¿Cuáles son algunos ejemplos de conceptos matemáticos que demostraron ser muy importantes y funcionales para otras ciencias pero parecieron...

El primer ejemplo que me viene a la mente son los cuaterniones

"Los cuaterniones provienen de Hamilton después de terminar sus excelentes trabajos; y, aunque hermosamente ingenioso, ha sido malvado por igual a aquellos que se han involucrado con ellos de cualquier forma, incluyendo Clerk Maxwell"— Lord Kelvin.

Me agrada esta historia. Muestra como las matemáticas no son solo los hechos conocidos; también trata de como cambiar la manera en la que escribimos las cosas puede marcar la diferencia, y como un método abandonado por los matemáticos e ingenieros puede encontrar un renacimiento en lugares insospechados. Por ejemplo, en los videojuegos.

Aquí está el problema:

Imagine un objeto en un mundo bidimensional. El movimiento absoluto en 2D es fácilmente descrito con vectores. El vector(3,−2)(3,−2) describe el movimiento en tres unidades al este y dos unidades al sur. Si haces dos movimientos, uno tras otro, solo tienes que sumar los vectores. Cuando este objeto rota, es igualmente fácil de describir, porque solo hay una manera de rotar (bueno dos, en sentido y contrasentido de las manecillas del reloj, pero solo son el negativo de cada uno). Si rotas por 30°, y luego por 20°, la rotación total es 50°.

No hay problema

Ahora trata de describir el movimiento en 3D. El movimiento absoluto puede ser descrito por un vector con tres entradas - de la forma (x,y,z)(x,y,z) . Pero las rotaciones…

Las rotaciones en 3D3D son difíciles de trabajar.

Cada rotación en tres dimensiones es alrededor de un eje. Pero ese eje puede apuntar a cualquier dirección, y la combinación de dos rotaciones alrededor de dos ejes distintos no funciona tan bien. Si rotas un objeto 30° alrededor del eje X, luego por 20° alrededor del eje y, la rotación total será en realidad 35.92°, y alrededor de un eje oblicuo a cada una de las tres direcciones x, y,z (y si puedes combinar estas rotaciones en diferente orden, el eje será diferente).

Entonces, necesitamos de una nueva forma de trabajar con las matemáticas para esta situación. Sería agradable si pudiéramos describir las rotaciones de una manera útil para los ingenieros. Sería genial tener un método que combinara fácilmente las rotaciones. Más aún si pudiéramos ver la rotación e inmediatamente saber el grado y sus ejes.

Hubo varios intentos para describirlos. Voy a profundizar un poco en las matemáticas del porque y como trabajan, si quieren una lectura ligera, salten a la siguiente división.

Uno es los ángulos de Euler. Esta es la idea en la cual puedes describir cualquier rotación como tres rotaciones sucesivas alrededor de x, luego y, y luego z.

Por ejemplo (30°,20°,0°)(30°,20°,0°) describe la rotación por 30° alrededor del eje X, luego 20° alrededor del eje y. Esto es útil para los ingenieros debido a que esta es la forma exacta en la que trabajan las máquinas, ya sea en soportes estabilizadores en un plano:

o a través del movimiento de un robot:

Mientras que este sistema es más conveniente para describir rotaciones en máquinas, no hace a ningún otro problema más fácil. Por ejemplo, al rotar 20° en el eje Y, y luego por 30° en el eje X, en ese orden, se debe escribir como (31.57°, 17.23°, 10.31°). Combinar las rotaciones y determinar el ángulo/eje sigue siendo difícil.

Otra manera de trabajar es usando matrices de rotación. No voy a profundizar mucho en la mecánica de cómo trabajan, la idea básica es que puedes escribir muchos tipos de transformaciones en 3D, incluyendo rotaciones, en términos de una matriz de 3×33×3. Nuestra rotación anterior (30°,20°,0°) sería:

⎡⎣⎢0.93900.3420.1710.8660.4700.296−0.50.814⎤⎦⎥[0.9390.1710.29600.866−0.50.3420.4700.814]

Puede parecer desagradable, pero una vez que todas las rotaciones están en esta forma es sencillo: multiplica las matrices. (Claro, debes aprender cómo funciona, pero no es tan difícil). También puedes encontrar el ángulo de rotación fácilmente (la suma de los términos de la diagonal principal es 1+2cosθ1+2cos⁡θ), y el eje de rotación a través de este método no es tan traicionero.

