¿Por qué las rectas se definen como los círculos máximos "en una esfera" y no como los paralelos al ecuador?

Comenzaré con una imagen que me parece útil para explicar.

Se trata de una imagen que muestra el planeta Tierra en una vista que muestra el Polo Norte y gran parte del hemisferio norte, el cual contiene no solamente la mayor parte de la superficie con tierra, no mar, y este hemisferio contiene la mayor cantidad de población.

Además, esta vista está más o menos centrada en el Océano Atlántico de forma que se aprecian bastante bien buena parte de los países hispanohablantes (ya que esta pregunta es de Quora en Español) y los principales angloparlantes (principal idioma de Quora en general). No solo eso, sino que incluye en color negro paralelos de los que trata la pregunta, así como meridianos y en color rojo una ruta entre dos puntos del planeta aproximadamente situados en el mismo paralelo, a la izquierda California junto al norte de México y a la derecha Israel y Líbano. No se si se aprecia bien, pero esa línea roja resulta ser más corta que la línea negra del paralelo de latitud 30° N que uniría también los mismos puntos. ¿Porqué digo "latitud 30° Norte"? Si miramos el meridiano que cruza el Atlántico sin cruzar Sudamérica observamos a simple vista que hay 3 arcos de la misma longitud y el arco desde el Polo Norte hasta la línea de ecuador son 90°. Si siguiésemos hasta el Polo Sur serían otros 90° y si siguiéramos la misma circunferencia de sur a norte serían otros 180° que hacen la vuelta completa, 360° de circunferencia. Por tanto, por geometría básica, arcos iguales corresponden a ángulos iguales y si hay 3 ángulos iguales que suman 90° entonces cada uno debe ser 30° necesariamente. El ecuador es lo que se llama latitud 0°, después el paralelo que pasa casi por norte de México - Miami - Marruecos - Egipto - Israel sería latitud +30° = 30°N y el último más al norte sería latitud 60° N y pasaría por Alaska - Canadá - costa sur de Groenlandia - costa norte del Reino Unido - sur de Suecia - costa sur de Finlandia y norte de Estonia al este del Mar Báltico.

También ponemos poner nombre a los meridianos, si somos un poco observadores y sabemos que el meridiano 0, también llamado Meridiano de Greenwich pasa por Inglaterra y por el este de España. Y observamos que del Polo Norte parten 12 líneas, o dicho de otra forma 12 ángulos iguales, así que 360°/12 = 30°. Por tanto, el meridiano del Atlántico que dije antes es exactamente el de longitud 30° Oeste = -30° = 30° W y el que pasa por el oeste de Groenlandia, el este de Canadá y el centro de Sudamérica sería -60° y luego el que pasa por Centroamérica -90° y el que pasa por California -120° y el siguiente pasa por el punto más al oeste del oeste americano sería -150°. Pues bien, estos -150° son opuestos al meridiano +30° = -150+180° = 30° E que corresponden a Finlandia, Turquía (al este del Mediterráneo) y Egipto.

¿Por qué todo esto? Pues porque en el paralelo más al norte se aprecia aún mejor la diferencia de distancias. Si pensamos en viajar desde 150° W 60° N (Alaska) hasta 30° E 60° N (sur de Finlandia) hacerlo por el paralelo sería seguir media circunferencia mientras que hacerlo por el meridiano sería casi recorrer un diámetro de esa circunferencia. Si queremos ser más exactos, resultan ser cálculos sencillos. Por trigonometría el coseno de 60° resulta que es 0.5 = 1/2 y esto significa que la longitud del radio de ese paralelo es la mitad del radio de la Tierra y la longitud de la semicircunferencia sería la mitad de la semicircunferencia terrestre, es decir la cuarta parte de 40 000 km que son 10 000 km. Pero, por otra parte, por el meridiano que pasa por el Polo Norte serían 30° hasta llegar al Polo Norte y otros 30° para continuar dirección sur hasta Finlandia serían un total de 60° de circunferencia máxima, es decir 60/360 * 40000 = 20 000/3 = 6667 km. Es decir, por la circunferencia máxima la distancia es 1/3 menos, o visto al revés, ¡¡en este ejemplo por el paralelo 60° sería un 50% más de distancia!!

