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1 Geometría UNIDAD DIDACTICA No. 5 POLÍGONOS REGULARES 1. Descripción: Con esta unidad esperamos que el estudiante comprenda, el concepto, los elementos, las propiedades, las características y procedimientos de trazo de polígonos regulares. Es importante además que sea capaz de medirlos. 2. Objetivos: 2.1. El estudiante conocerá el concepto y las características principales de los polígonos regulares. 2.2. Aprenderá los métodos generales de trazo de polígonos regulares. 2.3. Medirá, ángulos, perímetros y áreas de éste tipo de polígonos 3. Contenidos: Concepto y clasificación de polígonos en general Elementos y propiedades de polígonos regulares Procedimientos generales de trazo Medición: Áreas y perímetros 4. Actividades de enseñanza aprendizaje: 4.1. Leer y comprender el documento que estará en el campus virtual 4.2. Ingresar al sitio de la Web Geometría Activa 4.3. Consultar bibliografía física relacionada con el tema 4.4. Resolver el día de clase los problemas que se le presenten en un formato definido para el efecto. 5. Evaluación: Cada ejercicio el cual se realiza en un formato doble oficio bond de 120 grs. Se califica la resolución sobre la base de graficar 4 cuestionamientos así: Cada cuestionamiento dos (2) puntos y para completar los diez del ejercicio, se califica además limpieza, rotulado y exactitud en el trazo. 2 POLIGONOS: Concepto: De acuerdo a su etimología, llamamos polígono a toda figura plana formada por varios ángulos. Sabemos que para que se formen varios ángulos será necesario que hayan varias rectas, las cuales llamaremos lados, de manera que si nos refiriéramos a esas rectas la figura debiera llamarse polilátero. Clasificación: Los polígonos pueden clasificarse en: Abiertos y cerrados, Cóncavos y convexos Regulares e irregulares Son abiertos aquellos polígonos, donde los puntos de inicio y de final no están en el mismo sitio. El ángulo con que se trazan y miden se llama ángulo de deflexión. Son cerrados cuando el punto de inicio, es justamente el punto final. Así: 3 Los polígonos cerrados se dividen en cóncavos, cuando tiene por lo menos un ángulo entrante Y son convexos cuando tienen todos los ángulos salientes. Así: También los polígonos cerrados se subdividen en: REGULARES SEMIRREGULARES, e IRREGULARES Note que adicionamos semirregulares pues son los que más diseña y utiliza el Arquitecto. Será tema de la siguiente unidad. 4 El tema que nos ocupa en esta unidad son los polígonos regulares y se conceptualizan como todos aquellos que tienen todos sus ángulos iguales y todos sus lados iguales. Es por esta característica que son susceptibles de inscribirse (estar dentro de una circunferencia y que todos sus vértices la toquen), pero también son susceptibles de circunscribirse (afuera de la circunferencia, pero que todos los lados del polígono la toquen) Elementos de los polígonos: Son el radio y la apotema, donde el radio se considera como el radio de la circunferencia circunscrita al polígono y el apotema será el radio de la circunferencia inscrita en el polígono. Así Los polígonos regulares pueden nombrarse por el número de lados de la siguiente manera: Clasificación de polígonos según el número de lados Nombre nº lados trígono, triángulo 3 tetrágono, cuadrángulo, cuadrilátero 4 pentágono 5 http://es.wikipedia.org/wiki/Tr%C3%ADgono http://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo http://es.wikipedia.org/wiki/Tetr%C3%A1gono http://es.wikipedia.org/wiki/Cuadr%C3%A1ngulo http://es.wikipedia.org/wiki/Cuadril%C3%A1tero http://es.wikipedia.org/wiki/Pent%C3%A1gono 5 hexágono 6 heptágono 7 octágono u octógono 8 eneágono o nonágono 9 decágono 10 endecágono 11 dodecágono 12 tridecágono 13 tetradecágono 14 pentadecágono 15 hexadecágono 16 heptadecágono 17 octodecágono 18 eneadecágono 19 isodecágono, icoságono 20 triacontágono 30 tetracontágono 40 pentacontágono 50 hexacontágono 60 heptacontágono 70 octacontágono 80 eneacontágono 90 hectágono 100 chiliágono 1.000 miriágono 10.000 decemiriágono 100.000 hecatomiriágono, megágono 1.000.000 Generalmente, cuando los polígonos son regulares no se les adiciona regular, pero si fuera semi o irregular, es indispensable agregar su particularidad, por ejemplo, octágono irregular o decágono semirregular. Propiedades de los polígonos: Todo los polígonos regulares pueden dividirse en tantos triángulos isósceles como lados tiene el polígono. http://es.wikipedia.org/wiki/Hex%C3%A1gono http://es.wikipedia.org/wiki/Hept%C3%A1gono http://es.wikipedia.org/wiki/Oct%C3%A1gono http://es.wikipedia.org/wiki/Ene%C3%A1gono http://es.wikipedia.org/wiki/Non%C3%A1gono