Vista previa del material en texto
SUPERFICIES GEOMETRICAS 07/04/07 Facultad de Arquitectura Curso: Geometría Primer Semestre de 2007 Arq. M.A. Edwin F. Valdez C. TEMA: GEOMETRIA DEL ESPACIO SUBTEMA: SUPERFICIES LAS SUPERFICIES GEOMETRICAS CONCEPTOS: SUPERFICIE: Consideremos a las superficies como conjuntos de puntos cuya posición puede determinarse por distancias (no forzosamente Rectilíneas) a dos líneas de referencias. SUPERFICIE GEOMÉTRICA: Superficie que limita un cuerpo geométrico. (Cara). GENERACIÓN DE SUPERFICIES: Cuando todos los puntos de una superficie se suponen ocupando las posiciones de los puntos de una línea (recta o curva) que se mueven en el espacio, hablamos de una superficie generada por el desplazamiento de una línea de acuerdo con los distintos desplazamientos. Traslación rectilínea Traslación curva Rotación. Consideraremos diversas superficies generadas: Superficie de traslación rectilínea, Traslación Curva Rotación o revolución. GENERATRICES Y DIRECTRICES: La línea que se traslada para generar la superficie la denominaremos GENERATRIZ y la línea que sigue en su desplazamiento es la directriz. Generatriz Arq. M.A. Edwin Francisco Valdez 1/14 Directriz SUPERFICIES GEOMETRICAS 07/04/07 EL PLANO: Puede ser considerado como la superficie generada por el desplazamiento de una línea recta (paralela a sí misma) sobre una línea recta. Arq. M.A. Edwin Francisco Valdez 2/14 Directriz recta Generatriz recta. GRUPO FAMILIA CLASE TIPO NOMBRE Tetraedro Exaedro Octaedro Dodecaedro Icosaedro Semiregulares Truncados Prisma Pirámide Cónicas Cono Cilíndricas Cilindro Conoides Paraboloide Paraboloides Hiperbólicos Hiperboloide de Revolución Helicoidales Convoluta Esfera Toro Bóvedas y cúpulas Elipsoides Tinaja Alabeadas compuestas Sólidos modificados Combinación de las anteriores CLASIFICACIÓN DE LAS SUPERFICIES Revolución Curvatura Simple Desarrollables Su pe rfi ci e Pl an a Desarrollables Regulares Su pe rfi ci e R eg la da s Superficie Compuestas Sinclásticas AnticlásticasSu pe rfi ci e C ur va s No Desarrollables Curvatura Múltiple Irregulares Alabeadas Poliedros se Desdoblan No Desarrollables Doble Curvatura SUPERFICIES GEOMETRICAS 07/04/07 SUPERFICIES REGLADAS: Todas las superficies en las cuales se puede considerar una generatriz recta (por traslación y rotación) se denominan regladas. Cilindro Cono Se denominan desarrollables a las que se pueden transformar en un plano, sin deformar la longitud de las generatrices. Ej. Cilindros y conos. SUPERFICIE DE UN CILINDRO SUPERFICIES REGLADAS ALABEADAS: También llamadas de doble curvatura son Superficies que se pueden desarrollar solo aproximadamente y por secciones. Si suponemos algunos movimientos de una recta en el espacio guiándose por ciertas directrices obtendremos la generación de superficies regladas por ejemplo las siguientes: CONOIDES, HIPERBOLOIDES DE REVOLUCIÓN, PARABOLOIDE HIPERBÓLICO, HELICOIDE Y CONVOLUTA. CONOIDES: Otra forma de desarrollar superficies regladas alabeadas es la desplazar rectas sobre rectas y curvas, o sobre dos arcos invertidos. Estas sugerentes e imaginativas superficies regladas quedan determinadas en el espacio por una recta, un plano perpendicular a ella y una curva. Están formadas por todas las rectas que se apoyan ordenadamente en la recta dada y en los puntos correspondientes de la curva fijada, y todas las rectas son paralelas al plano dado. Podríamos considerar (y de ahí procede el nombre) que esas superficies extienden el caso de los conos, ya que sus rectas generatrices no pasan por un vértice, sino por toda una