¿Por qué se creó la topología?

La pregunta es muy interesante. Voy a intentar dar una introducción al tema algo alejada de lo habitual…

El matemático Félix Klein definió la geometría como el estudio de los invariantes por transformaciones. Esto merece una explicación: si tenemos una figura geométrica (supongamos un triángulo en un plano) podemos someterla a diversas transformaciones; por ejemplo, trasladarla dos metros a la derecha o girarla 90º. Algunas propiedades del triángulo permanecerán invariables, pero otras no. Por ejemplo, la propiedad tener un vértice en el punto (a,b)(a,b) no será respetada en una traslación, y en una rotación tan solo un punto quedará invariable (el centro de rotación), y eso en el mejor de los casos, pues si el centro de rotación es exterior al triángulo, entonces ningún punto quedará invariante.

La intuición de Klein es que cuanto más profunda fuera la transformación, más interesantes y profundas serían las propiedades invariantes. ¡A nadie en su sano juicio le parece interesante que un triángulo tenga un vértice sobre el punto (a,b)(a,b)!

Pues bien, existe toda una jerarquía de transformaciones, cada una más fuerte que la anterior en el sentido que la tortura a la que somete a la figura geométrica es mayor. Por ejemplo, una homotecia es más grave que una traslación o una rotación, pues, además de mover la figura, no respeta los tamaños (una homotecia es una especie de zoom sobre la figura). Y a pesar de ello, existen propiedades que permanecen invariantes por una homotecia, tales como el cociente entre dos lados (seguimos con la figura del triángulo en nuestra mente).

Y ¿cuál sería el tipo de transformaciones más agresiva que respetara alguna propiedad de las figuras geométricas? Pues las que no respetaran ni las posiciones, ni los ángulos, ni los tamaños ni las formas: se denominan homeomorfismos. Lo único que no tienen permitido los homeomorfismos es rasgar o pegar partes. Pueden mover, dilatar, retorcer, doblar… por algo se les denomina geometría de láminas de goma (o de chicle).

Lo interesante es que incluso con estas transformaciones tan radicales siguen existiendo propiedades invariantes. Se trata de propiedades tan íntimas, tan escondidas de las figuras geométricas (aquí el término figura geométrica hay que entenderlo en su máxima generalidad: como un subconjunto dentro de un conjunto arbitrario, que puede ser n-dimensional), que resisten incluso a los homeomorfismos más agresivos.

Pues bien, la topología estudia esas transformaciones y esas propiedades.

Por supuesto este planteamiento es a posteriori, y existieron muchos indicios de una nueva rama de la matemática mucho antes de Klein: Se suele fechar el origen de la topología con la resolución por parte de Euler del problema de los puentes de Königsberg, en 1735. Ciertamente, la resolución de Euler del problema utiliza una forma de pensar totalmente topológica, y la solución del problema nos lleva a la característica de Euler, el primer invariante de la topología algebraica, pero sería muy arriesgado y arbitrario fechar en ese momento la aparición de la topología. Pero es a partir de Klein donde la topología alcanza su mayoría de edad.

Es una rama preciosa y bastante difícil de la matemática. Es, por así decirlo, lo que queda de la geometría cuando se prescinde de la noción de medida.