http://es.wikipedia.org/wiki/Dec%C3%A1gono http://es.wikipedia.org/wiki/Endec%C3%A1gono http://es.wikipedia.org/wiki/Dodec%C3%A1gono http://es.wikipedia.org/wiki/Tridec%C3%A1gono http://es.wikipedia.org/wiki/Tetradec%C3%A1gono http://es.wikipedia.org/wiki/Pentadec%C3%A1gono http://es.wikipedia.org/wiki/Hexadec%C3%A1gono http://es.wikipedia.org/wiki/Heptadec%C3%A1gono http://es.wikipedia.org/wiki/Octodec%C3%A1gono http://es.wikipedia.org/wiki/Eneadec%C3%A1gono http://es.wikipedia.org/wiki/Isodec%C3%A1gono http://es.wikipedia.org/wiki/Icos%C3%A1gono 6 La única excepción es el hexágono que sus seis triángulos son equiláteros En los polígonos regulares, pueden repetirse cuatro tipos de ángulos y en todo polígono regular existen tantos ángulos de cada tipo como lados tenga el mismo, se denominan de la siguiente manera: Llamamos ángulo central (alfa) a aquel que está delimitado por dos radios: Angulo interno (beta) se le llama a aquel que se forma con dos lados consecutivos del polígono. El ángulo externo (gamma) se forma con un lado y la prolongación del lado siguiente. Como los ángulos de deflexión que se utilizan en polígonos abiertos. Por último el ángulo exterior (épsilon), es el que se forma con dos lados consecutivos, pero medido en el exterior del polígono. En todo polígono, el ángulo central mide lo mismo que el ángulo externo. Y el ángulo interno es siempre el suplementario del ángulo central. Procedimientos de trazo: A pesar de que existentes procedimientos para trazar la mayoría de polígonos regulares, aprenderemos dos métodos generales que nos permiten trazarlos todos sin excepción. El primer método nos permite trazar polígonos regulares si conocemos el radio y lo explicaremos paso a paso, así: 7 Primero trazamos con líneas guías la circunferencia que lo contiene. Seguidamente trazamos dos arcos de circunferencia utilizando como centro los dos extremos de un diámetro y con radio igual a ese diámetro. Luego dividimos ese diámetro en tantas partes iguales como lados tenga el polígono que deseamos trazar y utilizaremos los números pares cuando el numero de lados del polígono es impar. Así mismo utilizaremos impares, cuando el numero de lados del polígono es par. Recordemos que para dividir una recta en partes iguales, se traza una línea guía a cualquier inclinación, luego con una abertura cualquiera en el compas se marcan sobre la línea inclinada tantos segmentos como partes queremos dividir la recta, luego unimos el ultimo punto marcado con el otro extremo de la recta que queremos dividir, entonces a partir de allí trazamos líneas paralelas a esta ultima por cada una de las marcas y donde cortan a la recta inicial, quedaran los espacios en que la queremos dividir. 8 El siguiente paso será trazar líneas guías que unan los puntos de intersección de los dos arcos que trazamos con los pares ya que el polígono que estamos trazando es de siete lados. Finalmente unimos con trazo final, los puntos donde las guías indicadasen el paso anterior, cortan la parte contraria de la circunferencia de base, así: El segundo método nos permite trazar cualquier polígono regular si conocemos la longitud del lado, el procedimiento será de la siguiente manera: En este caso iniciamos trazando la longitud de uno de sus lados Ahora trazamos una semicircunferencia, con radio igual a la longitud del lado trazado. Seguidamente, trazamos dos arcos de circunferencia con radio igual al diámetro de la circunferencia, en el lado opuesto a la misma, así: 9 Luego dividimos ese diametro en el mismo número de partes de acuerdo al número de lados del polígono a trazar. El siguiente paso será trazar líneas guías desde el punto de intersección de los dos arcos, pasando por cada una de las divisiones hasta cortar la semicircunferencia. Note que no utilizamos el numero 1, porque ya tenemos dibujado un lado del polígono 10 Ahora unimos el extremo del lado con el punto donde la línea guía numero dos donde corta a la semicircunferencia y de esa manera estamos trazando el segundo lado del polígono. Una vez realizado lo anterior, trazamos las mediatrices de cada uno de los dos lados, para encontrar el centro de la circunferencia que lo contiene. Luego trazamos líneas guías desde el vértice que forman los dos lados conocidos, pasando por los puntos que cortan la semicircunferencia correspondientes a los números 3 en adelante y finalmente unimos los puntos que localizamos en la circunferencia que contiene al polígono. 11 Bibliografía: Diaz Romero, Carlos Noé, (2005) GEOMETRIA EN ARQUITECTURA. Tesis Facultad de Arquitectura. USAC “ID Y ENSEÑAD A TODOS” Arq. Everto Sandoval Dávila Profesor Titular VIII Guatemala, 16 de febrero de 2012.
