?

¡Me encantan este tipo de preguntas! Normalmente, la gente asume inocentemente que converge, y debe haber un punto fijo; encuentra el punto fijo y voilà, la secuencia converge a ese punto.

Pero eso esto es demsaiado simplificado, como explico y .

Entonces, ¿cuál es la manera más rigurosa?

Este tipo de secuencia es lo que llamamos un sistema dinámico - para entendernos, comprender el comportamiento de series x,f(x),f(f(x)),f(f(f(x)))⋯x,f(x),f(f(x)),f(f(f(x)))⋯, donde xx es un punto inicial de un espacio (generalmente una variedad diferencial), y f es un mapa de ese espacio en sí mismo (normalmente un difeomorfismo). Llamamos a esa secuencia la órbita de xx.

En nuestro caso, la condición inical está definida por los valores iniciales A0A0 y A1A1, así que nuestro espacio parece ser R2R2. Pero si A0A0 o A1A1 es cero, A2A2 no está bien definido, así que deberíamos hacer nuestro espacio el plano menos los dos ejes.

¿Y qué es ff? El mapa f es lo que mapea nuestro estado actual a nuestro siguiente estado. En este caso

f(An−1,An)=(An,An+1)=(An,1/An−1+1/An)f(An−1,An)=(An,An+1)=(An,1/An−1+1/An)

o, renombrando las variables,

f(x,y)=(y,1/x+1/y)f(x,y)=(y,1/x+1/y)

Queremos entender cuál es la dinámica de este mapa. Como la manera simplificada muestra, lo primero es entender los puntos fijos.

f(x,y)=(x,y)⟺y=x=1/x+1/y=2/x⟺x2=2⟺x=y=±2–√f(x,y)=(x,y)⟺y=x=1/x+1/y=2/x⟺x2=2⟺x=y=±2

Así que nuestros puntos fijos son (2–√,2–√)(2,2) y (−2–√,−2–√)(−2,−2).

Lo siguiente es entender cuál es la dinámica cerca de los puntos fijos ¿son sumideros (i.e. las órbitas cerca del punto fijo convergen al punto fijo), fuentes (i.e. las órbitas cerca del punto fijo se alejan de él - i.e., convergen al punto fijo cuando invertimos la "flecha del tiempo") o puntos silla (algunos puntos convergen - la variedad estable, alguos convergen cuando invertimos el tiempo - la variedad inestable, pero la mayoría no hacen ni una cosa ni la otra)?

Pero, ya que ff es diferenciable, muy cerca del punto fijo, ff se comporta como un mapa lineal, la derivada de ff.

(∂fx/∂x∂fy/∂x∂fx/∂y∂fy/∂y)(∂fx/∂x∂fx/∂y∂fy/∂x∂fy/∂y)

En nuestro caso,

(0−1/x21−1/y2)(01−1/x2−1/y2)

Que, en los puntos fijos, vale

(0−1/21−1/2)(01−1/2−1/2)

qur tiene determinante 1/2, así que es o un sumidero (ambos autovalores menores que 1) o silla (un autovalor mayor y el otro menor que 1). En este caso los autovalores son1±7√i41±7i4 , i.e. Un par de autovalores conjugados complejos de norma menor que 1, así que los puntos fijos son "sumideros rotantes".

Así que ahora sabemos que hay entornos de los puntos fijos tal que, si el punto inicial está en el entorno, su órbita converjerá a ese punto. Esto se llama la cuenca de atracción del punto.

Tenemos que entender ahora cuáles son las cuencas de atracción de α+=(2–√,2–√)α+=(2,2) and α−=(−2–√,−2–√)α−=(−2,−2).

Lo primero a señalar es que

f(−x,−y)=−f(x,y)f(−x,−y)=−f(x,y)

Así que la cuenca de α−α− será la imagen especular de la cuenca de α+α+.

