¿Cuál es la derivada número 11 de la función arco tangente de x?

Derivadas sucesivas. No siempre es sencillo y a veces hay que recurrir a la fuerza bruta y derivar todas las veces que se requiere, de una en una.

Sin embargo, hay algunos trucos que se pueden emplear en casos concretos y éste es uno de ellos:

Si f(x) = arc tg x, la primera derivada es f'(x) = g(x) = 1/(1+x²).

Como hay que derivar once veces f, el resultado será el mismo que derivar diez veces g, o sea,

f ⁽¹¹ ⁾ (x) = g ⁽¹⁰ ⁾ (x). Y como g es una función racional, podemos descomponerla en fracciones simples, para lo cual debe descomponerse el denominador en factores lineales, sin temor a las raíces complejas:

1/(1+x²) ≡ -1/ (-x²-1) ≡ -1 / [(ix)²-1] = -1/ [(ix+1) (ix-1) ] ≡ A/(ix+1) + B/(ix-1) → A(ix-1) + B(ix+1) ≡ -1 →

(Ai+Bi)x + (-A+B) ≡ -1 →(identificando)→ Ai+Bi = 0 ; -A+B=-1,

sistema lineal que da:

A+B=0 ; -A+B=-1 → B=-A → -2A = -1 → A=1/2 ; B=-1/2. Luego

g(x) = 1/(1+x²) ≡ (1/2)/(ix+1) + (-1/2)/(ix-1) ; por brevedad, representemos :

y = 1/(ix+1) ; z = -1 / (ix-1), y será g(x) = (1/2) (y+z) ; derivando 10 veces,

g ⁽¹⁰ ⁾ (x) = (1/2) [y ⁽¹⁰ ⁾+z ⁽¹⁰ ⁾], (&)

de modo que todo se reduce a calcular las derivadas décimas de y , z, sumarlas y multiplicar por el factor (1/2).

Podemos escribir y, z en forma entera, más cómoda para derivar:

y = (ix+1) ⁻¹ ; z = - (ix-1) ⁻¹ .

y' = (-1) * i * (ix+1) ⁻² = 1! * (-1)¹ * i¹ * (ix+1) ⁻²;

y'' = 1! * (-2) * (-1)¹ * i¹ * i * (ix+1) ⁻³ = 2! * (-1)² * i² * (ix+1) ⁻³

Ya suponemos que va a servir la regla que observamos:

y ⁽ⁿ⁾ = n! * (-1) ⁿ * i ⁿ (ix+1) ⁻ⁿ⁻¹ ; (*)

En general para toda función del tipo h(x) = (ax+b) ⁻¹ se encuentra fácilmente por inducción una fórmula análoga para la derivada n-ésima, hágase como ejercicio, aunque aquí vamos al grano, para no extendernos.

Supongamos que la fórmula (*) es válida para cierto exponente n (>1) y probemos que en ese supuesto es también válida para n+1:

Si y ⁽ⁿ⁾ = n! * (-1) ⁿ * i ⁿ (ix+1) ⁻ⁿ⁻¹ → derivando una vez →

y ⁽ⁿ⁺¹ ⁾ = n! * (-1) ⁿ * i ⁿ * i * (-n-1) * (ix+1) ⁻ⁿ⁻² =

(n+1)! * (-1) ⁿ⁺¹ * i ⁿ⁺¹ * (ix+1) ⁻ⁿ⁻² , que es la misma fórmula (*) donde tan solo se ha sustituido n por n+1. Es decir, se cumple la fórmula para n+1, como queríamos demostrar. Pero como se cumplía para el primero valor (y' ) , se verifica para todo n > 0.

De manera análoga podríamos expresar la derivada n-ésima de z, pero en el campo complejo podemos encontrar atajos, puesto que se observa que z es la conjugada de y ; en efecto, y = 1/(ix+1) → Conj. y = 1/(-ix+1) = -1 / (ix-1) = z.

De modo que los valores de las derivadas sucesivas de z son los conjugados de los valores de las derivadas sucesivas de y.

