sea múltiplo del número (3^(n-1)) + (5^(n-1))?

La pregunta sugiere encontrar la fórmula del término n-ésimo de la sucesión recurrente representada por vₙ = 3 ⁿ+5 ⁿ, donde suponemos n natural, n ≥ 0.

De hecho, toda sucesión del tipo uₙ = k₁ a ⁿ + k₂ b ⁿ +…+k ⱼ l ⁿ, siendo a,b,…l bases distintas, incluso reales o complejas, y k₁, k₂…,k ⱼ cualesquiera constantes respecto de n, es una sucesión recurrente; aunque hay sucesiones recurrentes de otros tipos, como se estudia en la teoría de las sucesiones recurrentes; son estas sucesiones las que, en matemática discreta, representan un papel exactamente análogo al de las ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes, en el ámbito de la matemática "continua".

Como se sabe, hay una ecuación característica asociada a cada sucesión recurrente y si sus raíces (o autovalores) son todas simples, se obtiene el término general de la sucesión recurrente dada como combinación lineal de potencias n-ésimas de esos autovalores o raíces características.

Para lectores que lo conozcan, siendo a≠b, dada

vₙ = k₁ a ⁿ + k₂ b ⁿ tenemos, en este caso, la ecuación característica de segundo grado, cuyas raíces son a y b :

(λ-a)(λ-b)=0 →

λ²-(a+b) λ + ab = 0 → Ecuación característica asociada a la sucesión recurrente

vₙ = k₁ a ⁿ + k₂ b ⁿ. Las constantes k₁, k₂ se determinan conociendo los dos primeros valores v₀, v₁.

Entonces la sucesión vₙ verifica la correspondiente ecuación de recurrencia, con coeficientes constantes,

vₙ - (a+b) vₙ- ₁ + ab vₙ-₂ = 0 , válida a partir de n ≥ 2.

En el caso que nos interesa ahora, será

a=3, b=5, k₁ = k₂ = 1; vₙ = 3 ⁿ + 5 ⁿ, y la ecuación de recurrencia asociada es:

vₙ - 8 vₙ- ₁ + 15 vₙ-₂ = 0 (para n ≥ 2 ) , con v₀ = 3⁰ + 5⁰ = 2 ; v₁ = 3 + 5 = 8 .

Sin embargo, por si el lector no conoce la teoría de sucesiones recurrentes con coeficientes constantes (por cierto, debiera consultar, a este respecto, la preciosa y clarísima monografía rusa SUCESIONES RECURRENTES, de Markushévich, perteneciente a la serie Lecciones populares de matemáticas, y traducida al español por la propia editorial MIR), deduciremos directamente la ecuación recurrente asociada a la sucesión vₙ = 3 ⁿ + 5 ⁿ.

Tenemos las "condiciones iniciales" : v₀ = 2 ; v₁ = 8 ; supongamos que n ≥ 2.

vₙ = 3 ⁿ + 5 ⁿ ; vₙ-₁ = 3 ⁿ⁻¹+ 5 ⁿ⁻¹ ; vₙ-₂ = 3 ⁿ⁻²+ 5 ⁿ⁻² ;

Establezcamos que una combinación lineal no trivial, con coeficientes arbitrarios

β₁ , β₂, β₃ es nula, y determinemos así, si es posible, los valores de estos parámetros, o al menos un juego de valores concretos que verifiquen esa condición, aunque haya otras soluciones, puesto que solo necesitamos una:

β₁ vₙ + β₂ vₙ-₁ + β₃ vₙ-₂ = 0 →

(3 ⁿ β₁+ 3 ⁿ⁻¹ β₂ + 3 ⁿ⁻² β₃ ) + (5 ⁿ β₁+ 5 ⁿ⁻¹ β₂ + 5 ⁿ⁻² β₃ ) = 0.

