.

Entiendo que se supone en esta pregunta -implícitamente- que a y b son enteros positivos.

El máximo común divisor de a y b, a veces designado MCD (a,b), o bien GCD (a,b) (en inglés, por Greateast Common Divisor) en teoría de números, sin embargo, es costumbre representarlo tan solo por (a,b).

En general, si n es cualquier entero positivo impar, siempre es aⁿ + bⁿ divisible (algebraicamente) por a + b (válido para a y b reales o incluso complejos, siempre que sea a + b≠0) ; el cociente proporciona una identidad notable, y bien conocida:

(aⁿ + bⁿ) / (a + b) = aⁿ⁻¹ - baⁿ⁻² + b²aⁿ⁻³ -…+ bⁿ⁻¹ (*)

[Naturalmente, si n = 1, el segundo miembro se reduce a un término: a⁰ = 1;

solo a partir de n impar ≥ 3 tiene sentido la fórmula (*) ].

Hay 1001 maneras de demostrar la identidad (*), aptas para ser narradas por Scheherazade, una cada noche… pero una manera muy sencilla es emplear la Regla de Ruffini, que suele usarse para todo, en el bachillerato, excepto para lo que de verdad sirve. También es factible demostrarla por inducción; incluso la división directa de polinomios conduce a este resultado. Más aún, pueden sumarse todos los términos del segundo miembro considerándolos como suma de los primeros n términos de una progresión geométrica, de primer término aⁿ⁻¹ y razón -b/a. Y aún la manera menos sutil de todas, multiplicando directamente

(a + b)* (aⁿ⁻¹ - baⁿ⁻² + b²aⁿ⁻³ -…+ bⁿ⁻¹) y comprobando que, en efecto,

el producto es aⁿ + bⁿ.

Por cierto, cuando se toma a = x y b tiende a - x, el límite es, por definición, la derivada de xⁿ, que viene dada por el segundo miembro de la identidad (*), como:

xⁿ⁻¹ + xⁿ⁻¹ + …+ xⁿ⁻¹ [n veces] = nxⁿ⁻¹ . Todo está conectado en este juego infinito.

Pues bien, como por la hipótesis del problema es p primo impar, será p ≥ 3, y tendremos, aplicando la identidad (*):

(aᵖ + bᵖ) / (a + b) = aᵖ⁻¹ - baᵖ⁻² + b²aᵖ⁻³ -…+ bᵖ⁻¹ .

Pero por hipótesis, (a,b)=1; supongamos ahora que a + b y (aᵖ + bᵖ) / (a+b) tengan un divisor primo común, sea q, lo que también implica que q > 1; porque si el único divisor común de a + b y (aᵖ + bᵖ) / (a + b) fuera el 1 ya estaría probado lo que nos piden (que el MCD es 1 ó p; la tilde sobre la o es útil tipográficamente para no confundirla con el cero).

Pues bien, tenemos que q | (a + b) ; q | [(aᵖ + bᵖ) / (a + b)] (&).

Entonces, existirán los enteros positivos A, B tales que:

a + b = qA (1) ; (aᵖ + bᵖ) / (a + b) = qB (2).

Por tanto (identidad (*) ), aᵖ⁻¹ - baᵖ⁻² + b²aᵖ⁻³ -…+ bᵖ⁻¹ = qB (3).

Despejando b en (1) → b = qA - a, y sustituyendo en (3):

aᵖ⁻¹ - aᵖ⁻² (qA - a) + aᵖ⁻³ (qA - a)² -…+ (qA - a)ᵖ⁻¹ = qB (4)

Desarrollando las potencias de los binomios por la fórmula del binomio de Newton, contemos cuántos son los términos en a que no contienen q.

Serán aᵖ⁻¹ + aᵖ⁻¹ +…+ aᵖ⁻¹ (p veces) = p aᵖ⁻¹ ; mientras que todos los demás términos del primer miembro de (4) son múltiplos de q. Luego (4) se reduce a:

paᵖ⁻¹ + múlt. q = qB → paᵖ⁻¹ = múlt. q - múlt. q = múlt. q.

Así que q | (p aᵖ⁻¹ ) (&&).

Pero q es primo con aᵖ⁻¹; en efecto, q debe ser primo con a, porque si q tuviera algún factor común (mayor que 1) con a, por ser q primo (absoluto), sería:

q | a, junto con (&), daría q | (a + b), q |a → q divide a la diferencia → q |b, CONTRADICCIÓN, puesto que suponíamos por la hipótesis del problema que (a,b) = 1. Esto prueba que, efectivamente, q es primo con a.

Pero en general, (q, a) = 1 implica q primo con toda potencia de a, porque

si un número es primo con varios es primo con su producto (uno de los teoremas básicos de divisibilidad de Euclides), y como q es primo con:

{a,a,a…[k números iguales]…,a} → (q, aᵏ) =1, como afirmábamos.

Así pues, hemos llegado a la conclusión (&&): q | (p aᵖ⁻¹ ) y (q, aᵖ⁻¹ ) = 1;

por otro de los teoremas de divisibilidad de Euclides, si un número divide a un producto de dos factores, y es primo con uno de ellos, divide al otro factor.