Por tanto, z ⁽ⁿ⁾ = Conj. y ⁽ⁿ⁾ = n! * (-1) ⁿ * (-i) ⁿ (-ix+1) ⁻ⁿ⁻¹ =

= (-1) ² ⁿ * n! * i ⁿ * (-1)⁻ⁿ⁻¹ * (ix-1)⁻ⁿ⁻¹ = (-1) ⁿ⁻¹ * n! * i ⁿ (ix-1)⁻ⁿ⁻¹ =

= (-1) ⁿ⁺¹ * n! * i ⁿ (ix-1)⁻ⁿ⁻¹ ; o sea,

z ⁽ⁿ⁾ = (-1) ⁿ⁺¹ * n! * i ⁿ (ix-1)⁻ⁿ⁻¹ (**) Sumando, tendremos:

y ⁽ⁿ⁾ + z ⁽ⁿ⁾ = n! * (-1) ⁿ * i ⁿ (ix+1) ⁻ⁿ⁻¹ + (-1) ⁿ⁺¹ * n! * i ⁿ (ix-1)⁻ⁿ⁻¹ ;

luego, con n=10 (buscamos las derivadas décimas) →

y ⁽¹⁰ ⁾ + z ⁽¹⁰ ⁾ = 10! * (-1) ¹⁰ * i ¹⁰ * (ix+1) ⁻¹¹ + (-1)¹¹ * 10! * i ¹⁰ * (ix-1)⁻¹¹ =

10! * i² * [(ix+1) ⁻¹¹ - (ix-1) ⁻¹¹ ] = -10! * [1/(ix+1)¹¹ - 1 / (ix-1)¹¹ ] =

= -10! * [(ix-1)¹¹ - (ix+1)¹¹ ]/ [(i²x²-1)¹¹ ] =

10! * [(ix-1)¹¹ - (ix+1)¹¹ ] / [(x²+1)¹¹ ] = {10! / [(x²+1)¹¹ ] } * F(x) (&&),

siendo

F(x) = (ix-1)¹¹ - (ix+1)¹¹ ; desarrollando las potencias de los dos binomios, vemos que se componen de los mismos términos con los mismos signos en los términos de grado impar en x, y con signos contrarios en los términos de grado par; puesto que, en general,

(a-b)¹¹ = [11↓0 ] a¹¹ - [11↓1] a¹⁰b + [11↓2] a⁹b² - [11↓3] a⁸b + …

(a+b)¹¹ = [11↓0 ] a¹¹ + [11↓1] a¹⁰b + [11↓2] a⁹b² + [11↓3] a⁸b³ + …

Luego, F(x) = -2 * Suma de términos en x de grado par =

= -2 * { [11↓1] (ix)¹⁰ + [11↓3 ] (ix)⁸ + [11↓5 ] (ix)⁶ + [11↓7 ] (ix)⁴ +

+ [11↓9 ] (ix)² + [11↓11 ] } =

= -2 * { - [11↓1] x¹⁰ + [11↓3 ] x⁸ - [11↓5 ] x⁶ + [11↓7 ] x⁴ - [11↓9 ] x² + [11↓11 ] } =

= -2 * ( -11x¹⁰ + 165 x⁸ - 462 x⁶ + 330 x⁴ - 55 x² + 1 ) =

= 22 x¹⁰ - 330 x⁸ + 924 x⁶ - 660 x⁴ + 110 x² - 2.

De tal modo que volviendo a la igualdad señalizada con (&), vemos que la derivada décima de g es :

g ⁽¹⁰ ⁾ (x) = (1/2) [y ⁽¹⁰ ⁾+z ⁽¹⁰ ⁾] = (por &&) = (1/2) * {10! / [(x²+1)¹¹ ] } * F(x) =

= (1/2)* {10! / [(x²+1)¹¹ ] } * (22 x¹⁰ - 330 x⁸ + 924 x⁶ - 660 x⁴ + 110 x² - 2) =

= {10! / [(x²+1)¹¹ ] } * (11 x¹⁰ - 165 x⁸ + 462 x⁶ - 330 x⁴ + 55 x² - 1) , (donde 10! = 3.628.800).

Por tanto, la derivada undécima (o de orden 11) de la función arctg x es:

arctg ⁽¹¹ ⁾x = 10! * (11 x¹⁰ - 165 x⁸ + 462 x⁶ - 330 x⁴ + 55 x² - 1) / [(1+x²)¹¹ ] ,

que era lo que se preguntaba.