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Facultad de Arquitectura Curso: Geometría Primer Semestre de 2007 Arq. M.A. Edwin F. Valdez C. POLÍGONOS: Decíamos anteriormente que se le llaman a los que tienen muchos ángulos y por lo mismo muchos lados ya que éstos al intersectarse forman los ángulos; aunque pueden existir también polígonos abiertos, aquí estudiaremos únicamente los cerrados y éstos pueden clasificarse en REGULARES, SEMIRREGULARES E IRREGULARES. POLÍGONOS SEMIRREGULARES: Se les denominan a aquellos que no son regulares (lados y ángulos iguales), pero que cumplen una de las condiciones de los regulares y los hay de tres tipos: SEMIRREGULARES POR ANGULOS: También llamados EQUIÁNGULOS son aquellos polígonos que tiene ángulos iguales pero lados no. SEMIRREGULARES POR LADOS: También llamados EQUILÁTEROS, son aquellos polígonos que pueden tener lados iguales aunque ángulos no. ARQ. M.A. EDWIN FRANCISCO VALDEZ CONTRERAS PAGINA 1 SEMIRREGULARES POR ORDEN: Se les denomina así, cuando son susceptibles de tener al menos un eje de simetría, aunque sus lados y sus ángulos no sean iguales. Podemos además reconocer en esta categoría los polígonos que presentan un orden y una forma definida y/o reconocible fácilmente: Podemos obtener también polígonos semirregulares, modificando los polígonos regulares, y se pueden lograr de las formas siguientes: Los Primeros llamados POLÍGONOS MODIFICADOS, los cuales se obtiene de adicionar o sustraer partes a los polígonos regulares. ARQ. M.A. EDWIN FRANCISCO VALDEZ CONTRERAS PAGINA 2 Y los Segundos llamados POLÍGONOS ESTRELLADOS: Estos se derivan de los regulares los cuales se pueden obtener de dos formas, una es por la prolongación de los lados de polígono hasta que se intersecten esas prolongaciones, esto se puede hacer con todos los polígonos con excepción del triangulo y el cuadrado, pues en el triangulo las prolongaciones divergen y en el cuadrado son paralelas. En el pentágono las prolongaciones se cortan una vez y luego divergen, mientras que en el hexágono, las prolongaciones se cortan una vez y luego continúan paralelas, por lo que se dice que son estrellados por una pulsación (vez), cuando las prolongaciones se cortan dos veces se dice que son de dos pulsaciones, etc. ARQ. M.A. EDWIN FRANCISCO VALDEZ CONTRERAS PAGINA 3 La otra manera de generar polígonos estrellados es por medio de trazar todas sus diagonales. Como podemos observar, las ventajas de los polígonos semirregulares, modificados y estrellados son que por mantener un orden, podemos obtener formas nuevas, sin que por ello se dificulte la medición del perímetro y de su área, aparte de que el trazo para su edificación será sustancialmente sencillo y controlado. El cálculo del área de los polígonos semirregulares se plantea como la división o encuadre del mismo en cuadriláteros y triángulos, calculando el área de los mismos y sumándolas o restándolas según sea el caso. POLÍGONOS IRREGULARES: Se les denomina así a todos aquellos que, ni tienen lados iguales, ni ángulos iguales, ni orden reconocible. En Arquitectura generalmente estos polígonos solamente los describen los terrenos, fincas, cuyos lados se obtuvieron por accidentes naturales y trazos de caminos; pero como es sobre ellos que se hacen las intervenciones arquitectónicas, es necesario poder trazarlos, medirlos (dimensionarlos y calcular su área). Para el efecto nos valemos de las coordenadas rectangulares o cartesianas y las coordenadas polares. ARQ. M.A. EDWIN FRANCISCO VALDEZ CONTRERAS PAGINA 4 El ángulo que utilizamos en las coordenadas polares, lo definimos en relación a los polos y puede ser rumbo o azimut. El rumbo es un ángulo menor de 90° y se expresa por medio de las direcciones de los puntos cardinales, puede ser por lo tanto relacionado con los 4 cuadrantes del sistema coordenado, así: Noreste (NE) primer cuadrante, Noroeste (NW) segundo cuadrante, Suroeste (SW) tercer cuadrante y Sureste (SE) cuarto cuadrante. El Azimut es un ángulo medido siempre desde el norte y puede ser hasta de 360°. Para calcular el área de un polígono irregular se utilizan las coordenadas de sus vértices utilizando para ello el procedimiento llamado “PRODUCTOS CRUZADOS” que no es más que la semidiferencia de los productos cruzados de las coordenadas cartesianas totales. Y se procede así: Usando la formula: Ap= ΣM - ΣΝ 2 Trace un polígono Cerrado con las siguientes coordenadas: PUNTO M X Y N 1 14.20 10.00 2 4.50 58.30 3 50.00 70.00 4 60.00 20.00 1 14.20 10.00 ΣM= ΣΝ= PRODUCTOS CRUZADOS COORDENADAS TOTALES Tabla ya resuelta previo a aplicar la formula para calcular el área. PUNTO M X Y N 1 14.20 10.00 2 45.00 4.50 58.30 827.86 3 2915.00 50.00 70.00 315.00 4 4200.00 60.00 20.00 1000.00 1 284.00 14.20 10.00 600.00 ΣM= 7444.00 ΣΝ= 2742.86 COORDENADAS TOTALES PRODUCTOS CRUZADOS Ap= ΣM - ΣΝ 2 Ap= 7444.00 -2742.86 2 Ap= 2350.57m2 ARQ. M.A. EDWIN FRANCISCO VALDEZ CONTRERAS PAGINA 5 CONGRUENCIA, SEMEJANZA Y EQUIVALENCIA: Decimos que dos polígonos son congruentes, cuando son exactamente iguales, así sus lados y sus ángulos son iguales, por lo tanto su área también lo es. Dos polígonos son Semejantes cuando sus ángulos correspondientes son iguales, pero sus lados son solamente proporcionales, su área es diferente. Sean dos polígonos convexos con igual número de lados, tales que los ángulos interiores correspondientes son CONGRUENTES y las razones entre los lados homólogos son iguales, entonces dichos polígonos son SEMEJANTES. Los lados se dicen homólogos si están comprendidos entre dos ángulos respectivamente congruentes. En la figura, los lados correspondientes en los polígonos son todos homólogos. Dos polígonos se dirán congruentes, si son semejantes y además sus lados homólogos son de igual medida. ARQ. M.A. EDWIN FRANCISCO VALDEZ CONTRERAS PAGINA 6 Son EQUIVALENTES cuando a pesar de tener forma diferente, tienen igual área. Esta es una propiedad física interesante de las figuras planas. Los casos más simples de equivalencia son los que se dan con Siguientes triángulos. Los triángulos ABC, ABD y ABE son equivalentes. Por tener la misma base AB y altura (los puntos C, D y E estás situados en una paralela a la base AB), su área será la misma. En el caso de querer realizar un triángulo equivalente a otro ABC, pero de distinta base AD, se procederá de la siguiente manera: Se lleva la base AD sobre la base AB del triángulo original. Se traza una paralela por el vértice C a la base AB, que cortará a la perpendicular en el extremo A de la base, en el punto E. Se traza la paralela BF a DE. Por el teorema de Tales se cumplirá que AF · AD = AB · AE, lo que indica que los triángulos ABC y ADF tienen igual área. Cualquier triángulo que tenga de base AD y su otro vértice G en la paralela a AD por F, tendrá el mismo área que el triángulo original ABC. ARQ. M.A. EDWIN FRANCISCO VALDEZ CONTRERAS PAGINA 7
