¿Podemos representar cada número irracional en una recta real? Si es así, ¿cómo representamos la raíz 7/3 o la raíz 5/3?

Tu pregunta está mal formulada, y déjame explicar por qué:

Parte 0: No hay restricciones.

Aquí tenemos la recta real, la única información que necesitas es la posición de dos números para determinar donde debe ir el resto de números: Por ejemplo, la distancia entre 00 y 0.50.5 debería ser igual a la distancia entre 0.50.5 y 11, y solo hay un punto en la recta que cumple esa condición:

Siguiendo esta idea, está claro que podemos representar a todos los enteros (la distancia entre 00 y 11 debería ser la misma distancia que entre nn y n+1n+1 para todo número nn).

Es claro que podemos alcanzar todas las fracciones siguiendo una lógica similar a cómo alcanzamos a 0.50.5.

Ahora, suponiendo que tengas un truco bueno para dividir la distancia base en los trozos que quieras, entonces puedes alcanzar todas las fracciones. ¡Genial! Pero… ¿Cómo alcanzaríamos números como ππ?

Estamos como que suponiendo mucho, ¿no?

Y así es como alcanzamos ππ.

Incluso podemos alcanzar otros números super estrella, como ee.

Así que si, podemos alcanzar todos los números reales si estás dispuesto a aceptar lo siguiente:

• Puedes dividir un segmento en todos los trozos que quieras. Así fue como alcanzamos las fracciones 1/n1/n.
• Puedes sumar tantos segmentos como quieras (una cantidad finita, para alcanzar las fracciones p/qp/q y una cantidad infinita para alcanzar los reales).

Bastante sencillo, ¿no? Si estás dispuesto a aceptar esas dos reglas sencillas entonces ya terminamos. Chaitou :3

Parte 1: ¿Cuáles son las reglas?

Volvamos al momento en el que decidí que esta distancia base fuera la distancia entre 00 y 11. Esa decisión fue algo arbitraria; puesto que no tenemos un sistema de unidades (px,m,km,ftpx,m,km,ft) podemos elegir nosotros cuanto debería ser esta distancia… Por ejemplo, esta podría ser la distancia entre los números ππ y ee:

Luego, podríamos construir la recta de los números reales utilizando este hecho:

Aquí construir los demás números es algo complicado… Si, por ejemplo, sumáramos esta distancia base dos veces, ¿Dónde deberíamos quedar?

Esto no es para nada obvio, pero resulta que quedamos en 2π−e2π−e.

De hecho, si seguimos sumando o restando esta distancia, podemos llegar a estos números:

Notarás cierto patrón en los números que estamos alcanzando con esta distancia base y puntos de inicio. Pero lo malo es que aquí no podemos alcanzar varios de los números que si nos importan, como 1,01,0, las fracciones, etc. A menos que utilicemos el truco de sumar infinitas de estas distancias base… Lo cual no suena muy atractivo tampoco…

Estamos cerca de responder la pregunta, lo prometo.

Parte 2: ¿"Distancia entre dos números"?

Vamos a atacar esta pregunta primero… ¿Qué queremos decir por la "distancia" entre dos números?

¿Qué tiene de especial esta máquina?

Siempre y cuando tengamos una máquina que cumpla estas condiciones, podemos hablar razonablemente de una "distancia entre números", y así podremos representarlos en una recta acorde a esa distancia. La máquina más común que se usa es la siguiente:

Nota: Esta no es la única forma de hablar de la "distancia entre dos números", ¿Puedes averiguar alguna otra forma? Si lo logras, intenta dibujar cómo se verían los números según esa distancia… ¿Siguen estando en una recta?

Si pensamos en la distancia como esta caja mágica, entonces para comenzar nuestro juego de dibujar los números en una recta real, debemos decidir dónde queremos empezar:

Lo más común es elegir tus puntos de inicio para que sean 00 y 11. Así la distancia base sería la distancia entre 00 y 11 (que, según la máquina que elegimos usar, esa distancia debería ser 11) y poder ubicar los números de una forma sencilla; pero esos no tiene que ser tus puntos de inicio.

Puntos de inicio: (0,1)(0,1)

Puntos de inicio: (e,π)(e,π)

La flecha de la recta real indica hacia donde crecen los números. El uno es más grande que el cero, y está a su derecha; eso nos indica que todos los números hacia la derecha de alguien son más grandes que ese alguien. También podrías dibujar la flecha hacia la izquierda si decides invertir los puntos de inicio:

Ambas son formas válidas de representar los números reales.

Desde este punto de vista, puedes representar cualquier número irracional que se te venga a la mente si decides utilizarlo como punto de inicio, junto con el 00, claro.

Claro que, representar números más "usados" como el 11 en esta recta puede ser complicado con esa distancia base.

Conclusión: Puedes representar los números que quieras en la recta real si los utilizas como puntos de inicio.

Pero esta respuesta, aunque correcta, puede que no sea a lo que querías referirte, así que terminemos con esto de una buena vez.

Parte final: Números construibles.

Esta fue la pregunta que se hizo el gran matemático Euclides.

Verás, el no tenía una regla, o un computador…

El solo tenía un borde recto (un palo como una recta pero sin las marcas) y un compás… Para la nueva generación, esto es un compás:

Y esto también:

Es un aparato que te permite dibujar un circulo del tamaño que necesites, y arcos de circulo. El si que trabajaba con una distancia base:

En este caso, diremos que podemos representar un número, si utilizando esta distancia base podemos construir otro segmento (otra línea, vamos) que tenga la longitud de ese número. Por ejemplo…

Pero recordemos que nuestro viejo amigo Euclides no tenía paint, el solo tenía un borde recto y un compás… En esencia, el solo podía lograr lo siguiente:

Veamos si el viejo Euclides podía construir los números de contar (los naturales, vamos).

Así que si, podemos construir todos los números de contar… ¿Qué hay de las fracciones 1/n1/n?

Así que con las reglas de Euclides de compás y borde recto podemos dibujar líneas paralelas, lo que nos permite dividir un trozo de recta en las partes que queramos. Usando este método[1] cambiando el segmento negro por la unidad podemos construir todas las fracciones de la forma 1/n1/n. Y como podemos sumar, eso nos permite alcanzar todas las fracciones. ¡Genial!

Fantástico, así que si podemos alcanzar los dos números en la pregunta, como podemos construir fracciones desde la unidad. Podemos hacer a=7/3a=7/3 y así construir un segmento que mida lo mismo que su raíz cuadrada.

Para terminar, al dibujar la recta de números reales, podemos colocar este número dibujando un circulo con centro en el 00 y cuyo radio sea el número que queremos ubicar.

¿Pero podemos construir todos los números irracionales usando las reglas de Euclides? Recordemos que para construir ππ, nosotros desenvolvimos el arco del círculo como si fuera una cuerda… Cosa que no puedo hacer ni en Paint, ni con compás y borde recto, la respuesta a eso es…

Qué esta pregunta ya es demasiado larga, así que me lo reservo para otra, gracias por leer hasta aquí, y Chaitou :3

Notas al pie