Llegados aquí, quizá el que hizo la pregunta y algún otro se esté tirando de los pelos (suerte, porque yo no tengo) y esté pensando: vale, por la cincunferencia máxima se llega antes… o hay una menor distancia, quizá no era necesario explicarlo tanto… pero una cuestión más profunda es por qué usamos curvas de distancia mínima en esta geometría esférica como líneas o caminos análogos a las líneas rectas de la geometría euclídea como pueda ser la de un plano. Eso lo dejo para después de la publicidad. Es broma, pero me pareció mejor dejarlo para el final.

Y es que ya que hablé de distancias mínimas y de paralelos me pareció conveniente ampliar un poco de información introduciendo algunos términos y conceptos.

En geometría, en matemáticas, los caminos mínimos por una superficie curva se llaman líneas geodésicas, lo cual es más amplio que el caso de la esfera. Sin embargo, en navegación marítima o aérea se llaman líneas ortodrómicas, término aplicado para la superficie terrestre.

Y resulta que los paralelos también corresponden a otro tipo de concepto de navegación, son un caso de lo que se llama líneas loxodrómicas, las cuales en general son líneas de rumbo constante. Se verá mejor en la siguiente imagen:

En esta última imagen se ve la diferencia entre ortodromía (línea de mínima distancia) y loxodromía (línea de rumbo constante, entendido el "rumbo" como un ángulo respecto a la dirección norte). En la siguiente imagen un ejemplo más límite donde se verá más claro:

En esta última imagen se muestra una ruta loxodroma. Se puede observar que en cada punto de la ruta el ángulo con la dirección norte geográfico es siempre el mismo, beta, que pueden ser unos 60° respecto al norte. Aunque el norte magnético, el que indica la brújula, no coincide exactamente con el geográfico (definido por el eje de giro del Planeta Tierra) si siguiésemos una misma "dirección de brújula" se seguiría una curva de ese estilo dirigida hacia ese norte magnético. Se observa que el camino es de tipo espiral, y que a simple vista se ve que es un camino mucho más largo que seguir la dirección norte por el meridiano, camino que llevaría casi al mismo lugar. ¿Por qué se usaban si hacían que el camino fuese más largo? Supongo que porque antiguamente no había GPS ni computadoras de abordo y se guiaban por la brújula y las estrellas [1] , que permitían saber el ángulo con el norte y mantenerlo constante mientras que calcular la ruta de mínima distancia y ejecutarla cambiando continuamente el ángulo que marca la brújula era más problemático.

Aparte de la brújula, otro instrumento básico para navegación fueron los mapas y estos pueden ser otro punto de confusión en esta pregunta. Un señor alemán llamado Gerhard Kremer inventó un mapa en el que las líneas rectas sobre el mapa eran siempre loxodrómicas. Pero a ese señor se lo conoce más como Mercator, nombre que es una latinización del su apellido, que significa "tendero". Kremer, equivalente cognado de Kramer (otro matemático es Cramer, aunque este era Suizo) era el nombre en antiguo alemán de la persona que atendía en una "kram", que era el nombre dado a las tiendas de campaña, que eran las construcciones ambulantes para vender alimentos en los mercados, típicamente alimentos frescos como verduras o leche. Supongo que por eso en español también se usa la misma palabra para "tienda" (de vender productos) y tienda de campaña, así como la palabra "tendero".

La proyección Mercator es como la cilíndrica pero estirando en vertical para que se conserven las loxodrómicas como rectas. En la cilíndrica cada incremento de ángulo de latitud supone un mismo incremento de altura en el mapa. En Mercator se estiran más las alturas (eje Y) cuanto más cerca esté de cada uno de los polos y de esa forma Groenlandia parece mayor que África cuando en realidad es mucho menor.

