¿Cómo calcular el área de un polígono regular si solamente se tiene la longitud de los lados?

El área de cualquier polígono regular se puede calcular multiplicando el perímetro por el apotema y dividiendo por 2.

A=P⋅ap2A=P·ap2

Lo que debemos hacer es calcular la longitud del apotema, eso se resuelve fácilmente por trigonometria.

Sea nnel número de lados y LL la longitud del lado. El polígono se puede dividir en n triángulos isósceles y a su vez cada uno de estos en dos triángulos rectángulos iguales. En cada uno de estos últimos tendremos un cateto que es el apotema y otro que es la mitad del lado, asimismo sabemos el ángulo del triángulo que da al centro del polígono que es:

α=360ºn2=180ºnα=360ºn2=180ºn

Con esto podremos calcular la hipotenusa

h=L2senα=L2senº,αh=L2senα=L2senº,α

Y una vez conocida la hipotenusa podemos conocer la longitud del otro cateto que es el apotema

ap=hcosα=L2senα⋅cosα=L2⋅ctgαap=hcosα=L2senα·cosα=L2·ctgα

Finalmente vamos a la fórmula del área.

A=P⋅ap2=n⋅L⋅L2⋅ctgα2=A=P·ap2=n·L·L2·ctgα2=

n⋅L24⋅ctgα=n·L24·ctgα=

n⋅L24⋅ctg(180ºn)n·L24·ctg(180ºn)

O si eres como yo que odia la cotangente, aparte de que no sale en las calculadoras.

A=nL24tg(180ºn)A=nL24tg(180ºn)

Se distingue muy mal en el LaTeX de esta página la llcomo longitud del lado, voy a cambiarla por L.L. Es un LaTeX bastante flojo.

ctgctg es cotangente, para los que sólo usen la abreviatura anglosajona de esta.