Otra propiedad importante es que si (x,y)(x,y) está en el cuadrante (x>0,y>0)(x>0,y>0), f(x,y)f(x,y) también lo está. Por la simetría anterior, lo mismo aplica al cuadrante (x<0,y<0)(x<0,y<0).

Si numeramos los cuadrantes como:

Sabemos que si P∈0P∈0, entoncesf(P)∈0f(P)∈0, y que P∈3⟹f(P)∈3P∈3⟹f(P)∈3.

Ahora, si P=(x,y)∈1P=(x,y)∈1, entonces y<0y<0, lo que implica que f(P)=(y,1/x+1/y)f(P)=(y,1/x+1/y) tendrá la primera coordenada negativa, i.e. estará en 22 o 33. Y de hecho puede estar en cualquiera, dependiendo de si |x|>|y||x|>|y| o no. Simétricamente, si P∈2P∈2, f(P)f(P) estará en 00 o 11.

Poniendo todo esto en un gráfico, tenemos

Y ahora cada órbita se corresponde con una secuencia de símbolos 0, 1, 2, o 3, correspondientes a los distintos cuadrantes por los que pasa la órbita. Este tipo de análisis se llama dinámica simbólica, y es una herramienta muy útil para entender sistemas dinámicos.

Mirando al gráfico superior vemos que las únicas posibles secuencias que tenemos son:

1. Un número finito (puede que ninguno) de 1’s y 2’s alternando que termina en ⋯[2]00000⋯⋯[2]00000⋯.
2. Un número finito (puede que ninguno) de 1’s y 2’s alternando que termina en ⋯[1]33333⋯⋯[1]33333⋯.
3. Un número infinito de 1’s y 2’s alternando.
4. (También es posible que ;a orbita caiga justamente en uno de los ejes, por ejemplo, todos los puntos de la forma (−x,x)(−x,x) van a (x,0)(x,0), y al órbita no está definida después de ahí. De ahora en adelante consideraremos el domino de f como el conjunto de puntos PP tal que fn(P)fn(P) está definido para todo nn).

Afirmación A: si P∈0P∈0, la órbita de PP converge a α+α+. I.e. 00 está en la cuenca de atracción de α+α+.

Corolario 1: Si P∈3P∈3, la órbita de PP converge a α−α−.

Corolario 2: Si la secuancia simbólica de PP es del tipo 1 anterior, la órbita de PP converge a α+α+; si la secuancia simbólica de PP es del tipo 2 anterior, la órbita de PP converge a α−α−.

Dejemos la demostración de A para luego, y sigamos entendiendo las cuencas de α−α− y α+α+ en el resto del plano, i.e. en los cuadrantes 11 y 22. Sólo necesitamos fijarnos en el 11, ya que sabemos que la dinámica de 22 será la imagen especular.

Sabemos que si P∈1P∈1, entonces f(P)∈2f(P)∈2 o f(P)∈3f(P)∈3. Depende de si 1/x+1/y1/x+1/y es negativo o positivo, i.e. si y>−xy>−x or no.

Así que el comienzo de la secuencia en el cuadrante 1 es así:

Y sabemos, por el corolario 2, que la región azul es la cuenca de α−α−.

Para los que empiezan en 1212, el sigueinte símbolo puede ser 1 ó 0. Depende de en qué lado de la diagonal y=−xy=−x cae f(P)f(P). i.e. necesitamos saber si

1/x+1/y>−y1/x+1/y>−y

i.e.

x<−yy2+1x<−yy2+1

gráficamente tenemos

Si vamos un paso más allá tenemos

donde la gota naranja es 12121212, y el resto del área azul a la izquierda es 12131213(parte de la cuenca de α−α−).

Acercándonos al área 1212:

Podemos ver una área azul más pequeña, correspondiente a 1212112121. El resto de la zona naranja es 1212012120 (en la cuenca de α+α+).

