¿Por que el área de un círculo es exactamente πr²?

Sea un pentágono regular inscrito en un círculo de radio rr. Internamente, el pentágono se divide en 5 triángulos de base L=DE¯¯¯¯¯¯¯¯L=DE¯, con altura a=OF¯¯¯¯¯¯¯¯a=OF¯ y los segmentos OE¯¯¯¯¯¯¯¯=OD¯¯¯¯¯¯¯¯=rOE¯=OD¯=r.

El área del triangulo formado es:

Atr=12DE¯¯¯¯¯¯¯¯⋅OF¯¯¯¯¯¯¯¯=12L⋅aAtr=12DE¯⋅OF¯=12L⋅a …(1)

Generalizando, un polígono regular de nn lados inscrito en un círculo se podrá dividir en nn triángulos. Por lo tanto el área del polígono será:

Apol=12n⋅L⋅aApol=12n⋅L⋅a …(2)

El ángulo ϕϕ se relaciona con el triángulo:

tanϕ=L/2atan⁡ϕ=L/2a …(3)

En una vuelta completa, se tienen 2π2π rad que estarán divididos entre el número nn de lados del polígono. Y, como la altura divide en dos al triángulo formado, el ángulo ϕϕ es:

ϕ=πnϕ=πn …(4)

Despejando LL de (3) y sustituyendo en (2), el área del polígono será:

Apol=n⋅a2⋅tan(πn)Apol=n⋅a2⋅tan⁡(πn) …(5)

Ahora, suponiendo que el círculo es un polígono de nn lados cuando n→∞n→∞ & a→ra→r, para el área del círculo AcirAcir se tiene el límite:

Acir=limn→∞n⋅r2⋅tan(πn)=limn→∞r2⋅tan(π/n)1/n=L′Ho^pitallimn→∞r2⋅sec2(π/n)(−π/n2)−1/n2=limn→∞r2⋅π⋅sec2(πn)=r2⋅π⋅sec2(0)=π⋅r2Acir=limn→∞n⋅r2⋅tan⁡(πn)=limn→∞r2⋅tan⁡(π/n)1/n=L′Ho^pitallimn→∞r2⋅sec2⁡(π/n)(−π/n2)−1/n2=limn→∞r2⋅π⋅sec2⁡(πn)=r2⋅π⋅sec2⁡(0)=π⋅r2

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