Si a×b=c y -a×-b=c, ¿no se cumpliría que +=-?

Creo que todo el mundo sabe que "+" no es lo mismo que "-", no siempre.
Y también es bastante conocida la primera afirmación:
"Siempre que (+A) × (+B) = +C se cumplirá (-A) × (-B) = +C"
Esto se cumple para muchos tipos de números (complejos, y por tanto, en todos los reales, los racionales y los enteros), así como otros objetos matemáticos: vectores, matrices, etc…

Como el autor de la pregunta debe conocer perfectamente (ya que es graduado en filosofía por la UAB), cuando a partir de hechos ciertos se llega a una conclusión equivocada debe ser que el razonamiento seguido para llegar a esa conclusión es un razonamiento incorrecto o inválido, que se suele denominar como falacia.

¿Qué tipo de falacia?

Del mismo modo que , tampoco puedo saber cómo él llegó a esa conclusión sin saber el razonamiento que usó. Aunque siendo estrictos no es siquiera una conclusión, sino una pregunta: "¿Podemos concluir esto?".
De todas formas, estas son algunas falacias comunes que se ajustan a este caso:

Falacia de afirmación del consecuente: [1]
Consiste en invertir el sentido de una implicación.
"Sabemos que si ocurre P, entonces siempre ocurre Q.
Por tanto, si ocurre Q siempre ocurre P"

(la conclusión después de "por tanto" es falaz)

En este caso:
P: +(x) = -(x)
Q: (+A) × (+B) = (-A) × (-B)

Es cierto que cuando ocurre P siempre ocurre Q
Pero es incorrecto deducir que siempre que ocurre Q ocurrirá P.

Falacia de generalización apresurada: [2]
"Se cumple que cambiar el signo u operación '+' por el signo u operación '-' en un caso, o un conjunto amplio (infinito) de casos, produce el mismo resultado…
luego, por tanto, se cumple siempre que hacer cualquiera de esas operaciones es lo mismo, producirá el mismo resultado: +(x) = -(x) para todo x"

¿Se ve que esa generalización no puede hacerse?
Lo correcto es que "hay casos" (Existe algún conjunto no vacío de situaciones) en los que cambiar los signos no varía el resultado.

Otro ejemplo parecido de razonamiento falaz sería:

" +0 = -0 → por tanto, la operación + es igual que la operación -" (Falso)

Es decir, razonar: "+0 = -0 → implica +(x) = -(x) para todo x" (incorrecto)

Así se podrían poner montones de ejemplos: "ayer vi 2 osos y eran blancos, hoy he visto 3 osos y también eran todos blancos → Por tanto, todos los osos son blancos". O, peor aún, "Decir EsBlanco(x) es lo mismo que EsOso(x) " (no hay otras cosas blancas que no sean osos).

Otro caso:
"P. Todos los perros son animales.
Q. Todos los gatos son animales.
Por tanto,
R. Todos los gatos son perros"
Aquí más que falacia podría ser una confusión léxica por la polisemia del verbo "ser" que a veces se usa para subconjuntos / categorías / cualidades y otras veces se usa para igualdad de conjuntos o equivalencia de conceptos.

P. Perros incluido en Animales.
Q. Gatos incluido en Animales.
R. Perros = Gatos (como conjuntos)
Si partes de P y Q, deducir R es incorrecto.

P. Perros es igual al conjunto Animales.
Q. Gatos es igual al conjunto Animales.
R. Perros = Gatos.
Aquí la deducción / razonamiento es correcto (no es una falacia), pero las premisas P y Q son incorrectas.

Falacia "Cum hoc ergo propter hoc" (con esto luego a causa de esto): [3]
Consiste en deducir causalidad (que una cosa causa otra) por el hecho de que ocurren juntas. También se dice deducir causalidad de una correlación y para evitar esta falacia se dice: "no, correlación no implica causalidad".

Es una falacia muy común, que ocurre con mucha frecuencia en prensa y en la vida diaria. Un caso que ocurrió: "los niños que tienen mejores notas tienen los pies más largos". Esto llevó a alguno a imaginar que quizá si se alargaba el pie sacaría mejores notas. Pero resulta que los que tienen pies más largos tienen mayor edad. Era una causa común: tener más edad causa pies más largos y causa mejores notas. Pero ni por estudiar más te crecen más los pies, ni por seleccionar a alumnos de pies largos de la misma edad vas a tener un conjunto con mejores notas. No hay causalidad directa ni inversa entre ambas cosas.