Luego q | p, pero siendo p y q números primos, el único modo de que uno divida al otro, es que sean iguales (al primo p solo le dividen 1 y p) → q = p.

Por tanto, hemos probado que si un número primo es divisor común de

(a + b) y (aᵖ + bᵖ) / (a + b) debe ser igual a p. De este modo, o bien

el máximo común divisor de (a + b) y (aᵖ + bᵖ) / (a + b) es 1 o bien su único divisor primo es p, vale decir, el MCD es una potencia de p, digamos pʳ, con r>0.

Falta demostrar que solo puede ser r = 1.

Replanteamos entonces la identidad

(aᵖ + bᵖ) / (a + b) = aᵖ⁻¹ - baᵖ⁻² + b²aᵖ⁻³ -…+ bᵖ⁻¹ .

Supongamos que (a + b) y (aᵖ + bᵖ) / (a + b) no son primos entre sí, y por lo demostrado, tienen un común divisor potencia de p, del tipo pʳ, con r>0.

Debe ser a + b = pA; aᵖ⁻¹ - baᵖ⁻² + b²aᵖ⁻³ - …+ bᵖ⁻¹ = pB, donde A y B son enteros positivos. Despejando b en la primera igualdad y sustituyendo en la segunda:

b = pA - a →

(aᵖ + bᵖ) / (a + b) = aᵖ⁻¹ - baᵖ⁻² + b²aᵖ⁻³ - …+ bᵖ⁻¹ =

=aᵖ⁻¹ - aᵖ⁻² (pA - a) + aᵖ⁻³ (pA - a)² - …+ (pA - a)ᵖ⁻¹ . Veamos, en este último polinomio, cuáles son los términos independientes de p y luego los que contienen p con exponente 1.

término independiente de p = aᵖ⁻¹ + aᵖ⁻¹ + … + aᵖ⁻¹ [p veces] = p aᵖ⁻¹

términos (agrupados) con p¹ en el desarrollo de los binomios =

= [- aᵖ⁻²A - 2aᵖ⁻²A - 3aᵖ⁻²A -…- (p-1)aᵖ⁻²A ] p →

términos (agrupados) con p¹ en el desarrollo de los binomios =

= -p aᵖ⁻² A [1 + 2 + 3 + …+ p-1)].

Pero la suma de los términos de la progresión aritmética entre corchetes es:

1 + 2 + 3 + …+ (p-1) = p(p-1 )/ 2, luego finalmente:

términos (agrupados) con p¹ en el desarrollo de los binomios =

= -p aᵖ⁻²A * p(p-1)/2 = -p² [aᵖ⁻²A(p-1)/2], donde evidentemente

es (p-1) / 2 entero, porque p es impar, por hipótesis del problema.

Los demás términos de todos los desarrollos llevan p con exponente mayor o igual que 2. Así que su suma, con sus respectivos signos, será de seguro múltiplo de p² . Y como también es múltiplo de p² la suma de los términos que en principio llevaban p con exponente 1, como ya hemos visto, nos quedará:

(aᵖ + bᵖ) / (a + b) = paᵖ⁻¹ + múlt. p² = p aᵖ⁻¹ + p² H, para cierto entero H.

Como p no puede dividir a ninguna potencia de a, como hemos visto antes, tenemos que p aᵖ⁻¹ es múltiplo de p una sola vez (es decir, en su descomposición en factores primos entra p con exponente 1).

Dividiendo ambos miembros de la igualdad anterior por pʳ, que sabemos que divide a la vez tanto a (aᵖ + bᵖ) / (a + b) como a a + b,

(1/pʳ) (aᵖ + bᵖ) / (a + b) = (aᵖ⁻¹ + pH) / pʳ⁻¹ ; pero el numerador de esta última fracción no es múltiplo de p, por ser suma de múlt. p + NO múlt. p ; si fuera

r > 1, no siendo el numerador múltiplo de p¹, a fortiori tampoco lo sería de pʳ⁻¹, cuyo exponente es ≥ 1; así que el segundo miembro de la última igualdad no es entero; sin embargo, esto es una CONTRADICCIÓN, porque sabemos que el primer miembro,

(1/pʳ) (aᵖ + bᵖ) / (a + b) es entero (!!). Luego no es posible r > 1 → r ≤ 1 .

En definitiva, los únicos divisores comunes a los dos enteros:

a + b y (aᵖ + bᵖ) / (a + b)

(en el caso de no ser primos entre sí) son potencias de p de exponente entero positivo r tal que 0 < r ≤ 1, lo que hace forzoso r = 1, que es lo que faltaba por demostrar. Pero como el MCD de a + b y (aᵖ + bᵖ) / (a+b), en particular, es un divisor común, y también p es un divisor común, dicho MCD será mayor o igual que p, potencia de p y menor que p² ; luego obligatoriamente, debe ser igual a

pʳ = p¹ = p.

Ahora sí podemos concluir que, o bien el MCD de a + b y (aᵖ + bᵖ) / (a + b), representado en el enunciado como (a + b, (aᵖ + bᵖ) / (a + b) ), es igual a 1 ó bien es igual a p, y no hay ninguna otra posibilidad.

La demostración está completa.