Tres aviones salen de un mismo aeropuerto. Un avión sale cada 12 días, otro cada 20 días y el restante cada 8 días. ¿Cada cuántos días volverán a...

Resolver directamente el problema es muy sencillo, porque los datos son números muy manejables, casi mentalmente, lo que simplifica mucho el cálculo.

Sería más complicada la obtención de la solución si, por ejemplo, los períodos fueran primos entre sí, con valores relativamente grandes, y los días de salida de cada uno no coincidiesen.

En el caso general, éste es un problema de solución de congruencias lineales simultáneas, que también se puede resolver mediante un sistema de ecuaciones diofánticas lineales; un problema del que se ocuparon los matemáticos chinos de la Antigüedad, en parte por su interés en las aplicaciones astronómicas de las ecuaciones diofánticas lineales, y de las congruencias, que están íntimamente relacionadas con ellas.

Hasta formularon y utilizaron el teorema chino del resto (Sun-tzu lo publica en su obra Sun-tzu Suan-ching, siglo III de nuestra era) para predecir eclipses de sol o de luna o coincidencias de cometas u otros astros, conocidos sus períodos; es decir, conocido el tiempo desde que son visibles para un observador en la Tierra hasta que vuelven a serlo, y conocido el último año en que se avistaron sobre el cielo.

Por ejemplo, uno de estos problemas podría ser del tipo:

El cometa A es visible desde la Tierra cada 83 años, el cometa B cada 79 años y el cometa C cada 97 años. A se vio por última vez en 1963, B se vio por última vez en 1974 y C se vio por última vez en 1986. ¿En qué año más próximo a 2020 se verán los tres cometas a la vez?

Evidentemente,

A se verá en los años N ≡1963 (mód. 83),

B se verá en los años N ≡1974 (mód. 79), y

C se verá en los años N ≡1986 (mód. 97).

Averiguar el menor valor del entero positivo valor de N que satisface estas tres congruencias equivale a resolver el sistema lineal diofántico:

N=1963+83x =1974+79y=1986+97z , aunque el teorema chino del resto es un buen atajo en el cálculo → en cualquier caso, la solución es:

N=53 008, año en el que se verán simultáneamente los tres cometas. Y la última vez que se vieron los tres desde la Tierra fue el año 583 021 antes de nuestra Era.

Sin embargo, aun siendo éste el contexto aritmético de la pregunta aquí planteada sobre los tres aviones, debido a la simplificación que supone la coincidencia de la salida de los tres el mismo día, el problema es mucho más sencillo de resolver ad hoc, sin emplear apenas conocimientos de la teoría de números, más que la divisibilidad:

Si el avión A sale hoy, y sale cada 12 días, se le verá a los 12 días, a los 24 días=(2*12), a los 36 días =(3*12), etc. y en general se le verá después de un nº de días múltiplo de 12.

Por la misma razón, el avión B saldrá en todos los múltiplos de 20 y el avión C en todos los múltiplos de 8, de manera que saldrán los tres en cada múltiplo común de 20, 12 y 8; y lo más pronto posible que saldrán es después de un nº de días que sea el mínimo común múltiplo de 20, 12 y 8:

MCM(20, 12, 8)=120 días.

SOLUCIÓN: Dentro de 120 días saldrán los tres aviones.

Obsérvese cómo un ejercicio matemático muy sencillo, que puede esperarse que resuelva cualquier alumno de secundaria, puede estar intrínsecamente relacionado con temas mucho más interesantes y profundos de alguna rama de las matemáticas: la teoría de números, en este caso; y cómo puede también estar conectado -de manera apasionante- con la historia de la matemática.