Aquí se cumple:
(-A) × (-B) = (+A) × (+B)

Y cuando A=X y B=Y siempre se cumple:
A × B = X × Y

La falacia es deducir que por el hecho de que

A × B = X × Y
y
A=X; B=Y

ocurren juntas muchas veces entonces se deduce erróneamente
que siempre que A × B = X × Y será a causa de que A=X; B=Y

¿Cómo podemos asegurar que dos aplicaciones o funciones son iguales?
Dos funciones f y g son iguales cuando tienen el mismo conjunto de pares (entrada, salida). Esto implica también que sus dominios son iguales y los codominios también, pero no basta con esto último, claro.
Ej: en este caso la función +(x) no es igual a la función -(x) porque aunque hay algún caso que +(0) = -(0), sin embargo, hay casos, de hecho todos los demás, en los que +(x) no es lo mismo que -(x) … los pares (x, -x) y (x, +x) no son iguales siempre.
+(x) es lo mismo que x
-(x) es el elemento opuesto, -x, que es aquel que cumple: x + (-x) = 0

Como la pregunta habla de una operación multiplicación y una operación o función -(x) que se suele usar para el elemento simétrico de la suma, el opuesto, podemos buscar estructuras algebraicas que tengan esas propiedades: dos leyes de composición interna (dos operaciones binarias: suma y multiplicación) y existencia de elemento neutro y simétrico.

Con dos operaciones tenemos: semianillo, anillo, semicuerpo y cuerpo.
Pero el semianillo y semicuerpo no exigen simétrico de la suma, no tendrían definido un -(x) para todo x, así que nos quedan el anillo y el cuerpo, que sí lo tienen. Por ejemplo, los polinomios tienen elemento opuesto pero no son cuerpos, no tienen inverso multiplicativo.
De las estructuras algebraicas típicas la mínima que podemos suponer con el enunciado de la pregunta es que se refiere a un anillo.
Dado que en todo anillo existe elemento opuesto (elemento simétrico de la operación suma) se cumplirá que la función -(x) es una función bien definida para todo x.
Pero se puede demostrar que en anillos muy comunes como los enteros o los polinomios x = -x solo se cumple para el 0. Todos los demás enteros o los demás polinomios no lo cumplen.

Otra idea relacionada es la idea de "involución".
La función +(x) = x es la función identidad.
El caso
-(-a) = a
es un caso particular de
f(f(x)) = x
Esto es lo que se llama una involución.
Esto se cumple en los casos que f(x) = x
(cuando la función f es la identidad)
Pero ¿siempre que ocurre eso implica que es la identidad??? ¡NO!

Por ejemplo, la función
f(x) = 1-x
también lo cumple.
f(f(x)) = f(1-x) = 1-(1-x) = 1–1+x = x

Y, en general cualquier función cuya gráfica sea simétrica respecto a la recta
y = x

¿Por qué?
La función que devuelve el origen a partir de la imagen se llama inversa.
g es inversa de f cuando g( f(x) ) = x
Es decir, g devuelve el origen x a partir de cada imagen de f, cada f(x)
Si los puntos (x, y) son puntos de la gráfica de f(x)
entonces los puntos de g(x) son (y, x) → dado un y devuelve un x.
Y eso es "cambiar la x por la y", es decir, intercambiar los ejes, girar 180º la gráfica respecto a y=x

Cuando ocurre f(f(x)) = x significa que f es inversa de sí misma, que es lo que se llama involución.

Esto ocurre con cualquier función que sea el elemento simétrico.
Sea una operación cualquiera: $
Si la operación "dólar" tiene elemento simétrico, sim(x), significa:
x $ sim(x) = N
donde N es el neutro.
Y en ese caso siempre el elemento sim(x) también tiene simétrico.
Existe un elemento sim(sim(x)) que cumple:

sim(sim(x)) $ sim(x) = N

¿Cuál? Pues no puede ser otro que x. Siempre sim(sim(x)) = x
Por tanto la función "elemento simétrico" SIEMPRE es una involución.

Ejemplo, cuando la operación es la multiplicación ( "·" ):
N = 1
a · sim(a) = 1
Cuando a no es 0 se cumple: sim(a) = 1/a

Por tanto, la función f(x)=1/x es inversa de sí misma.
f(f(x)) = f(1/x) = 1/(1/x) = x definida para todo x distinto de 0.

Eso es lo que ocurre con op(x) = -x para la operación suma.
El opuesto del opuesto de x, op( op(x) ) = x para todo x.

Pero eso no implica que la función opuesto, op(x) = -(x)
sea la misma función que la identidad : id(x) = +x
Son ejemplos diversos de involuciones.

En matrices las que son inversas de sí mismas cumplen:
A·A = I
No es raro que se las llame "matrices involutivas".
Un caso particular de matrices involutivas es A = -I
(-I)·(-I)=+I
Esta matriz dado un vector v devuelve su opuesto: -(v)
Pero no es el único caso diferente de la identidad I.
Por ejemplo, una matriz de permutación que intercambia dos coordenadas
(Vx, Vy) → (Vy, Vx)
[[ 0 1]
[1 0]]
también es involutiva.

Notas al pie