¿Cómo puedo probar que si el mcd (a, b) = c entonces el mcd (a^2, b^2) = c^2?

Se me viene a la mente 3 formas:

1. Teorema fundamental de la aritmética. Sean:

a=pα11pα22…pαkka=p1α1p2α2…pkαk

b=pβ11pβ22…pβkkb=p1β1p2β2…pkβk

las factorizaciones canónicas de aa y bb , con αi,βi≥0,i=1,…,kαi,βi≥0,i=1,…,k . Entonces:

c=mcd(a,b)=pmin(α1,β1)1…pmin(αk,βk)k=∏ki=1pmin(αi,βi)ic=mcd(a,b)=p1min(α1,β1)…pkmin(αk,βk)=∏i=1kpimin(αi,βi)

donde pipi son los factores primos comunes a aa y bb elevados al mínimo exponente de αiαi y βiβi . Luego:

a2=a⋅a=(pα11pα22…pαkk)2=p2α11p2α22…p2αkka2=a⋅a=(p1α1p2α2…pkαk)2=p12α1p22α2…pk2αk

b2=b⋅b=(pβ11pβ22…pβkk)2=p2β11p2β22…p2βkkb2=b⋅b=(p1β1p2β2…pkβk)2=p12β1p22β2…pk2βk

con lo que:

mcd(a2,b2)=pmin(2α1,2β1)1…pmin(2αk,2βk)k=mcd(a2,b2)=p1min(2α1,2β1)…pkmin(2αk,2βk)=

∏i=1kp2⋅min(αi,βi)i=∏i=1k(p⋅min(αi,βi)i)2=c2,QED∏i=1kpi2⋅min(αi,βi)=∏i=1k(pi⋅min(αi,βi))2=c2,QED

2. Divisibilidad

Necesitamos de una propiedad básica del mcdmcd :

Simcd(a,b)=c⇒c|a⇒a=k1cSimcd(a,b)=c⇒c|a⇒a=k1c

Simcd(a,b)=c⇒c|b⇒b=k2cSimcd(a,b)=c⇒c|b⇒b=k2c

mcd(a,b)=c⇒mcd(ac,bc)=1⇒mcd(k1,k2)=1mcd(a,b)=c⇒mcd(ac,bc)=1⇒mcd(k1,k2)=1

Entonces:

a2=k21c2∧b2=k22c2a2=k12c2∧b2=k22c2

Podemos asumir que k21k12 y k22k22 son también primos relativos porque si existiera un primo pp tal que:

p|k21∧p|k22p|k12∧p|k22

entonces por las propiedades básicas de los números primos:

p|k1∧p|k2p|k1∧p|k2

lo que implica una contradicción porque k1k1 yk2k2 son primos relativos .

De aquí podemos concluir que:

c2=mcd(a2,b2)QEDc2=mcd(a2,b2)QED

3. Identidad de Bezout

Aunque esta misma demostración se puede hacer con el binomio al cuadrado pero implica demostrar algún paso intermedio por lo que me resulta más cómodo emplear el binomio al cubo. Aplicando esta identidad tenemos:

simcd(a,b)=c⇒ax+by=csimcd(a,b)=c⇒ax+by=c

Elevemos al cubo:

a3x3+3a2bx2y+3ab2xy2+b3y3=c3(1)(1)a3x3+3a2bx2y+3ab2xy2+b3y3=c3

Desde que c>0,c>0, c|ac|a y c|bc|b, podemos dividir (1) por cc y reordenando un poco podemos llegar a:

a2(acx3+3bcx2y)+b2(3acxy2+bcy3)=c2(2)(2)a2(acx3+3bcx2y)+b2(3acxy2+bcy3)=c2

Pero resulta que lo que está entre paréntesis en (2) pertenece claramente a ZZ podemos hacer el siguiente cambio de variable:

a2x′+b2y′=c2(3)(3)a2x′+b2y′=c2

Pero esto no es más que la identidad de Bezout nuevamente, luego:

mcd(a2,b2)=c2QEDmcd(a2,b2)=c2QED

En fin, espero que con alguna de estas tres te valga.

Un saludo