Obtendremos una solución concreta para β₁ , β₂, β₃ resolviendo el sistema lineal homogéneo e indeterminado :

3 ⁿ β₁+ 3 ⁿ⁻¹ β₂ + 3 ⁿ⁻² β₃ = 0

5 ⁿ β₁+ 5 ⁿ⁻¹ β₂ + 5 ⁿ⁻² β₃ = 0 ; puede simplificarse dividiendo en la primera todos los términos por 3 ⁿ⁻² y en la segunda, todos por 5 ⁿ⁻² :

3² β₁+ 3¹ β₂ + β₃ = 0 → 9 β₁+ 3 β₂ + β₃ = 0

5² β₁+ 5¹ β₂ + β₃ = 0 → 25β₁+ 5 β₂ + β₃ = 0.

Restando miembro a miembro para eliminar β₃ → 16β₁ + 2 β₂ = 0 →

8β₁ + β₂ = 0 → β₂ = -8β₁, y buscando β₃, será:

β₃ = -9β₁ - 3 β₂ = -9β₁ + 24β₁ = 15β₁ ; queda β₁ como parámetro libre, lo cual nos permite encontrar la solución más simple (no trivial, es decir, no con todos los valores nulos) tomando β₁ = 1, lo cual da β₂ = -8, β₃ = 15; de modo que se tiene:

β₁ vₙ + β₂ vₙ-₁ + β₃ vₙ-₂ = 0 → vₙ - 8 vₙ-₁ + 15 vₙ-₂ = 0.

Escrito directamente sería :

(3 ⁿ + 5 ⁿ) - 8 (3 ⁿ⁻¹ + 5 ⁿ⁻¹ ) +15 (3 ⁿ⁻²+ 5 ⁿ⁻² ) = 0.

Los lectores "desconfiados" pueden comprobar directamente esta última identidad, válida para todo valor de n ≥ 2, sustituyendo

3 ⁿ = 3² * 3 ⁿ⁻² = 9 * 3 ⁿ⁻² , y análogamente, 5 ⁿ = 5² * 5 ⁿ⁻² = 25 * 5 ⁿ⁻² , así como

3 ⁿ⁻¹ = 3 * 3 ⁿ⁻² , y finalmente, 5 ⁿ⁻¹ = 5 * 5 ⁿ⁻² .

De la misma manera obtendríamos el resultado más general para

wₙ= a ⁿ + b ⁿ (con a≠ b) → wₙ - (a+b) wₙ-₁ + ab wₙ-₂ = 0.

Volvamos a la sucesión dada y reformulemos la pregunta:

Siendo vₙ = 3 ⁿ + 5 ⁿ ¿para qué valores de n es vₙ múltiplo de vₙ- ₁ ?

RESPUESTA : Ya que v₀ = 2, v₁ = 8 → v₁ = múltiplo de v₀, así pues:

3 ⁿ + 5 ⁿ es múltiplo de 3 ⁿ⁻¹ + 5 ⁿ⁻¹ cuando n = 1 ;

v₂ = 3² + 5² = 34, que no es múltiplo de v₁ = 8, de modo que con n=2 no se cumple que vₙ sea múltiplo de vₙ-₁ ;

Ahora bien, para todo n > 0 tenemos vₙ > vₙ-₁ ; (&)

Efectivamente, con n = 1 →

v₀ = 2 < v₁ = 8 ; y si n > 1, 3 ⁿ > 3 ⁿ⁻¹ , así como 5 ⁿ > 5 ⁿ⁻¹ →

3 ⁿ + 5 ⁿ > 3 ⁿ⁻¹ + 5 ⁿ⁻¹ → vₙ > vₙ-₁ , como queríamos demostrar.

Sin embargo, como vₙ = 3 ⁿ + 5 ⁿ, (para todo n ≥ 2 ) verifica la ecuación recurrente

vₙ - 8 vₙ- ₁ + 15 vₙ-₂ = 0 , podemos suponer desde ahora que

n ≥ 3, porque los casos n = 0, 1, 2 ya los hemos inspeccionado:

vₙ = 8 vₙ- ₁ - 15 vₙ-₂ → (por ser siempre vₙ- ₁ ≠ 0, se puede dividir por vₙ- ₁ ) →

vₙ / vₙ- ₁ = 8 - 15 vₙ-₂ / vₙ- ₁ ;

por tanto,

SUPONGAMOS que vₙ es múltiplo de vₙ- ₁ , siendo n ≥ 3 .