Acercándonos más:

Podemos ver una fina zona de naranja oscuro en el azul claro, correspondiente a 121212121212. De nuevo, el azul claro corresponde a 121213121213 (la cuenca de α−α−).

Por si no se ve en la imagen superior, miremos más de cerca ( x∈(0.26,0.29),y∈(−0.31,−0.28)x∈(0.26,0.29),y∈(−0.31,−0.28) )

Para que quede claro, sunpón que eliges A0A0 igual a 0.2650.265. Entonces, si

• A1=0.1A1=0.1 (o cualquier número positivo en verdad) ⟹⟹ AnAn converge a α+α+
• A1=−0.26A1=−0.26 ⟹⟹ AnAn converge a α−α−
• A1=−0.271A1=−0.271 ⟹⟹ AnAn converge a α+α+
• A1=−0.288A1=−0.288 ⟹⟹ AnAn converge a α−α−
• A1=−0.2898A1=−0.2898 ⟹⟹ AnAn converge a α+α+
• A1=−0.29A1=−0.29 ⟹⟹ AnAn converge a α−α−
• A1=−0.2906A1=−0.2906 ⟹⟹ AnAn converge a α+α+
• A1=−0.292A1=−0.292 ⟹⟹ AnAn converge a α−α−
• A1=−0.4A1=−0.4 ⟹⟹ AnAn converge a α+α+
• A1=−0.8A1=−0.8 ⟹⟹ AnAn converge a α−α−
• A1=−4A1=−4 ⟹⟹ AnAn converge a α+α+

Pero no termina ahí. He aquí una vista ampliada de la zona 121212121212 (naranja), donde podemos ver, en azul calro, la zona 1212121312121213, y, en naranja oscuro, la zona1212121212121212. (La región ampliada es (0.232,0.233)×(−0.248,−0.247)(0.232,0.233)×(−0.248,−0.247))

Y, por supuesto, ampliando aún más ( (0.200234,0.200235)×(−0.2094705,−.02094715)(0.200234,0.200235)×(−0.2094705,−.02094715) ) encontramos las regiones 12121212121212121212 (cián) y 12121212131212121213 (rojizo).

Esto nos lleva a preguntar:

• ¿Podemos continuar el proceso eternamente, i.e. podemos siempre encontrar, dentro de la región 12…1212…12 (n bloques), una zona 12….121312….1213 y una 12…121212…1212?
• Cuando hacemos esto infinitas veces, ¿encontraremos puntos que est;an en todas esas regiones 1212…121212…12, i.e., su secuencia es una serie infinita de 11’s y 22’s, y por tanto no convergen a α+α+ o α−α−?

La respuesta a la primera pregunta es Sí, y a la segunda No. Para ver por qué, miremos de nuevo a esta imagen:

Si llamamos a la zona 12121212 (la gota naranja) región I2I2, recuerda que dentro, tenemos una región más pequeña 121212121212 región I3I3 (una línea muy fina naranja oscuro, dentro de la tira de azul claro).

Entonces se cumple que si aplicamos ff dos veces a I3I3, cobrimos todo I2I2, i.e., f2(I3)=I2f2(I3)=I2. Lo que significa que, ya que I3⊂I2I3⊂I2, hay puntos en I3I3 que mapean a I3I3. Entonces, la región 12121212,12121212, I4I4 es simplemente la preiamgen de I3I3 bajo f2f2, i.e., I4=f−2(I3)I4=f−2(I3). Análogamente podemos encontrar In+1=f−2(In)In+1=f−2(In), para todo nn.

¿Entonces por qué es la segunda respuesta No, i.e., ⋂In=∅⋂In=∅ ?

La razón es que, cerca de (0,0)(0,0), f2f2 es una expansión fuerte. En concreto, se cumple ue, si P∈(0,0.4)×(−0.4,0)P∈(0,0.4)×(−0.4,0), entonces |f2(P)|>1.1|P||f2(P)|>1.1|P|, donde |P||P| es la norma euclídea de PP ( i.e. x2+y2−−−−−−√x2+y2).

