¿La topología se parece más a la geometría, la filosofía o las matemáticas o es una ciencia independiente de todas ellas?

Considero respondida cumplidamente la pregunta, pero por aportar un aspecto más: la topología es, efectivamente matemática. No se parece más a la matemática, es matemática. Concretamente, es geometría, si por geometría consideramos el estudio de las propiedades de los subconjuntos en espacios generales.

Podríamos dar una definición simpática de lo que es topología diciendo que es lo que queda de la geometría cuando suprimimos el concepto de medida.

También viene bien recordar que según la definición de geometría de Felix Klein, en su Programa Erlangen, la geometría es el estudio de los invariantes por transformaciones en espacios generales. Esto es sumamente interesante: hay transformaciones muy simples, como una traslación o una rotación, que dejan invariantes muchas propiedades de una figura geométrica (pensemos en el plano, o en el espacio, aunque es extrapolable a RnRn o a espacios de funciones, de Hilbert, etc. Otras transformaciones más generales, como una homotecia (ampliación o reducción) modifica más profundamente las propiedades, cambia las longitudes, pero respeta las razones de longitudes (y con ello, los ángulos)… cada tipo de transformación tiene sus invariantes, que definen geometrías anidadas unas dentro de otras.

Pues bien, la topología sería el estudio de los invariantes por homeomorfismos, que son las transformaciones más generales que imaginarse pueda, mientras sean continuas e inversibles (no se puede ni romper ni hacer agujeros). Las propiedades tan íntimas de los objetos matemáticos que resisten tales torturas son las propiedades topológicas: compacidad, conexión, etc.