¿Pero podrías resolverla tú? [es de dificultad media diría, con un poco de artimética modular elemental sale rápido]

Bueno, yo no sé cuál será el truco con aritmética modular, pero tomando residuos módulo 33 se obtiene que

x2=2ymod3.x2=2ymod3.

El lado derecho es 11 o 22 módulo 33, y el izquierdo es 00 o 11. Para que se verifique la igualdad, tiene que ser x=1,2x=1,2 módulo 33, y a su vez 2y=12y=1, lo que obliga a que yy sea par.

Esto es buenísima noticia, ya que entonces y/2y/2 es entero y podemos escribir

615=(2y/2)2−x2=(2y/2+x)(2y/2−x)615=(2y/2)2−x2=(2y/2+x)(2y/2−x)

sin salirnos nunca de los enteros. Hemos factorizado, pues, 615615. Basta encontrar valores de xx e yy que hagan efectiva esa factorización, y eso puede hacerse ensayando todas las posibilidades. Que no son muchas, ya que 615615 tiene la convenientísima factorización

615=3⋅5⋅41.615=3⋅5⋅41.

Quedémonos por ahora con las soluciones no negativas y supongamos que 615=ab615=ab con a>ba>b. Entonces a=2y/2+xa=2y/2+x y b=2y/2−xb=2y/2−x. Por tanto, a+b=2y/2+1a+b=2y/2+1. Así pues, una condición necesaria para que xx e yy den una solución de la ecuación es que a+ba+b sea una potencia de dos. Veamos entonces las maneras de multiplicar dos enteros no negativos para obtener 615615:

• a=615a=615, b=1b=1. Éste no sirve, ya que a+b=616a+b=616 no es potencia de 22.
• a=205a=205, b=3b=3. Éste tampoco sirve, ya que a+b=208a+b=208 no es potencia de 22.
• a=123a=123, b=5b=5. ¡Hurra! Ahora a+b=128=27a+b=128=27. Tenemos candidatos: y=12y=12, x=59x=59. (Como lo han comprobado los autores de las demás respuestas, estos valores son efectivamente una solución).
• Por si acaso, ensayamos la última combinación posible: a=41a=41, b=15b=15. Ahora a+b=56a+b=56 y tampoco se obtiene una potencia de 22.

Así pues, en los enteros no negativos la única solución es x=59x=59, y=12y=12. A eso se le puede agregar la solución con x=−59x=−59 ya que al cambiar el signo de xx el valor de la expresión no se altera. Y ésas son todas las soluciones.