¿Hay siempre al menos un número primo entre dos cuadrados perfectos sucesivos?

No se sabe con seguridad.
Nadie ha conseguido demostrar que sí lo haya siempre, ni demostrar que no lo haya siempre.

Aunque muchos sospechan que es cierto, pero mientras no se demuestre no se podrá estar completamente seguro. En eso consiste una demostración matemática, en probar bajo supuestos sólidos que siempre se cumplirá algo. Sin demostración no se puede estar seguro.

Se conoce como “Conjetura de Legendre”. y es una de las cuestiones o ‘problemas’ abiertos en matemáticas, es decir, que nadie ha conseguido demostrar.
Conjetura de Legendre - Wikipedia, la enciclopedia libre

Legendre's conjecture - Wikipedia

Legendre vivió entre 1752 y 1833, y al parecer la primera vez que mencionó esta conjetura fue en 1798 y volvió a mencionarla en 1808, así que han pasado más de 200 años sin que nadie pueda probarlo. A la sencillez del enunciado, se une que el número de primos entre dos cuadrados perfectos parece crecer y sería muy muy sorprendente que la conjetura fuese falsa… pero aún así, a pesar de la sencillez del enunciado y que parece muy claro que es cierto han pasado cientos de años sin poder ser probado.

Pertenece a los llamados “Problemas de Landau”, junto con la conjetura de Goldbach, la de los primos gemelos, y la de que hay infinitos primos que siguen a un cuadrado perfecto. Esa lista se hizo en 1912 y ninguno de estos 4 problemas ha sido resuelto.
Problemas de Landau - Wikipedia, la enciclopedia libre

Hay una afirmación más débil que sí ha sido probada:

Chen Jingrun demostró en 1965 que siempre existe un número comprendido entre n2n2 y (n+1)2(n+1)2 que sea primo o semiprimo, es decir, el producto de dos primos.

Además, Iwaniec y Pintz1​ probaron en 1984 que siempre existe un número primo entre n−nθn−nθ y nn, siendo θ=23/42=0,547...θ=23/42=0,547...

Se relaciona con otras conjeturas, como:
La conjetura de Andrica

Conjetura de Andrica - Wikipedia, la enciclopedia libre

Que en caso de ser cierta, implicaría la conjetura de Legendre.