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¿Cómo calcular el área de un polígono regular si solamente se tiene la longitud de los lados?

Respuestas

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El área de cualquier polígono regular se puede calcular multiplicando el perímetro por el apotema y dividiendo por 2.

A=Pap2A=P·ap2

Lo que debemos hacer es calcular la longitud del apotema, eso se resuelve fácilmente por trigonometria.

Sea nnel número de lados y LL la longitud del lado. El polígono se puede dividir en n triángulos isósceles y a su vez cada uno de estos en dos triángulos rectángulos iguales. En cada uno de estos últimos tendremos un cateto que es el apotema y otro que es la mitad del lado, asimismo sabemos el ángulo del triángulo que da al centro del polígono que es:

α=360ºn2=180ºnα=360ºn2=180ºn

Con esto podremos calcular la hipotenusa

h=L2senα=L2senº,αh=L2senα=L2senº,α

Y una vez conocida la hipotenusa podemos conocer la longitud del otro cateto que es el apotema

ap=hcosα=L2senαcosα=L2ctgαap=hcosα=L2senα·cosα=L2·ctgα

Finalmente vamos a la fórmula del área.

A=Pap2=nLL2ctgα2=A=P·ap2=n·L·L2·ctgα2=

nL24ctgα=n·L24·ctgα=

nL24ctg(180ºn)n·L24·ctg(180ºn)

O si eres como yo que odia la cotangente, aparte de que no sale en las calculadoras.

A=nL24tg(180ºn)A=nL24tg(180ºn)

Se distingue muy mal en el LaTeX de esta página la llcomo longitud del lado, voy a cambiarla por L.L. Es un LaTeX bastante flojo.

ctgctg es cotangente, para los que sólo usen la abreviatura anglosajona de esta.

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