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Universidad De San Carlos de Guatemala Facultad de Arquitectura Curso: Geometría Primer Semestre de 2007 Arq. M.A. Edwin F. Valdez C. GEOMETRÍA PLANA Parte de la Geometría Euclidiana que estudia los entes bidimensionales, es decir, los que tienen dos dimensiones y/o los que pueden subyacer en ellos y son: Puntos, Rectas y Figuras planas. Líneas planas o copla narres son aquellas que contienen todos sus puntos sobre un mismo plano. P En un plano pueden existir dos tipos de líneas; las llamadas rectas cuya dirección es constante y las llamadas curvas, que cambian constantemente de dirección. A A B m B LÍNEAS RECTAS: La línea recta es una abstracción de una experiencia humana, la experiencia del movimiento (o cambio de posición), el hombre ha observado que el cambio de posición, acercamiento o alejamiento medido en pasos y puede reducirse a un mínimo esfuerzo, este mínimo esfuerzo, es equivalente a la mínima distancia entre dos objetos o puntos. Las rectas son entonces los conjuntos mínimos de puntos entre dos puntos llamados extremos o la menor distancia entre los mismos. A B Las líneas rectas van a delimitar un espacio unidimensional, el cual es susceptible de ser medido por longitud, dirección y sentido y para el efecto utilizamos un sistema de referencia, que ubica o posiciona puntos extremos de ellas; este sistema es conocido como coordenadas cartesianas, también llamado coordenadas rectangulares. 1 Antes de empezar a describir las coordenadas rectangulares, debemos de indicar que este sistema permite ubicar puntos, rectas y planos en dos planos. Uno llamado espacio bidimensional horizontal y el otro espacio bidimensional vertical. COORDENADAS CARTESIANAS (COORDENADAS RECTANGULARES): ESPACIO BIDIMENSIONAL HORIZONTAL (X, Y) Es un espacio plano colocado, comprendido o paralelo al horizonte. Esta delimitado por dos ejes de referencia que mutuamente se cortan y que Consiste en dos rectas perpendiculares entre sí y que dividen el espacio plano en cuatro zonas llamadas cuadrantes y a su intersección le llamaremos origen (O). Los puntos se ubican en el espacio plano en base a dos distancias medidas perpendicularmente desde cada uno de los ejes coordenados “X” y “Y”. La distancia o las distancias asignadas a un punto se llaman coordenada, o coordenadas del punto. La asignación de coordenadas es la asociación de cada punto en el plano con una pareja de números. El cuadrante superior derecho se llama primer cuadrante y los otros se enumeran a partir de este y en dirección contraria a las manecillas del reloj. Los ejes en si no se consideran pertenecientes a cuadrante alguno. Y Primer Cuadrante II I Escala Origen X 1 2 3 4 5 6 7 III IV 2 Para localizar puntos en el plano, use el origen como punto de referencia y establezca una escala adecuada sobre los ejes. Este tipo de coordenadas reciben el nombre de (COORDENADAS TOTALES). El desplazamiento de un punto en el plano hacia la derecha o izquierda del Eje “Y” se llama Coordenada “X” o Abscisa del punto y se denota mediante “X”. El desplazamiento de un punto en el plano hacia la Arriba o hacia abajo del Eje “X” se llama Coordenada “Y” u Ordenada del punto y se denota mediante “Y”. Consideradas juntas, la Abscisa y la Ordenada se llaman coordenadas del punto. Las coordenadas se escriben entre paréntesis, primero la abscisa y separara de la ordenada mediante una coma. (X, Y) Si un punto (x, y) queda en el primer cuadrante ambos son positivos. Si un punto (x, y) queda en el segundo Cuadrante, “X” es negativo y “Y” es positiva. Si un punto (x, y) queda en el tercer Cuadrante, ambos son negativos. Si un punto (x, y) queda en el cuarto Cuadrante, “X” es positiva y “Y” es negativo Y (-, +) (+, +) X (-, -) (+, -) Todas las distancias medidas sobre el eje “X” o paralelas a este se llaman ANCHOS, y todas las distancias medidas sobre el eje “Y” o paralelas a este se llama PROFUNDIDADES. Y Profundidades Anchos X 3 Para localizar un punto en este espacio se necesita de dos distancias una sobre el eje “X”, distancia en (X) o ANCHO y otra sobre el eje “Y”, distancia en (Y) o PROFUNDIDAD. Y Distancia (x) (A) punto Distancia (Y) X COORDENADAS RELATIVAS: Esta también son coordenadas rectangulares pero a diferencia de las coordenadas totales este sistema relaciona los puntos extremos de la recta, utilizando como punto de referencia el inicio de la recta dada desde el cual se procede a medir sobre X´ y sobre Y´ las coordenadas relativas al extremo de la recta. Ver grafica Y (10,11) Coordenada C Relativa Y´ Coordenada (3, 2) X´ Relativa X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Supongamos que conocemos las coordenadas cartesianas de un punto, respecto a unos ejes determinados y queremos saber las coordenadas relativas de ese punto respecto a otro sistema de coordenadas. Se pueden presentar el siguiente caso: 4 Que los nuevos ejes estén desplazados respecto al antiguo. Sean (x, y) las coordenadas del punto respecto a los ejes de coordenadas X-Y. Sean (x0, y0) las coordenadas del origen de coordenadas de los ejes X-Y respecto al nuevo sistema de coordenadas X'-Y'. Puede verse fácilmente en el dibujo que las nuevas coordenadas (x', y') son: X' = x0 + x Y' = y0 + y La longitud o largo de una recta puede medirse directamente a escala sobre la misma o también puede calcularse matemáticamente por medio de una formula que dice: Teorema de Pitágoras: C2= X2 + Y2 Donde “C” es la longitud de la recta. COORDENADAS POLARES: Este es otro sistema de coordenadas ampliamente conocido. En este sistema, se determina la posición de una recta especificando una Distancia a partir de un punto dado y la dirección a partir de una recta dada. Este no es un sistema nuevo ya que lo usamos para describir la situación relativa de puntos geográficos: Para establecer un sistema de referencia para este sistema de coordenadas empezamos escogiendo un punto “A” (inicio de la recta) y extendiendo una recta de referencia a partir de este sobre el eje “X”. La posición de cualquier recta queda determinada si se conoce la distancia “A-B” y el ángulo comprendido entre ambas rectas. La distancia se denota mediante una “r”. El ángulo se denota Mediante “α”. 5 Las coordenadas de la recta se escriben entre paréntesiscomo la pareja ordenada (r, α) obsérvese que la distancia es el primer numero y el ángulo el segundo, separados por una coma. Coordenadas de la recta (r, α) B Distancia “r” Angulo “α” “A” Eje “X” Las coordenadas polares, como las coordenadas cartesianas, se ven como cantidades con signo. Cuando se establecen Las coordenadas polares de una recta es costumbre usar las siguientes convenciones para los signos. La distancia es positiva cuando se mide sobre el lado terminal del ángulo. B Coordenadas de la recta AB = (5, 60º) Distancia “r”=5 Angulo “α”=60º “A” Eje “X” El ángulo es positivo cuando se genera mediante una rotación contraria a las agujas del reloj a partir del eje “X” y negativo cuando se genera mediante una rotación en el sentido de las agujas del reloj. B Coordenadas de la recta AB = (5,-300º) Distancia “r”=5 Angulo “α”=-300º Eje “X” “A” Las coordenadas polares de un punto determinan de manera única la localización del punto. Sin embargo esto no es completamente cierto como podemos ver en los ejemplos anteriores: Tenemos 2 pares de coordenadas que proporcionan la localización de una misma recta, así las parejas ordenadas (5, 60°) y (5,-300º) representan la misma recta. 6 CONVERSIÓN DE COORDENADAS POLARES A COORDENADAS RECTANGULARES: “B” Coordenadas de la recta AB = (5, 60º) Distancia “r”=5 Distancia en “Y” Angulo “α”=60º “A” Eje “X” Distancia en “X” Para Convertir coordenadas polares a coordenadas rectangulares se utilizan las funciones trigonométricas para este caso la función del seno y coseno. Para el ejemplo dado el valor de la distancia en “Y” queda determinada al multiplicar el: Sen 60º x 5 = 4.33 y para la distancia en “X” queda determinada al multiplicar el: Cos 60º x 5 = 2.5 ESPACIO BIDIMENSIONAL VERTICAL (X, Z) Es un espacio plano colocado, perpendicular al horizonte. Esta delimitado por dos ejes de referencia que mutuamente se cortan y que son perpendiculares entre si, denominados eje “X” el cual siempre es paralelo al horizonte y eje “Z” ver grafica. Z Alturas Anchos X LA DIRECCIÓN puede obtenerse por medio de dos conceptos: LA PENDIENTE y el ÁNGULO DE INCLINACIÓN. 7 PENDIENTE: La pendiente o grado de inclinación es la relación o cociente entre la dimensión de la recta en “Z” dividida entre la dimensión de la recta en “X” y se expresa en el factor numérico resultante, cuando es menor de la unidad entonces el ángulo correspondiente es menor de 45º, y cuando es mayor a la unidad, propende a la perpendicularidad, es decir, a 90º. Z Pendiente = Distancia “Z” / Distancia “X” B Pendiente Distancia en “Z” Angulo A X Distancia en “X” ANGULO: El ángulo de inclinación puede medirse directamente sobre la recta misma y puede utilizarse como línea de referencias cualesquiera de los dos ejes coordenados, en geometría plana generalmente se utiliza el eje “X”, para ello puede usarse un transportador de ángulos o bien calcularse matemáticamente por medio de las funciones trigonométricas: Tg -1= Op. / Ad. O sea para nuestro caso = Tg -1= distancia “Z” / Distancia “X” Z B Pendiente Distancia en “Z” Angulo A X Distancia en “X “ID Y ENSEÑAD A TODOS” 8 COORDENADAS POLARES: “ID Y ENSEÑAD A TODOS”