recta directriz. Las superficies conoidales están presentes en la naturaleza vegetal, especialmente en las hojas y en las flores, en las que la materia fibrosa tiende a adoptar la forma de una superficie conoidal entre los tallos rectos centrales y las curvas que delimitan los perfiles externos. Con cordeles elásticos, doblando papel, con alambres o con barro o yeso, es posible hacer modelos creativos de esas superficies, y, según la curva considerada, los efectos son sorprendentes. Arq. M.A. Edwin Francisco Valdez 3/14 SUPERFICIES GEOMETRICAS 07/04/07 Arq. M.A. Edwin Francisco Valdez 4/14 HIPERBOLOIDES DE REVOLUCIÓN: Si una recta gira alrededor de un eje al cual no-corta o intercepta pero tampoco es paralelo (rectas no tiene la misma dirección) a la superficie que genera se le llama hiperboloide de revolución. También se pueden dar siguiendo trayectorias no circulares, por ejemplo elípticas. SUPERFICIES GEOMETRICAS 07/04/07 PARABOLOIDE HIPERBÓLICO: Las superficies de paraboloide hiperbólico pueden sé consideradas tanto como las generadas por una recta que se desplaza sobre dos rectas no paralelas o como la superficie generada por una parábola (generatriz) que se desplaza sobre otra parábola (Directriz) estando ambas en planos perpendiculares. Arq. M.A. Edwin Francisco Valdez 5/14 SUPERFICIES GEOMETRICAS 07/04/07 Por el hecho de tratarse de una superficie reglada en dos direcciones (no desarrollable) que forma conjuntos de rombos, es posible aislar segmentos con cuatro bordes rectos, que se proyectan sobre un plano horizontal, en forma de un cuadrilátero, en el cual podemos considerar a dos bordes opuestos como las dos rectas directrices, sobre las que se desplaza la generatriz. Cualquier par de rectas no paralelas (en planos paralelos o no) pueden servir de directrices, lo que implica que podemos tener como proyecciones de segmentos de parábola o hipérbola, sobre planos cualquier Cuadrilátero. Algunos ejemplos de combinaciones para producir elementos espaciales de aplicación en arquitectura. El romboide se encuentra sobre el plano horizontal, lo mismo que dos de sus vértices. También puede tener 3 vértices apoyados sobre el plano horizontal, y también los bordes no forzosamente tienen que ser rectilíneos, a sí como las distancias entre sus vértices no tienen que ser iguales. Arq. M.A. Edwin Francisco Valdez 6/14 SUPERFICIES GEOMETRICAS 07/04/07 HELICOIDES Superficie cuya generatriz se mueve apoyándose en una hélice fija. Un helicoide es una superficie generada por el movimiento de una recta que se mueve paralela a un plano y se apoya en una recta perpendicular a éste y en una hélice asociada a un cilindro perpendicular al plano y que tiene como eje central la recta fijada. Así, pues, se origina al provocar un movimiento helicoidal (rotación, en torno al eje, compuesta con translación de dirección paralela a éste). Por tanto, estamosante la típica forma de la superficie inferior de una losa de escalera de caracol, tan fácilmente construible con madera, piedra. La pendiente constante de la hélice es el punto clave para entender el uso del helicoide como escalera. Arq. M.A. Edwin Francisco Valdez 7/14 SUPERFICIES GEOMETRICAS 07/04/07 RAMPAS HELICOIDALES. O ”helicoide desarrollable”, es la superficie que nace a partir de un cilindro y una hélice fijada a la superficie cilíndrica, considerando todas las rectas tangentes a la hélice. La rampa helicoidal puede apoyarse sobre rectas del helicoide interior al cilindro prolongadas hacia fuera. La rampa helicoidal admite un sencillo modelo de cartulina: para formar