Esta imagen es un mapa de Mercator completo, y digo completo porque muchas veces no se muestra la Antártida o no se muestra entera y porque al estar duplicado el mapa permite dibujar rectas más cortas entre puntos cualesquiera. Cada paralelo aunque estén a distintas distancias es un mismo incremento de ángulo de latitud y si se cuentan en la imagen son 18 intervalos para cubrir 180° de latitud, así que cada uno son 10°. Y la línea roja sería una ruta que podría ir de México a Reino Unido o a Suecia. Esta ruta que en el mapa podría parecer que tiene que ser el camino mínimo en realidad es como la espiral de la imagen anterior y dista bastante de ser la ruta más corta, sería una loxodrómica, de rumbo fijo, unos 60° respecto al norte. Este tipo de mapas o transformaciones que mantienen los ángulos se denominan conformes.

El caso es que también existen mapas de camino mínimo con rectas. El siguiente mapa es una proyección gnomónica [2], también llamada proyección central, ya que se construye en torno a un punto central, en este caso el Polo Norte.

Fue ideado por Tales, alrededor del año 580 a. C., en la Antigua Grecia, aunque lo pensó para hacer mapas estelares. Uno de los inconvenientes es que no puede mostrar el mapa completo del planeta, ni siquiera de un hemisferio completo, solamente una parte, en este caso una extensión de 60° de latitud. Este tipo de mapas que mantienen las distancias se llaman "equidistantes". Y en matemáticas se llamara isometría. Los círculos máximos se transforman en rectas. Un piloto aéreo puede trazar la ruta de camino mínimo entre dos puntos dibujando simplemente una recta entre esos dos puntos. En este caso de centro en Polo Norte los paralelos resultan ser circunferencias pero en general los círculos no máximos de la esfera se transforman en curvas cónicas, como elipses y parábolas.

Aunque creo que ya hablé demasiado de mapas, si se da el improbable caso de que alguien quiere más puede ver una extensa respuesta que escribí:

Volvamos al asunto central de la pregunta. ¿Por qué se usan caminos de distancia mínima en un espacio de geometría esférica como líneas análogas a las líneas rectas del plano euclídeo?

Un punto importante lo mencionaron y : las rectas o segmentos del plano se definen unívocamente con dos puntos diferentes: para cada dos puntos diferentes debe haber una recta y solo una. Sin embargo, si eligiésemos los paralelos para el concepto de "recta" habría puntos como San Diego, California, EEUU (latitud 32°N) y Estocolmo, Suecia (latitud 59°N) que no estarían en el mismo paralelo. Eso de tener parejas de puntos para los que no se defina ninguna línea que los une no cuadra con una concepción geométrica general. Pero aún hay más: quizá en el planeta Tierra nos parezca muy natural definir dos puntos especiales llamados Polo Norte y Polo Sur pero en realidad el concepto general y matemático de esfera no tiene puntos especiales. Una esfera es una superficie con simetría rotacional cuya rotación se puede definir con dos rotaciones o ángulos, como pueden ser el ángulo de latitud y el ángulo de longitud. Pero el caso es que una esfera general que representa objetos como una pelota de ping-pong, una bola blanca de billar o una canica metálica no tiene puntos especiales en la superficie, aunque hay un punto especial que no pertenece a la superficie: el centro de la esfera. Casualmente, o no tantito, la unión de dos puntos diferentes de la superficie esférica con ese tercer punto especial, el centro de la esfera, forma un conjunto de 3 puntos que nunca son colineales y definen siempre un único plano, cuya intersección con la esfera resulta ser una circunferencia de radio máximo, el radio de la esfera. La propia simetría de la superficie esférica ya nos da una pista para determinar esos círculos máximos como candidatos. También podemos pensar otro aspecto similar: dos puntos de una superficie bidimensional esférica también pueden verse como puntos de un espacio euclídeo de tres dimensiones (3D ) y se puede trazar una línea recta entre ellos de acuerdo a la concepción euclídea. Un ejemplo sencillo sería que por el Polo Norte y el Polo Sur pasa una y sola una recta euclídea llamada normalmente "eje de rotación terrestre". Pero esto de pasar una recta euclídea 3D por dos puntos de la superficie esférica puede hacerse con cualquier par de puntos… como quien atraviesa una naranja con una aguja (recta).

