales de las yⱼ por el procedimiento inverso, tomamos

x = 0' [1º decimal de y₁] [1º decimal de y₂]… [1º decimal de yₙ]

[2º decimal de y₁] [2º decimal de y₂]… [2º decimal de yₙ]

[3º decimal de y₁] [3º decimal de y₂]… [3º decimal de yₙ]…etc. hasta el infinito.

En el ejemplo numérico anterior, tomaríamos x=0.320 145 701…etc. tomando los primeros decimales, luego los segundos…etc.; y así recuperamos la x de la que se extrajo la terna

(0.317469…, 0.240481…, 0.051572…).

Pero si existe una aplicación suprayectiva de A→B, siendo A y B conjuntos no vacíos cualesquiera, entonces existe una aplicación inyectiva de B→A.

¡ATENCIÓN! Esta propiedad general es cierta y nada difícil de demostrar, pero la demostración ¡requiere aceptar el Axioma de Elección! - o cualquier axioma equivalente, como el de Zorn, por ejemplo- aunque es usual admitirlo en casi todas las formulaciones axiomáticas de la teoría de conjuntos. Los escasos constructivistas llevan mucho tiempo callados, porque no lo admiten, pero al menos, hoy en día sabemos que es consistente; en todo caso, a partir de Zermelo y de Zorn este axioma se ha utilizado como miembro de pleno derecho, salvo los intuicionistas o constructivistas, que ciertamente quedaron en minoría en la comunidad matemática internacional.

De modo que ahora, puesto que ψ: I → I ⁿ es suprayectiva, sabemos que existe una aplicación inyectiva g: I ⁿ → I .

Éste es el "precio" del axioma de elección: es existencial, afirma que algo "existe" pero no se indica en absoluto cómo construir ese objeto cuya existencia asegura "axiomáticamente".

También existe una aplicación inyectiva h: I → I ⁿ muy sencilla de definir:

Si x € I → h(x) = (x,x,x,…x) € I ⁿ. Es trivial que h es inyectiva.

Pues bien, el Teorema de Schröder - Bernstein afirma que:

si existe una inyección de A en B y otra inyección de B en A, entonces existe una biyección entre A y B; o, con otras palabras, A y B tienen el mismo cardinal.

De modo que el cardinal del intervalo abierto es igual que el del cuadrado

I² = (0,1)x(0,1) o el del cubo I³= (0,1)x(0,1)x(0,1), o en general, el cardinal del hiper-cubo o n-cubo, con n>3. Como también (0,1) es del mismo cardinal que R,

deducimos que existe una biyección entre I ⁿ y R, con n cualquier entero positivo, por lo cual existe también una biyección entre I ᵐ y R, siendo m cualquier entero positivo.

Demostración final:

Como hemos demostrado anteriormente, hay una cadena de biyecciones:

R ⁿ → I ⁿ → I → I ᵐ → R ᵐ, y además otra biyección I → R,

de lo que se deduce que existe una biyección entre R ᵐ y R ⁿ, y otra en cualquiera de ellos y R, teniendo ambos, por tanto, el mismo cardinal que R, es decir, existen las dos biyecciones:

R ᵐ → R ⁿ → R, teniendo los tres conjuntos el mismo cardinal, C.Q.D.