Entonces tendremos que vₙ / vₙ- ₁ será entero →

8 - vₙ / vₙ- ₁ = 15 vₙ- ₂ / vₙ- ₁ será entero. (&&)

Pero es fácil observar que cuando n ≥ 0 sucede que vₙ no es múltiplo ni de 3 ni de 5 ; en efecto, v₀ = 2, que no es múltiplo ni de 3 ni de 5 ; pero si n ≥ 1 →

vₙ = 3 ⁿ + 5 ⁿ = múlt. 3 + NO múlt. 3 ; por supuesto, es claro que

5 ⁿ = NO múlt. 3 ya que si 3 dividiera a 5 ⁿ, siendo 3 primo, debería dividir, al menos, a uno de los factores del producto 5 ⁿ (es el lema de Euclides sobre divisibilidad), luego 3 debería dividir a 5, lo cual es falso.

Por tanto, vₙ nunca puede ser múltiplo de3, ya que, de manera general, la suma de un múlt. m y un No múlt. m nunca es múlt. m , evidentemente.

Por la misma razón, si n ≥ 1 →

vₙ = 3 ⁿ + 5 ⁿ = múlt. 5 + NO múlt. 5 = NO múlt. 5 , como afirmábamos.

Como 3 y 5 son primos (absolutos), que vₙ no sea múltiplo de 3 implica que vₙ y 3 son primos entre sí (a veces se llaman también primos relativos o coprimos), y que, para todo n ≥ 0, vₙ no sea múltiplo de 5 implica que vₙ y 5 son primos entre sí ; pero como vₙ es primo con 3 y con 5, es primo con su producto = 3 * 5 = 15 (otro teorema básico de divisibilidad consecuencia del lema de Euclides).

Ahora resulta evidente que, ya que para todo n natural ≥ 0, vₙ y 15 son primos entre sí, suponiendo n ≥ 3, entonces [véase (&&) ]

si vₙ- ₁ divide a 15 vₙ-₂ , vₙ- ₁ debe dividir a vₙ- ₂, siendo ambos mayores que cero.

Pero, en general, si d divide a m , siendo d y m mayores que cero, ha de ser

d ≤ m ; en efecto, puesto que m = q*d, para cierto entero q mayor que cero →

q≥1 , y d ≤ q*d = m , como afirmábamos.

Luego, ciertamente, cuando n ≥ 3 , si vₙ- ₁ divide a vₙ- ₂ → vₙ- ₁ ≤ vₙ- ₂ ;

pero la afirmación (&), anteriormente demostrada, nos dice que para todo

n > 0 tenemos vₙ > vₙ-₁ ;

como estamos asumiendo la hipótesis n ≥ 3 → n - 1 ≥ 2 > 0 → vₙ- ₁ > vₙ- ₂ ,

que contradice de plano la desigualdad vₙ- ₁ ≤ vₙ- ₂ ; la contradicción proviene de haber supuesto que vₙ era múltiplo de vₙ-₁ (con n ≥ 3 ) quedando así demostrado que si n ≥ 3 → NUNCA PUEDE SER vₙ múltiplo de vₙ-₁ , o dicho de otro modo,

si n ≥ 3 NUNCA ES 3 ⁿ + 5 ⁿ múltiplo de 3 ⁿ⁻¹ + 5 ⁿ⁻¹ .

La pregunta queda cumplidamente contestada, por tanto:

3 ⁿ + 5 ⁿ es múltiplo de 3 ⁿ⁻¹ + 5 ⁿ⁻¹ exclusivamente cuando n=1, y no se cumple dicha condición para ningún otro valor del número natural n.