¿Qué es la integración?

La integración es un concepto que versa, en en el contexto de la pregunta, sobre matemáticas. En concreto abarca campos del cálculo y del análisis matemático. El operador matemático se conoce como integral y se representa como una S alargada y estrecha. La integral de una función (pueden ser otros operadores matemáticos pero en cálculo sí) representa el sumatorio de sumandos (abcisas x, ordenadas y) hasta llegar al valor de la integral. Se puede determinar una suma no infinita de sumandos lj · xj (donde el subínidce j nota el factor del sumando alto x ancho j-ésimo) y obtendríamos aproximaciones si bien al tender a una suma de infinitos sumandos llegaríamos al valor exacto de la integral. Para ello, lo sumandos deben ser infinitesimalmente pequeños para tener una continuidad entre cada uno de ellos. La integral posee operador inverso que es la derivada o diferencial de la función.

Como se ve en la gráfica, cuanto menor sean los segmentos tomados entre a y b, mayor exactitud tendremos en las sumas para obtener la integral. En el paso al límite, una integral se obtiene cuando los segmentos son infinitésimos o bien hay infinito número de ellos que hace que el sector sombreado sobre la curva sea perfecto y de esta forma, la integral sea exacta.

La integral puede ser indefinida si solo se busca el valor sin los límites entre los que se integra. Entonces se halla el valor y se le suma una c como constante de integración, ya que la operación inversa (derivación o diferenciación), hace que toda constante tenga un valor cero. En la S que hemos definido tenemos los límites de la integral. Abajo estaría el valor inicial y arriba el valor final. Entonces esa integral se llama definida o de Riemann, que es la más común, si bien existen refinamientos sobre las integrales con la integral Riemann-Stieltjes y la integral de Lebesgue, más propia del análisis matemático, que incluye más posibilidades donde se estudia con más rigor el concepto de integración para abarcar más casos que en los problemas típicos de cálculo infinitesimal.

Existen diferentes tipos de integrales.

Enumeramos algunas: integral de línea o curvilínea (se hacen integraciones sobre curvas), integral de superficie, integrales de volumen, integrales impropias, integrales de formas diferenciales, integrales sobre matrices, integrales dobles (de dos variables), integrales triples (de 3 variables), etc.

Generalmente cada tipo de integral tiene un método para resolverse. Existen los métodos de sustitución, la regla Sudv = u·v - Svdu, cambio de variable, etc. Asi como existe una tabla de derivadas, también existen tablas sobre antiderivadas o integrales. La mayoría exigen el conocimiento de todos los métodos de integración para abordarla y en general es una tarea fácil de aplicar reglas nemotécnicas en su resolución.

Hay tipos de integrales muy difíciles de resolver. Con solo cambiar algo en una función o alguna constante en una integral de las que se da a los alumnos para ejercitarse, podría implicar un desafío incluso para un catedrático en matemáticas por no existir un método conocido para resolverlo.

En el conjunto de ecuaciones diferenciales de la Teoría General de la Relatividad pensaba Einstein que no se obtendría una solución exacta. Sin embargo pocos años más tarde, Schwarzschild obtuvo una solución exacta a dichas ecuaciones (mediante integración). La soluición era una esfera perfecta del tamaño de la Tierra no achatada por los polos, pero sin ser rotacional, es decir, sin el giro que tiene el planeta.

Aquí se puede leer más sobre la integral, pero desde un punto de vista avanzado en matemáticas desde el análisis matemático, no del cálculo infinitesimal.