¿Me pueden ayudar con este ejercicio de identidades trigonométricas? Si se cumple que: 2*sin(x) *cos(x) = cos(x)-sen(x), calcule: tan(x) * [tan(x)...

¿Me pueden ayudar con este ejercicio de trigonometría? El tema en cuestión es de identidades trigonométricas. La pregunta va así: "Si se cumple que: 2*sin(x) *cos(x) = cos(x)-sen(x) , calcule: tan(x) * [tan(x) +1] + 2* [sin(x) + sec(x)] "

Es posible pensar, quizás, que haya algún atajo muy simple, pero en algunos casos, si lo hay, cuesta más encontrar el atajo que recorrer un largo camino…sin embargo, por fortuna, después de probar el largo camino que conduce a la solución de manera general, encontré el atajo.

Si el ejercicio es de secundaria o bachillerato, suponiendo que no haya ningún error en el enunciado, seguramente se le fue un poco de las manos a quien lo propuso. Porque más bien debiera ser un ejercicio de oposiciones a profesor de matemáticas de secundaria y bachillerato. En fin, resolvamos primero la ecuación trigonométrica, aparentemente inofensiva:

2sen x cos x = cos x - sen x (1); si fuera sen x = 0, sustituyendo en (1) sería también

cos x = 0, y mal podría ser cos² x+sen² x = 1 siendo ambos nulos…(!!). Por tanto, podemos establecer que sen x ≠ 0. Si fuera cos x =0, de nuevo vuelve a salir, sustituyendo en la ecuación (1), también sen x=0, y otra vez se choca con

cos² x+sen² x=1, igualdad de la que no deberíamos dudar…

De modo que en la ecuación (1) podemos afirmar que sen x ≠ 0 y cos x ≠ 0.

Estas precauciones son fundamentales para poder dividir ambos miembros de (1) por sen x cos x, obteniendo así:

2 = 1/sen x - 1/cos x (2); y ésta ecuación trigonométrica es más dura de resolver de lo que parece, si efectuamos el cambio de variable standard : tg (x/2)=t, de modo que:

sen x = 2 t/(1+t²) /// cos x = (1- t²)/(1+t²).

A pesar de todo se llega a una ecuación de cuarto grado resoluble algebraicamente por el método de Ferrari, operando exclusivamente con irracionales cuadráticos, gracias a que la ecuación cúbica resolvente admite una raíz racional. Pero todo esto puede eludirse con una "idea feliz": elevar al cuadrado ambos miembros de (2):

(1/sen x - 1/cos x )² = 4 → 1/sen² x + 1/cos² x -2/sen x cos x =4.

Multiplicando por sen² x cos² x → cos² x+sen² x-2 sen x cos x = 4sen² x cos² x.

Ahora, como cos² x+sen² x =1, queda: 4sen² x cos² x + 2 sen x cos x -1=0.

Hagamos el cambio de variable: y = 2sen x cos x , resulta:

y²+ y -1 = 0. Nuestra querida ecuación cuadrática, una de cuyas raíces es el inverso del número áureo:

y₁ = (-1+√5)/2

y₂ = (-1-√5)/2; pero | y₂ | >1, y no es admisible, puesto que debe ser en todo caso:

| y | =| 2sen x cos x | = | sen 2x | ≤ 1.

De manera que será: sen 2x = (-1+√5)/2 = 2 sen 18º.

Regresamos ahora al cálculo de la función que se pide:

f(x) = tan x * [tan x +1] + 2* (sin x + sec x) = tan² x+ tan x +2sen x+2 sec x →

f(x) cos x = sen² x / cos x + sen x + 2 sen x cos x + 2 =

= (1-cos² x)/cos x + sen x + 2 sen x cos x + 2 =sec x - cos x + sen x + 2 sen x cos x + 2

= [Recordando que la x ya calculada cumplía la ecuación 2sen x cos x = cos x - sen x]=

= sec x - cos x + sen x + cos x - sen x + 2= sec x +2.

Luego f(x)= (sec x +2)/cos x= sec x (sec x +2), donde sen 2x = 2 sen 18º, o bien,

sen 2x = (-1+√5)/2 ; por facilidad de notación, elegimos la primera forma:

sen 2x = 2 sen 18º → 2 sen x cos x = 2 sen 18º → sen x cos x = sen 18º .

Elevando al cuadrado: sen² x cos² x = sen² 18º → cos² x (1-cos² x) = sen² 18º →

cos⁴ x - cos² x +sen² 18º = 0 → [cos² x = z] → z²-z+sen² 18º=0.

z=1/2 ± √ (1/4 -sen² 18º) → cos² x= 1/2 ± √ (1/4 -sen² 18º) →

cos x = ± √ [ 1/2 ± √ (1/4 -sen² 18º) ] = [desdoblando el radical doble ] =

= ± { √ [1/4 +(1/2) sen 18º ] ± √ [1/4 - (1/2) sen 18º ] }, de donde

SOLUCIÓN:

sec x = ± 1 / { √ [1/4 +(1/2) sen 18º ] ± √ [1/4 - (1/2) sen 18º ] } (&) ;

o bien, con la unidad angular en radianes,

sec x = ± 1 / {√ [1/4 +(1/2) sen (π/10) ] ± √ [1/4 - (1/2) sen (π/10) ] } (&&)

Los cuatro valores del coseno, y por tanto de su recíproca, la secante, son válidos, si no se añaden más condiciones que las del enunciado; luego la expresión pedida es:

tan x * [tan x +1] + 2* (sin x + sec x) = sec x (sec x +2), donde sec x se sustituye por cualquiera de los cuatro valores válidos para sec x, indicados en (&) o (&&).