¿Qué significa dividir por un número negativo?

A2A*. Durante la primaria muchos profesores, con buen criterio pedagógico buscan explicaciones intuitivas de hechos matemáticos. Está bien encontrar esas explicaciones para transmitir cosas a los niños pero sería ilusorio pensar que las matemáticas tienen sentido de ser sólo porque admiten una explicación intuitiva, siendo que las matemáticas no se basan en la intuición sino en la aplicación de reglas formales. Uno de los grades genios de las matemáticas del siglo XX, John von Neumann dijo:

En matemáticas no entiendes las cosas, simplemente te acabas acostumbrando a ellas.

¿Y qué hay de la división entre números negativos? ¿Tiene alguna explicación? Pues más o menos, pero ya empezamos a internarnos en razonamientos no tan intuitivos. Claramente dividir un número negativo entre un número positivo tiene un sentido intuitivo, si 10 personas deben hacerse cargo solidariamente de una deuda de 1 millón de dólares está claro que cada uno deberá asumir una deuda de:

−100000010=−100000−100000010=−100000

Pero tendría sentido dividir entre un número negativo, no creo que sea tan intuitivo como lo anterior pero dado que:

−ba=b−a−ba=b−a

Esto no es muy satisfactorio pero si acudimos a la geometría se obtiene una respuesta adecuada. Si recordamos la definición del coseno, seno y tangente de un ángulo tenemos este esquema:

A partir de similaridad de triángulos podemos ver sin dificultad que:

tanx=sinxcosxtan⁡x=sin⁡xcos⁡x

En la figura anterior tenemos que las tres magnitudes son positivas tanx>0,sinx>0,cosx>0tan⁡x>0,sin⁡x>0,cos⁡x>0, pero no es difícil imaginar qué pasa cuando alguna de ellas se vuelve negativa. En particular cuando el coseno se vuelve negativo:

En ese caso se puede ver que claramente que tiene sentido dividir por una cantidad negativa. Y de hecho se puede ver geométricamente el resultado esperado:

−b−a=ba−b−a=ba

Como muestra esta figura:

Lo mismos si sólo una de las cantidades es negativa.