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Universidad De San Carlos de Guatemala Facultad de Arquitectura Curso: Geometría Primer Semestre de 2007 Arq. Edwin Valdez LOS ANGULOS: CONCEPTO: Si una recta gira en torno a uno de sus puntos extremos (vértice), a medida que se desplaza, todos los puntos se separan de la posición original, mientras mas alejados están los puntos del vértice, mayor será la separación; esta situación se define como angulación o formación de ángulos. Angulo será entonces la expresión que indica la abertura entre las dos rectas con un mismo origen y se simboliza así: La trayectoria de cada uno de los puntos se denomina arco, si el arco descrito por un punto es tal que vuelve a su posición original, entonces el arco se denominará circunferencia, por lo que es fácil notar que el mayor ángulo posible de barrer es una circunferencia y será esta la referencia de medida de los ángulos. DIRECCIONALIDAD: Los ángulos por el sentido en que giran la recta pueden ser horarios y antihorarios. Horario cuando gira siguiendo las agujas del reloj y son negativos y antihorario contrario a la agujas del reloj y son positivos. 1 NOMINACIÓN Y SIMBOLOGÍA DE ÁNGULOS: Los ángulos se nominan usualmente con las letras del alfabeto griego y se simbolizan con el signo gráfico encima de las letras así: También se nominan con la letra mayúscula que identifica el vértice: También se nomina nombrando los lados del ángulo: O también se pueden nombrar por medio de sus puntos extremos así: CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS: LOS ÁNGULOS POR SU PROPORCIÓN A LA CIRCUNFERENCIA PUEDEN SER: LLANOS: Mitad de una circunferencia. = 180º 2 RECTOS: Cuarta parte de la circunferencia, Es también llamado el ángulo notable y forma un ángulo de 90º y se nota así: AGUDOS: Menores que un recto. OBTUSOS: Mayores que un recto. LOS ANGULOS POR SU VALOR CONJUNTO PUEDEN SER: COMPLEMENTARIOS: Cuando sumados dos completan un recto o sea 90º. SUPLEMENTARIOS: Cuando sumados dos completan un llano o sea 180º. 3 PERÍGONOS: Cuando sumados dos completan una circunferencia o sea 360º LOS ÁNGULOS POR SU POSICIÓN RELATIVA PUEDEN SER: Cuando dos rectas se cortan (intersectan), se forman cuatro ángulos: ADYACENTES: Son los pares de ángulos separados por una recta o sea que tiene un lado en común. OPUESTOS: Son los pares de ángulos que no están separados por una recta y los lados de uno son las prolongaciones del otro. Por eso se dice que están separados por el vértice y son iguales. 4 BISECTRIZ DE UN ÁNGULO: Se le llama a la recta que pasando por el vértice divide el ángulo en dos ángulos iguales. PROPIEDADES DE LOS ÁNGULOS: Pares de ángulos que se forman cuando una recta corta a otras dos paralelas entre sí, se da: Ángulos externos alternos son iguales: Ángulos internos alternos son iguales: 5 Ángulos internos y externos son iguales: LOS ANGULOS EN ARQUITECTURA: Los ángulos en arquitectura se miden por la superposición de las coordenadas cartesianas sobre los puntos cardinales de la tierra. RUMBOS: Se miden a partir de un eje de referencia y para estos es el eje norte – sur para lo cual pueden ser horarios y antihorarios. Además no pueden medir más de 90º y siempre son positivos. 6 AZIMUT: Son ángulos horarios y se miden a partir del norte y siempre en el sentido de las agujas del reloj por lo que su valor puede ser de 0º a 360º. SISTEMAS DE MEDICIÓN DE ÁNGULOS: Los sistemas de medición son cuatro y los expondremos por el orden histórico de aparición, así: EL SISTEMA CIRCULAR: Surge cuando Arquímedes determina la longitud de la circunferencia y la relaciona con el diámetro de la misma por medio del número Pi (π) (3.1416), entonces el mayor ángulo posible como se explicó antes es la longitud de la circunferencia y en éste caso vale (2 x π x Radian) siendo el radián, el arco cuya longitud es igual al radio o distancia al vértice, la unidad de medida de este sistema. 7 EL SISTEMA SEXAGESIMAL: Surge con los babilonios cuyo sistema numérico tiene base 60 y que relacionaron la circunferencia con un año que según ellos duraban 360 días, la unidad de medida es el grado correspondiente a un día, y el grado se divide en 60 minutos y el minuto en 60 segundos. EL SISTEMA CENTESIMAL: Nace con el sistema métrico y utiliza como base de medición el ángulo recto al cual se le designan 100 Gones (grados centesimales) los que a su vez se convierten en la unidad de medida cuyas fracciones serán centésimas de gon. 8 EL SISTEMA HORARIO: A partir de la necesidad de establecer horas nacionales se crearon los husos horarios y es de utilidad para medir los ángulos que los astros describen en el espacio para los observadores desde la tierra con marcos de referencia en ella y su rotación, por lo que la circunferencia se describe en 24 horas que será su unidad de medida y ésta, la hora se divide en 60 minutos y el minuto en 60 segundos. LA EQUIVALENCIA DE UN ÁNGULO EN LOS DIFERENTES SISTEMAS DE MEDICIÓN: Se puede calcular en base a la proporcionalidad entre el ángulo y su arco, de tal manera que su valor va a corresponder a la porción de circunferencia que corresponda el arco en el sistema de medida escogido. SISTEMA MEDICION UNIDAD DE MEDIDA ANGULO NOTABLE CIRCULAR 6.28r 1 RADIAN ΛΟ ΝΟΤ SEXAGECIMAL 360° 1 GRADO SEXAGECIMAL 90° CENTECIMAL 400 Gones 1g NEOGRADO 100g HORARIO 24 Horas 1 HORA 6H 360°= 6.2832r = 400g = 24H CUADRO COMPARATIVO ENTRE LOS DIFERENTES SISTEMAS CRITERIOS PARA CONVERTIR ANGULOS ENTRE LOS DIFERENTES SISTEMAS 9
