¿Por qué las funciones matemáticas se llaman así, funciones?

El amigo Leibniz parece que fue el primero en llamarlas así, por uno de los significados corrientes de la palabra "función", entre cuyas acepciones, una de las más empleadas es la que hace referencia a una tarea, o cometido. Por ejemplo, «¿Qué función realiza esta palanca?» o bien, «¿Cuál es la función que desempeñas en tu oficina?».

Por lo tanto, Leibniz entendía que una fórmula como, por ejemplo,

f(x)=Log x, cumple una "función" (en sentido del lenguaje corriente): la de transformar un número x en su logaritmo. Hoy en día diríamos igualmente: la "función" de esta tecla en la calculadora NN-64 es calcular la raíz cuadrada. O bien, tal o cual fórmula indica o representa, por ejemplo, la "función" de calcular el seno o el factorial, o el cuadrado de cualquier número dado (dentro del dominio en que está definida).

Así, la palabra "función" acabó empleándose, a partir de Leibniz, como un tecnicismo matemático más o menos equivalente a «fórmula», pero sin abarcar la definición general y precisa que tiene hoy día. La definición actual, tan clara y sin ataduras de ninguna clase, que empleamos ahora, costó mucho esfuerzo: no el de poner, sino el de quitar hipótesis superfluas que estaban innecesariamente sobreentendidas. Ahora nos basta que de algún modo la función asigne (de cualquier manera, incluso «caprichosa») a cada elemento del conjunto ORIGEN una y solo una imagen en el conjunto PANTALLA.

Pero en el siglo XVII, por ejemplo, la función de Dirichlet (cuya edad era entonces un número negativo cercano a -200): f(x)=1 si x es racional y f(x)=0 si x es irracional, no se consideraba como una verdadera "función", porque no se veía en ese tipo de funciones, según la terminología moderna, cuál es la receta de cocina, la "fórmula" matemática que operando sobre x la transforma en f(x). Por eso, que una función fuera continua en todo punto de su definición era casi una consecuencia obligatoria de la manera en que se definía. Para un pez lo más difícil de descubrir es el agua, y hubo que salir fuera del agua muchas veces para imaginar las funciones discontinuas en todo punto o continuas pero no derivables, etc. a lo que ayudó mucho la Geometría Analítica de Descartes, que convertía fórmulas en imágenes; un proceso que al tratar de invertirse, y preguntarse cómo averiguar a partir de cierta gráfica dibujada libremente, cuál era la fórmula que la generaba, dio lugar a las sucesivas extensiones del concepto de función.