Ya que I3∈(0,0.4)×(−0.4,0)I3∈(0,0.4)×(−0.4,0), sea CC la mayor norma de cualquier punto en I3I3. Entonces todo punto en I4I4 tendrá una norma menor que C1.1C1.1, y, recursivamente, cualquier punto en In+3In+3 tendrá norma menor que C1.1nC1.1n. Lo que significa que cualquier punto que pertenece a todos los conjuntos tendría que tener norma 0, pero no hay tal punto en nuestro domino (recuerda que los ejes, incluyendo el origen, están excluidos).

Resumiendo todo: si tu secuencia está bien definida (i.e., no se topa con ninguna dicisión entre cero), puede converger a 2–√2 o −2–√−2. Si A0A0 y A1A1 son positivos convergerá a 2–√2, si son negativos convergerá a −2–√−2. Si tienen distinto signo, pueden converger a cualquiera, y el conjunto de posibilidades para converger a 2–√2 (o −2–√−2) tiene infinitas partes conectadas.

Una manera de entender la imagen es ver que, para cualquier número NN que elijas, no importá cómo de grande, siempre puedo encontrar dos pares de condiciones iniciales P1P1 y P2P2 tales que, cuando nos movemos por la recta de P1P1 a P2P2, la secuencia alterna más de N veces entre converger a +2–√+2 y −2–√−2. El ejemplo usado arriba ( (0.265,0.1)(0.265,0.1) y (0.265,−4))(0.265,−4)) es un ejemlpo de una secuencia que alterna 1010 veces, pero podríamos encontrar secuencias que alternan 100100, 10001000 o even incluso un googol de veces.

Demostración de la Afrimación A:

Ahora queremos demostrar que, si x>0x>0 y y>0y>0, entonces fn(x,y)fn(x,y) converge a α+α+. La clave para demostrar convergencia es contracción. Si podemos demostrar que ff contrae distancias y áreas, estamos en el buen camino para demostra que fnfn converge.

Sin embargo, este no es el caso para ff en todo el dominio que estamo analizando. Siempre que xx o yy se acercan a cero, f explota. Así que la principal cuestión de la demostración es probar que las órbitas no pasan demasiado tiempo en la "región mala", y el tiempo que pasan en la zona que se comporta bien compensa de sobra cualquier expansión fuera de ella. Por suerte, nuestro mejor amigo está aquí para ayudarnos: ¡dinámica simbólica!

Dividamos el cuadrante en 3 regiones:

A es nuestra región buena, y queremos que las órbitas se queden aquí lo más posible. Analicemos entonces cuáles son las posibles transiciones en nuestra dinámica simbólica.

• Si P∈BP∈B, y<1y<1, lo que significa que 1/x+1/y>1/y>11/x+1/y>1/y>1, y f(P)∈Cf(P)∈C.
• Si P∈CP∈C, y>1y>1 y x<1x<1, lo que significa que 1/x+1/y>1/x>11/x+1/y>1/x>1 and f(P)∈Af(P)∈A.
• Si P∈AP∈A, y>1y>1, entonces f(P)∈Af(P)∈A o f(P)∈Bf(P)∈B, dependiendo de si 1/x+1/y≥11/x+1/y≥1 o no.

Resumiendo:

Lo que son buenas noticas. Si la órbita sale de AA, simplemente pasa por BB y CC una vez y vuelve a AA. Así que podemos dividir AA en dos regiones, Los puntos cuya secuencia empieza por AAAA, y los que empiezan con ABCAABCA. La línea divisoria se define por 1/x+1/y=11/x+1/y=1, o, equivalentemente y=1+1/(x−1)y=1+1/(x−1).