Ahora pensemos que esa recta 3D, como cualquier recta 3D, está contenida en infinitos planos 3D. Y la intersección de cada uno de estos planos con la esfera es siempre una circunferencia (es más, toda circunferencia de una esfera, como buena circunferencia que es, pertenece a único plano). Si el plano pasa además por el centro de la esfera la circunferencia será máxima y si no pasa por él no será máxima. En el ejemplo de los polos, o, en general, lo que se llaman puntos antipodales (en las antípodas uno del otro), la recta contiene el centro y, por tanto, en estos casos todos los planos contienen el centro y las circunferencias son siempre máximas, pero en otros casos habrá un único plano perpendicular al único que pasa por el centro que nos dará circunferencias mínimas (las de menor radio de todas las que pasan por los dos puntos no antipodales). Al existir una única circunferencia mínima es otro caso especial diferente a los demás que es determinado unívocamente (salvo antipodales) por dos puntos y al ser esa una condición importante que dije al principio de este parrafazo podría ser hipotéticamente otro candidato. Sin embargo, en geometría plana la línea recta es lo que en matemáticas se llama una geodésica, es decir, una línea de camino mínimo así que de esos dos candidatos apuntaría hacia los círculos máximos y no los mínimos. Y todo apunta en la misma dirección porque, por otro lado, no es difícil observar que entre estos dos candidatos la curva que más se asemeja o acerca a la recta 3D es precisamente la de radio mayor y no la de radio menor. Cuanto mayor es el radio más "recto" es un arco… el límite cuando el radio tendiese a infinito sería una recta.

Y esto de los límites nos lleva a otras ideas más abstractas: la geometría diferencial… Por un lado hay superficies que en el límite de lo pequeño tienden a parecerse a geometrías planas o euclídeas en general, serian superficies diferenciables. Pero la geometría diferencial estudia lo que se llaman variedades diferenciables, que va más allá del concepto de superficie. Por ejemplo, el concepto de superficie se asocia a 2 dimensiones, como sería el caso de la esfera, pero el concepto de variedad generaliza para cualquier tipo de dimensiones: 1 dimensión, 4 dimensiones, etc… No soy experto en este área de las matemáticas pero por lo visto dentro del cálculo de variaciones se habla del Principio de acción estacionaria [3] que es un concepto más amplio que el Principio de mínima acción, ya que no siempre hay mínimo, y todo esto se relaciona con el camino mínimo pero es mucho más profundo e interesante, relacionándose con toda la física y en particular con relatividad y cuántica. Por ejemplo, la luz parece ir por el camino mínimo de un espacio de 4 dimensiones (relacionado con el Principio de tiempo mínimo de la Óptica, descubierto por Fermat), iría por la geodésica y por eso parece seguir trayectorias curvas aunque no tenga masa, como si la luz fuese atraída por campos gravitatorios. Igualmente los planetas giran alrededor del Sol porque van por la geodésica de un espacio curvado, no euclídeo. Y en el caso de la cuántica podemos pensar en el experimento de la doble rendija donde las partículas de alguna forma parecen pasar por dos caminos a la vez. Feynman se interesó especialmente por las integrales de camino para explicar fenómenos cuánticos. Me acordé de esto al pensar que entre el Polo Norte y el Polo Sur no hay un solo camino mínimo sino infinitos. En este sentido los puntos antipodales no cumplen aquella propiedad deseable de que por dos puntos pase una única geodésica, aunque sí se cumple que la distancia mínima es un valor único. Si colocamos a personas tomadas al azar en el Polo Norte (con el frío que hace) y les decimos que vayan al Polo Sur no tendrían por qué tener una preferencia por un camino sobre otro, aunque puede haber variables ocultas y el chino vaya por China mientras que el estadounidense vaya por su tierra.

Notas al pie