Simetria

Vista previa del material en texto

GEOMETRÍA, “FORMA Y SIMETRÍAS” K. L. Wolf – D. Jun. 04/03/07 
Facultad de Arquitectura 
Curso: Geometría 
Primer Semestre de 2007 
Arq. Edwin Valdez 
 
SIMETRÍAS 
“Las Simetrías Determinan las Formas.” 
La palabra Simetría proviene del griego Sy´mmetros Que significa mensurado, adecuado, 
proporcionado, de proporción apropiada, de medida conveniente o también en el momento 
oportuno. Indica la posición que ocupa las partes de un todo entre si. 
 
Concepto: “Repetición Rítmica de un modulo a lo largo de una ruta, en el espacio.” 
“Repetición regular de motivos y circunstancias similares o iguales, parecidas 
o afines”. 
“La Simetría Provee la base natural para un ordenamiento sistemático de la 
variedad de todas las formas”. 
“Una armonización de diferentes partes de un todo; está dotada por la 
relación (bella) de una parte con otra y de las partes con el todo”. 
 
“Simetría, disposición de las distintas partes de un todo de forma ordenada y 
con mutua correspondencia, que genera una forma proporcionada y equilibrada”. 
 
El principio de la simetría es de gran importancia en biología, mineralogía, física y 
geometría. 
 
En biología, la distribución regular de las distintas partes del cuerpo de un animal en dos 
lados opuestos de un plano de simetría o plano mediano, se conoce como simetría 
bilateral. La organización proporcional de partes semejantes de un cuerpo alrededor de un 
eje de simetría, como en el caso de las medusas y las estrellas de mar, se denomina 
simetría radial. Los cuerpos de los protozoos como los de los radiolarios, que tienen una 
forma redondeada alrededor de una zona central o núcleo, se dice que tienen simetría 
esférica. 
 
En mineralogía, las leyes de simetría se cumplen en la estructura angular de los cristales. 
Todos los distintos tipos de cristales se pueden dividir en seis sistemas, basados en la 
longitud de sus ejes y otros detalles de su simetría. 
 
En física, se dice que un sistema presenta simetría si se mantiene inalterado después de 
ciertas operaciones, como la inversión especular, inversión en la dirección del tiempo y 
traslación espacio-tiempo. Muchos de los sistemas físicos cumplen estas simetrías, que 
están también relacionadas con las leyes de conservación de la física. Esta relación es de 
particular interés en el estudio de las partículas elementales. 
 
En geometría conviene distinguir simetría como transformación geométrica y simetría 
como propiedad de una figura.----- 
 
Arq. M.A. Edwin Francisco Valdez 1/15 
GEOMETRÍA, “FORMA Y SIMETRÍAS” K. L. Wolf – D. Jun. 04/03/07 
EURITMIA: “Repetición Rítmica” Monótona. 
 Sincopada. 
Es la belleza y lo apropiado de la relación de los distintos miembros de la composición. Se 
da cuando: alto, largo y ancho están en relación proporcional, cuando todo esta bajo una 
simetría. 
 
Formas de Simetría: 
1) A partir de un punto: “Radial”. 
 
 
 
 
2) A partir de una línea: “Axial”. 
 
 
 
 
 
 
3) A partir de un plano: “Especular”. 
 
PARTES ELEMENTALES DE LA SIMETRÍA: 
 
MOTIVOS: Son las figuras (espaciales, temporales u otras) relacionadas simétricamente 
entre si. Se le denomina muestra elemental al agrupamiento más pequeño de motivos 
que determinan toda la simetría. Así como el átomo es el individuo de una sustancia, la 
muestra elemental es el individuo de una figura simétrica. 
 
 
 
 
 
 
 
PERIODO: Mínimo intervalo de tiempo invertido por un motivo periódico para volver a 
pasar por la misma posición. 
 
Un motivo realiza un movimiento periódico a intervalos iguales de tiempo, todas sus 
variables toman el mismo valor. El periodo es el tiempo empleado en realizar una vuelta 
completa o ciclo. 
 
 
 
 
 
 
Arq. M.A. Edwin Francisco Valdez 2/15 
GEOMETRÍA, “FORMA Y SIMETRÍAS” K. L. Wolf – D. Jun. 04/03/07 
RAPPORT: Es la repetición regular de un motivo dentro de un plano articulado 
ornamentalmente. Ej. Alfombras, empapelados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TIPOS O CLASES DE SIMETRÍAS: 
 
Generatriz: “Modulo” a) Isométrico a) Isocromático. 
 b) Homeométrico b) Homeocromático. 
 c) Catamétrico. c) Catacromático. 
 d) Amétrico. d) Acromático. 
 
Simetría ISOMÉTRICA: Los motivos no son distinguibles entre si y su disposición se 
repite uniformemente. (Las figuras de una red plana). 
El conjunto esta determinado por el carácter de los motivos y la posición relativa que 
ocupan entre si. 
Se llama así por la igualdad de los motivos y su repetición regular. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Simetría HOMEOMÉTRICA: Los motivos son semejantes entre si (igual forma), pero 
de diferente tamaño o se repiten en sucesión monótona, de manera que el motivo se 
modifica con respecto al siguiente en tamaño, posición o situación. 
También se puede hablar en este caso de simetría diferencial porque hay una repetición 
de variaciones iguales. 
 
 
 
 
 
 
Arq. M.A. Edwin Francisco Valdez 3/15 
GEOMETRÍA, “FORMA Y SIMETRÍAS” K. L. Wolf – D. Jun. 04/03/07 
Simetría CATAMÉTRICA: Los motivos no tienen (con respecto a su configuración en 
el espacio y en el tiempo) igual forma y tamaño; pero están vinculados entre sí por una 
relación común, o sus formas continúan siendo análogas, y su sucesión está vinculada por 
una ley. 
 
 
 
 
 
 
 
 
AMETRÍA: Cuando los motivos no son de ningún modo iguales, parecidos o afines, ni 
están relacionados entre si; es decir que no hay simetría de ninguna especie. 
 
OPERACIONES DE SIMETRÍA: 
 
Directriz: “Ruta” a) traslatoría: “Identidad”. 
b) Traslación Lineal. 1) Recta. 
 2) Quebrada. 
 
 c) Traslación Rotatoria 1) Radial. 
 2) Focal. 
 3) Particular. 
 
 d) Traslación Especular 1) Horizontal. 
 2) Vertical. 
 3) Oblicua. 
 
 e) Traslación Extensiva 1) Explosiva. 
 2) Implosiva.- 
 
IDENTIDAD: (i) Es la representación invariada del objeto sobre si mismo. 
Toda figura de forma constante posee esta clase de simetría. La operación de 
superposición se puede describir como una rotación de 0° ó 360° alrededor de un punto 
de identidad. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Arq. M.A. Edwin Francisco Valdez 4/15 
GEOMETRÍA, “FORMA Y SIMETRÍAS” K. L. Wolf – D. Jun. 04/03/07 
TRASLACIÓN: (t) La traslación es un corrimiento simple y en línea recta. 
Implica variación de distancia con relación a un punto de referencia. En estricto orden 
de conceptos, la traslación no permite el traslape de las figuras resultantes 
 
 
Punto de referencia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Arq. M.A. Edwin Francisco Valdez 5/15 
GEOMETRÍA, “FORMA Y SIMETRÍAS” K. L. Wolf – D. Jun. 04/03/07 
ROTACIÓN: (r) Es el giro del motivo alrededor de un eje, el eje de rotación. 
En el sentido de la simetría se reconoce una rotación de un objeto como un giro de un 
ángulo dado alrededor de un eje dado. En e¡ espacio bidimensional el eje de rotación es 
normal al plano y define, más que un eje, un punto de giro, mientras que en el espacio 
tridimensional el eje de rotación actúa como tal. La rotación es también alcanzable a 
través de dos proyecciones especulares consecutivas. 
 