Ahora sólo tenemos que probar que:

• si P∈AAP∈AA, entoncesfn(P)fn(P) converge a α+α+ (A1)
• si P∈ABCAP∈ABCA, entonces la órbita de PP acaba llegando a AAAA. (A2)

Demostremos A2 primero. Como dije, la idea es demostrar algún tipo de contracción, para demostrar que el viaje de la órbita por BB y CC no hizo demasiado daño. Y, de hecho, se cumple que

P∈ABCA⟹|f3(P)|<0.9|P|P∈ABCA⟹|f3(P)|<0.9|P|

Que se puede demostrar explícitamente con la fórmula de f3(P)f3(P) y comprobando la desigualdad (véase abajo el gráfico para |f3(P)|2/|P|2|f3(P)|2/|P|2, y nótese que es menor que 0.80.8 para todo P∈ABCAP∈ABCA).

Intuitivamente, tanto si x>>yx>>y como y>>xy>>x , 1/x+1/y1/x+1/y será básicamente del orden de 1/y1/y o 1/x1/x, respectivamente, y f3(x)f3(x) será más o menos tan grande como (y,y)(y,y) o (x,x)(x,x). Entonces, nuestra mejor opción es hacer xx e yy próximos. Pero, para xx grande, f3(x,x)f3(x,x) es más o menos (x/2,x/2)(x/2,x/2). De hecho, para todo C>0.5C>0.5 se cumple que cualquier PP suficientemente lejos del origen se contraerá al menos CC. El límite C=0.9C=0.9 llega para valer en toda la región y nos vale para nuestros propósitos.

Ahora, esto significa que, para todo P∈ABCAP∈ABCA, tras iterar f3f3 un número finito de veces, la norma de f3n(P)f3n(P) será inferior a 22–√22 que es la mínima para cualquier punto en ABCAABCA (la de (2,2)(2,2)).

Ahora sólo hay que demostrar A1.

Lo primero que vemos es que, si P∈AAP∈AA, f(P)∈AAf(P)∈AA.

Queremos demostrar que

1≤x;1≤y;1≤(x+y)/xy⟹1≤1/y+xy/(x+y)1≤x;1≤y;1≤(x+y)/xy⟹1≤1/y+xy/(x+y)

Ya que x e y son positivos, podemos multiplicar ambos lados por y(x+y), manteniendo el sentido de la desigualdad. Queremos demostrar entonces que

xy+y2≤x+y+xy2xy+y2≤x+y+xy2

o, equivalentemente

y2−xy2+xy−y≤xy2−xy2+xy−y≤x

o

y(y−1)(1−x)≤xy(y−1)(1−x)≤x

pero y>0y>0, y−1≥0y−1≥0 y 1−x≤01−x≤0, de modo que el lado izquierdo es ≤0≤0, mientras que el derecho es positivo.

Ahora fíjate que si P=(x,y)∈AAP=(x,y)∈AA, y f(P)=(y,z)f(P)=(y,z), entonces z=1/x+1/y≤1+1=2z=1/x+1/y≤1+1=2. Y si f2(P)=(z,w)f2(P)=(z,w), entonces w=1/z+1/w≤1+1=2w=1/z+1/w≤1+1=2. Esto significa que f2f2 mapea toda la región AAAA al cuadrado [1,2]×[1,2][1,2]×[1,2].

Ahora todo lo que queda por demostrar es que el cuadrado [1,2]×[1,2][1,2]×[1,2] está en la cuenca de atracción de α+α+. Como podrás imaginar, esto implica demostrar que alguna potencia de ff es alguna forma de contracción. Y, efectivamente, si miramos al gráfico de |f2(P)−α+|2|P−α+|2|f2(P)−α+|2|P−α+|2 en el cuadrado

Podemos ver que es menor que 0.90.9 excepto en la esquina inferior izquierda. Ahora es una comprobación sencilla que, si PP está en esa esquina, f2(P)f2(P) no lo está, y eso de hecho concluye nuestra demostración, porque, si PP está en el cuadrado, |fn(P)−α+||fn(P)−α+| convergirá exponencialmente a 00.