Creo que este sigue siendo el método preferido para trabajar la física de rotaciones en tres dimensiones.

La otra forma es a través de los Cuaterniones. Algunos de ustedes pueden estar familiarizados con los números imaginarios, los cuales presentan un nuevo número ii , el cual tiene la propiedad i2=−1.i2=−1.

Bueno, ¿por qué tener solo uno cuando podemos tener tres?

i2=j2=k2=−1i2=j2=k2=−1

ij=kij=k, jk=ijk=i, ki=jki=j

ji=−kji=−k, kj=−ikj=−i, ik=−jik=−j

Puede parecer horrendo, especialmente la parte donde el producto de dos de estos números dependen del orden con ij=−jiij=−ji. Entonces ¿por qué deberíamos usarlos? En realidad, esta convolución se empareja con la complicada estructura de rotaciones en 3D casi perfectamente. Una rotación \theta alrededor de un vector ⟨vx,vy,vz⟩⟨vx,vy,vz⟩ puede ser escrito como:

cosθ2+ivxsinθ2+jvysinθ2+kvzsinθ2cos⁡θ2+ivxsin⁡θ2+jvysin⁡θ2+kvzsin⁡θ2

Básicamente, la componente real te dice el grado de rotación, mientras que los términos i,j,ki,j,k te dicen alrededor de que ángulo. Es bastante conveniente, ¡si es lo que buscas! También, la suma de rotaciones es sencilla — solo multiplica los cuaterniones, usando las reglas de arriba.

Desafortunadamente, los cuaterniones tuvieron tiempos difíciles para encontrar un nicho de uso. Los ingenieros que trabajaban con soportes estabilizadores y robots no querían tener nada que ver con ellos. Los físicos y matemáticos ya tenían un mejor conocimiento con matrices, que también podían usarse para hacer otras transformaciones aparte de rotaciones. Después de su introducción en 1843,se desvanecieron en el olvido por alrededor de medio siglo.

Pero después, mucho después, algo nuevo se vio en el horizonte.

De repente había necesidad de trabajar con matemáticas de rotaciones en 3D, que tuviera las siguientes propiedades:

• Ligereza, el almacenamiento de cada rotación requería de la menor cantidad de números posibles.
• Fácil composición, que nos permita combinar rápidamente dos rotaciones.
• Fácilmente interpolable, de tal forma que podamos ver una rotación y determinar cómo luciría con, digamos un avance del 1% a través de dicha rotación,
• Inmune a errores, o al menos resistente a ellos.

Por supuesto estoy hablando de las computadoras. Las computadoras que trabajan con rotaciones en 3D, porque su trabajo es simular un mundo tridimensional.

Las computadoras van a necesitar mover y rotar cientos de objetos al mismo tiempo en un abrir y cerrar de ojos. Como tal, las rotaciones necesitan ser ligeras y fácilmente componibles. También, si quiero mostrar una rotación suave en el transcurso de 100 cuadros, entonces cada cuadro necesita mostrar una rotación del 1%. Y por supuesto, al ser computadoras los errores de redondeo pueden aparecer en cada cálculo.

¿Usar ángulos de Euler? olvídalo, con ellos es muy complicado trabajar rotaciones suaves.

¿Matrices de rotación? usar 9 términos es computacionalmente pesado y su utilidad es ahora una desventaja: Si la rotación tiene un error de redondeo, ya no será una rotación. La cabeza de Mario se puede deformar gravemente y estos errores son acumulativos.

Pero los cuaterniones cumplen los requisitos: solo tienen cuatro entradas cada uno, la multiplicación es sencilla y la interpolación son solo simples operaciones trigonométricas. Incluso con errores de redondeo, los cuaterniones siempre describirán una rotación.

Con lo cual, ha habido un regreso milagroso de los cuaterniones. No solo para los gráficos por computadora, sino para muchos sistemas computacionales que lidian con rotaciones en tres dimensiones (como en la aeronáutica, por ejemplo).

Doy clases a muchos estudiantes que quieren ser desarrolladores de videojuegos. Unity, es la herramienta de uso común, y hace todas las rotaciones con objetos cuaternionicos. Muchos de ellos llegan a mis clases y ya tienen preguntas sobre ellos, que son y cómo funcionan. Si esto no una historia de éxito en las matemáticas, entonces no sé qué es.