 
 
 
Ver movimientos que se suponen en el espacio 
 
 
 
 
 
 
 
REFLEXIÓN ESPECULAR: Se conoce como proyección especular la 
forma que define un objeto en la cara anversa de la hoja o lo que es lo mismo la forma que 
se refleja en un espejo, de este modo se define también un eje especular que es el eje a 
través del cual se da la reflexión, en nuestro ejemplo sería la línea en que el espejo toca la 
hoja. 
Hay figuras que tienen varios ejes de simetría. Por ejemplo, un rectángulo tiene dos, un 
cuadrado cuatro y un círculo infinitos (cualquier recta que pasa por su centro es eje de 
simetría). 
 
 
 
 
 
Arq. M.A. Edwin Francisco Valdez 6/15 
GEOMETRÍA, “FORMA Y SIMETRÍAS” K. L. Wolf – D. Jun. 04/03/07 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Arq. M.A. EdwinFrancisco Valdez 7/15 
GEOMETRÍA, “FORMA Y SIMETRÍAS” K. L. Wolf – D. Jun. 04/03/07 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OPERACIONES DE SIMETRÍA DE MOVIMIENTOS 
COMBINADOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Arq. M.A. Edwin Francisco Valdez 8/15 
GEOMETRÍA, “FORMA Y SIMETRÍAS” K. L. Wolf – D. Jun. 04/03/07 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Arq. M.A. Edwin Francisco Valdez 9/15 
GEOMETRÍA, “FORMA Y SIMETRÍAS” K. L. Wolf – D. Jun. 04/03/07 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Arq. M.A. Edwin Francisco Valdez 10/15 
GEOMETRÍA, “FORMA Y SIMETRÍAS” K. L. Wolf – D. Jun. 04/03/07 
DESARROLLO DE MÓDULOS SEGÚN EL MÉTODO DE 
DESAGREGACIÓN Y NUEVA AGREGACIÓN DE UNA CÉLULA 
RETICULAR BIDIMENSIONAL 
TESELACION DE UNA FIGURA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Arq. M.A. Edwin Francisco Valdez 11/15 
GEOMETRÍA, “FORMA Y SIMETRÍAS” K. L. Wolf – D. Jun. 04/03/07 
DESARROLLO DE MÓDULOS SEGÚN EL MÉTODO 
DISTRIBUCIÓN LIBRE. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Arq. M.A. Edwin Francisco Valdez 12/15 
GEOMETRÍA, “FORMA Y SIMETRÍAS” K. L. Wolf – D. Jun. 04/03/07 
OTROS USOS PARA ESTE TEMA: 
CENEFAS (O FRISOS): 
Una cenefa, o friso, es una figura plana obtenida por repetición de un motivo mínimo al 
que se le aplica una traslación a lo largo de una línea dada y simetrías respecto a un punto 
de dicha recta, o respecto a ejes paralelos o perpendiculares a la recta dada. Ejemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mosaicos regulares: Son los que se obtienen con polígonos regulares iguales, 
uniendo lado con lado. Hay infinitos polígonos regulares, pero sólo con los de 3, 4 y 6 
lados se pueden rellenar el plano, sin dejar huecos. 
 
Sólo existen 17 tipos de mosaicos planos, si se utilizan simetrías y giros. Todos ellos 
pueden observarse en la Alhambra de Granada y en Aragón. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Arq. M.A. Edwin Francisco Valdez 13/15 
GEOMETRÍA, “FORMA Y SIMETRÍAS” K. L. Wolf – D. Jun. 04/03/07 
Mosaicos semirregulares: Si se mezclan polígonos regulares, se pueden construir 
ocho mosaicos semirregulares, de modo que los vértices sean todos similares 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Arq. M.A. Edwin Francisco Valdez 14/15 
GEOMETRÍA, “FORMA Y SIMETRÍAS” K. L. Wolf – D. Jun. 04/03/07 
Por deformaciones de los polígonos, de modo que se conserve el área, se pueden 
construir mosaicos más variados. Así, a partir de mosaicos de cuadriltaeros, podemos 
construir este mosaico: 
 
 
Arq. M.A. Edwin Francisco Valdez 15/15