la rampa se hace una corona circular con pequeños cortes que permiten la flexión de la cartulina. Arq. M.A. Edwin Francisco Valdez 8/14 LA CONVOLUTA: Es una superficie reglada engendrada por una línea recta tangente a una hélice SUPERFICIES GEOMETRICAS 07/04/07 SUPERFICIE CURVA SUPERFICIE CURVA: Superficie engendrada por la rotación de una línea curva (Generatriz) que rota alrededor de un eje al cual puede cortar, interceptar o no. Para su estudio se subdividen en sinclásticas y anticlásticas. SUPERFICIE CURVA SINCLÁSTICA: Es la superficie que tiene una doble curvatura pero en el mismo sentido. Dentro de estas podemos encontrar la esfera, toro, Bóvedas, cúpulas y Elipsoides. LAS CURVAS DE UNA SUPERFICIE: Si sé intercepta un par de planos perpendiculares entre sí, con una superficie curva, pueden presentarse 1 ó 2 líneas curvas. Por ejemplo una superficie cilíndrica. También cuando se hace girar esta línea alrededor de un eje de simetría secante a la curva (toca a la curva en dos puntos) esta genera una superficie sinclástica llamada elipsoide. Arq. M.A. Edwin Francisco Valdez 9/14 http://www.arrakis.es/~bbo/geom/cili2.htm SUPERFICIES GEOMETRICAS 07/04/07 También se producen superficies Sinclásticas (doble curvatura pero en el mismo sentido) cuando una curva cerrada gira alrededor de un eje externo (que no tiene intersección con la curva) produciendo roscas, donas llamado toro. La bóveda es también una superficie sinclástica generada por una línea curva que se traslada sobre dos directrices (líneas rectas paralelas), también son consideradas como segmentos de un cilindro generado por un arco que se traslada. Dependiendo del arco generatriz podemos tener diferentes tipos de bóvedas así: De ½ punto, circular, rebajada. Elíptica, peraltado, etc. Arq. M.A. Edwin Francisco Valdez 10/14 SUPERFICIES GEOMETRICAS 07/04/07 También la cúpula es considerada una superficie sinclástica engendrada por una línea curva (Generatriz) que gira alrededor de un eje que intercepta a la curva en el centro. Dependiendo de la forma de la curva a sí será el nombre de la superficie de la cúpula generada. (Cúpula Esférica, Elíptica, rebajada, apuntada Etc.) SUPERFICIE CURVA ANTICLÁSTICA: Es la superficie que tiene una doble curvatura pero NO el mismo sentido. Dentro de estas podemos encontrar la Tinaja y las alabeadas compuestas. Arq. M.A. Edwin Francisco Valdez 11/14 La parte interna de un toro es también una superficie anticlástica ( doble curvatura en ambos sentidos) y se da cuando una curva abierta gira alrededor de un eje exterior, siendo esta curva una parábola, hipérbola o cualquier arco. SUPERFICIES GEOMETRICAS 07/04/07 BIBLIOGRAFÍA ALSINA, Claudi; GÓMEZ, Josep: «Gaudí: geometría, estructura i construcción». Any Internacional Gaudí 2002. Barcelona: Instituto de Cultura de Barcelona / Ayuntamiento de Barcelona / Editorial Planeta, 2002. Arq. M.A. Edwin Francisco Valdez 12/14 SUPERFICIES GEOMETRICAS 07/04/07 Arq. M.A. Edwin Francisco Valdez 13/14 SUPERFICIES GEOMETRICAS 07/04/07 • Museo de Arte de Milwaukee (Estados Unidos) • El Quadracci Pavilion es una adición al museo, creada por el arquitecto español Santiago Calatrava e inaugurada en 2001. El vestíbulo de entrada alcanza los 27 m de altura y está cubierto por una pantalla solar que asciende • Museo de las Ciencias Príncipe Felipe • Este espectacular edificio es uno de los tres diseñados por Santiago Calatrava dentro del complejo científico-cultural de la Ciudad de las Artes y las Ciencias de Valencia Arq. M.A. Edwin Francisco Valdez 14/14 LAS SUPERFICIES GEOMETRICAS HELICOIDES
