¿Puedes dividir un cubo con una longitud lateral de 6 en 49 cubos pequeños?

Antes que nada, la pregunta parece haber confundido a mucha gente. No está preguntando cuál es el volumen de los cubos pequeños, y no asume que esos cubos pequeños tengan el mismo tamaño. Simplemente pregunta: ¿puede un cubo ser dividido en 49 cubos pequeños, posiblemente de dimensiones variadas?

Una razón por la que la pregunta puede ser confusa es por la parte que dice “con una longitud lateral de 6”. El que pueda o no pueda un cubo ser dividido en cubos más pequeños claramente no tiene nada que ver con la longitud de su lado; podemos cambiar la longitud del lado para que sea el número que queramos mediante un cambio en la unidad de medida; el valor numérico de 6 es irrelevante. Así que la pregunta debería realmente decir esto:

¿Puede un cubo particionarse en 49 cubos?

Para familiarizarnos y hacernos una idea, veamos primero cómo particionar un cubo en 4848 cubos.

Empieza con una simple partición del cubo en 27 cubos, simplemente dividiéndolo como un cubo de Rubik de 3×3×33×3×3.

Ahora, toma uno de los cubos más pequeños y particiónalo en 88 cubos, 2×2×22×2×2. Ahora tenemos 3434 cubos: El original 2727, menos uno que partimos más 88 cubitos pequeños.

Entonces lo hacemos otra vez: elige uno de los 3434 cubos (no importa cuál tamaño), y trocéalo 2×2×22×2×2. Nuevamente, el número total de cubos se incrementa en 77, así que ahora tenemos 4141 cubos, y si lo hacemos otra vez, obtenemos 4848 cubos. Esta es la partición final de un cubo en 4848 partes cúbicas:

Genial. Bárbaro. Chévere. Copado. Muy padre. Guay. Bacán.

Pero, ¿qué ocurre con 4949?
Y ¿cuáles otros números son posibles?

Llamemos a un número NN “cúbico” si un cubo puede ser particionado en NN cubos. Acabamos de ver que el 4848 es cúbico. Pero, lo que es más importante, lo hicimos estableciendo que Si NN es cúbico, también lo es N+7N+7. Esto es porque cualquier particionado puede ser refinado tomando una de las partes y troceándola en 88 partes, ganando 77 cubos pequeños para la cantidad global.

Esto significa que el conjunto de los números cúbicos tiene este aspecto: para cualquier clase de residuos módulo 77, o bien ningún número en esa clase es cúbico (esto realmente no ocurrirá), o, por el contrario hay un número cúbico de esa clase que es el más pequeño, y todos los números más grandes de la misma clase son también cúbicos.

De manera similar, si NN es cúbico, también lo es N+26N+26, porque puedes tomar cualquiera de los cubos más pequeños y hacerle picadillo al estilo 3×3×33×3×3. Esto ya nos dice que ningún residuo de las clases de equivalencia módulo 77 puede quedar libre de números cúbicos: los números 1,27,53,79,105,1311,27,53,79,105,131 y 157157 son todos cúbicos ya que cada uno de ellos es 2626 más que su predecesor, y entre ellos cubren todas las clases de residuos módulo 77.

Esto es un progreso masivo: ahora sabemos que el conjunto de números no-cúbicos es finito. En otras palabras, todos los números son cúbicos excepto un conjunto finito de excepciones. Lo único que falta es determinar ese conjunto. Para hacerlo, queremos encontrar números cúbicos pequeños, tan pequeños como podamos; cada vez que lo hacemos podemos añadir ese número pequeño a nuestra lista junto con su progenie, sus hijitos +7+7, +14+14 y así sucesivamente.

Para encontrar números cúbicos pequeños sirve de ayuda ser capaces de reducir el número de cubos de una partición. Por ejemplo, podemos hacer esto: cada vez que tengas 88 cubitos adyacentes formando una estructura 2×2×22×2×2, podemos fusionarlos en un único cubo, reduciendo de esa forma el número global de cubos en 77. Tenemos que ser un poco más cuidadosos aquí: desmenuzar un cubo en 88 pedazos siempre es posible, pero fusionar requiere una estructura apropiada que se pueda fusionar.

Por ejemplo, empezando desde el cubo de Rubik estándar de 3×3×33×3×3, podemos fusionar los cubos de cualquier esquina y obtener una partición de 2020 partes. Tiene este aspecto:

Ves, sin embargo, que no podemos usar este truco de nuevo reduciendo de 2020 a un 1313, porque el cubo central inicial (el único de los 2727 que no es visible desde fuera) está ahora fusionado, así que no queda ninguna estructura de 2×2×22×2×2.

Ahora que tenemos 2020, podemos añadir 1919 a cualquier número cúbico (desmenuzando cualquier cubo en 2020 piezas). Esto nos da la secuencia de números cúbicos 1,20,39,58,77,96,1151,20,39,58,77,96,115. Nuestra pequeña tabla actualmente tiene este aspecto:

Los números verdes son cúbicos, los números rojos definitivamente no lo son, y los números blancos son todavía dudosos. La tercera columna está vacía hasta el 115115, pero es fácil mejorarlo: fusiona una estructura 3×3×33×3×3 dentro de un cubo 4×4×44×4×4, y obtienes 64−27+1=3864−27+1=38 cubos. Como consecuencia, también tenemos un operador +37+37, y el 38+37=7538+37=75 es también cúbico.

El 5858 puede ser mejorado a 5151 empezando en 2020, desmenuzando dos cubos adyacentes en 2727 partes, y luego fusionando 33 grupos de 2×2×22×2×2 que aparecen.

Para mejorar la situación de la columna 77 (y contestar a la pregunta original), empezamos con un cubo 6×6×66×6×6 (Esa es probablemente la razón por la que la pregunta menciona “longitud del lado igual a 66”, aunque, por supuesto, no importa). Fusionamos la mitad de abajo entera en cuatro cubos 3×3×33×3×3 , y entonces en una capa sobre esa, fusionamos en nueve cubos 2×2×22×2×2, quedando la capa superior solamente. Esto crea 4+9+36=494+9+36=49 cubos en total. Nótese que no son posibles más fusiones.

Dado que el 4949 es cúbico, entonces también lo es el 68=49+1968=49+19. Ahora la tabla es:

La columna 55 parece muy vacía, pero hasta ahora no he sido capa de confirmar si el 6161 es cúbico o no. Las columnas 11 y 66 están completas, y estoy bastante seguro de que la columna 77 también lo está. Las pruebas de imposibilidad son tediosas; estoy bastante seguro de que ningún número menor que 2020 es cúbico a excepción de 1,81,8 y 1515, pero escribirlo es engorroso.

ACTUALIZACIÓN: encontró la lista completa en Wolfram’s Mathworld. Solamente me faltaba un número cúbico, que es el 5454 (y su consecuencia, el 6161). La tabla completa, con los números no-cúbicos marcados en rojo, es:

Parece que no hay total consenso sobre si los números marcados en rojo se ha probado que realmente son rojos con seguridad – ver comentarios de Dean Hickerson aquí.