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Representemos 3 ⁿ+5 ⁿ = m, donde m es entero positivo →

(3 ⁿ- 1) + (5 ⁿ- 1) = 3 ⁿ + 5 ⁿ - 2 = m - 2

La pregunta equivale, pues, a indagar cuándo es m = múltiplo de (m-2).

Antes de seguir, demos cabida en el razonamiento a la intuición aritmética:

cuando un número es tan solo 2 unidades mayor que otro, queda muy poco espacio para que sea múltiplo de él, y solo puede suceder con números muy pequeños, luego el problema solo tendrá una cantidad finita de soluciones.

Ahora, suponiendo que m = k (m - 2), con k entero positivo, despejemos m, en el supuesto de que sea m > 2 (para que el segundo miembro sea positivo):

m (1-k) = -2k → m = 2k/(k-1) → m = 2 + 2/(k - 1) ; de modo que siendo m y 2 números enteros, m - 2 = 2/(k - 1) debe ser entero, para lo cual es necesario y suficiente que sea k-1 divisor de 2 ; como k es entero positivo (k ≥ 1), k-1 será un entero no negativo; pero como 0 no divide a 2 (¡Oh! 2/0, terribilis…), debe ser k - 1 entero positivo que divide a 2 , que es primo; es decir, sus únicos divisores enteros positivos son 2 y 1 .

PRIMER CASO : k - 1 = 2 → k = 3, luego m = 2 + 2/(k - 1) = 2 + 2/2 = 3 .

De manera que, recordando a qué habíamos llamado m,

m = 3 ⁿ+5 ⁿ → 3 ⁿ+5 ⁿ = 3 ; (*)

esta ecuación en n no se verifica para n = 0, pues 3⁰ + 5⁰ = 1 + 1 = 2 ;

esta ecuación en n no se verifica para n = 1, pues 3¹+5¹ = 3 + 5 = 8 ;

Si n > 1, 3 ⁿ+5 ⁿ > 3 + 5 = 8,

de manera que nunca se verifica (*) para ningún n entero positivo y por tanto, si hay alguna solución del problema, desde luego el valor k = 3 no sirve.

SEGUNDO CASO : k - 1 = 1 → k = 2, luego m = 2 + 2/(k - 1) = 2+2/1 = 4 .

Pero entonces será 3 ⁿ+5 ⁿ = 4 ; de nuevo, si n > 1, 3 ⁿ+5 ⁿ > 3 + 5 = 8 > 4, luego

si n > 1 la ecuación (*) no se verifica; mientras que si n = 1, (última posibilidad) →

3¹ + 5¹ = 8 , y tampoco se verifica.

De este modo, la hipótesis de que para cierto entero positivo n sea

3 ⁿ+5 ⁿ = múltiplo de (3 ⁿ- 1) + (5 ⁿ- 1) no se verifica

cuando m = 3 ⁿ+5 ⁿ > 2 , como acabamos de demostrar.

Por tanto, si

3 ⁿ+5 ⁿ es múltiplo de (3 ⁿ - 1) + (5 ⁿ - 1), y ya que siempre es 3 ⁿ+5 ⁿ ≥ 2 cuando n es entero positivo, necesariamente deberá ser

3 ⁿ+5 ⁿ = 2 → n = 0, que es la única posibilidad, puesto que

si n es entero y n > 0, 3 ⁿ+5 ⁿ ≥ 8 ; pero entonces (3 ⁿ - 1) + (5 ⁿ - 1) = 0, y 2 no es múltiplo de cero ( 2 = 0 * x es imposible); en conclusión, llegamos a la

SOLUCIÓN:

Ningún número entero positivo n verifica que

3 ⁿ + 5 ⁿ sea múltiplo de (3 ⁿ - 1) + (5 ⁿ - 1)

OBSERVACIÓN : Tal vez la pregunta esté redactada erróneamente, porque se parece extraordinariamente a otra que ya contesté, y cuyo enlace es éste: