. ¿Qué representa este valor numérico?

¿Con divergente te refieres a que la integral de Riemman no converge?

Ahh, voy a odiarme a mi mismo por hacer esto, pero resolveré esa integral por definición de integral de Riemman:

b=3b=3, a=0a=0, δx=b−an=3nδx=b−an=3n, f(x)=1(x−1)2f(x)=1(x−1)2, xi=a+δx×i=0+3in=3inxi=a+δx×i=0+3in=3in

Uff, bueno, decimos que:

∫301(x−1)2dx=N∫031(x−1)2dx=N

Si y solamente si,

N=limn→∞(∑i=0n1(xi−1)23n)N=limn→∞(∑i=0n1(xi−1)23n)

Ahhh, aqui vamos:

N=limn→∞⎛⎝⎜⎜⎜⎜∑i=0n3n(3in−1)2⎞⎠⎟⎟⎟⎟N=limn→∞(∑i=0n3n(3in−1)2)

N=limn→∞⎛⎝⎜⎜∑i=0n39i2n2−6in+11n⎞⎠⎟⎟N=limn→∞(∑i=0n39i2n2−6in+11n)

N=limn→∞⎛⎝⎜⎜∑i=0n39i2n2−6inn2+n2n21n⎞⎠⎟⎟N=limn→∞(∑i=0n39i2n2−6inn2+n2n21n)

N=limn→∞⎛⎝⎜⎜∑i=0n31n2(9i2−6in+n2)1n⎞⎠⎟⎟N=limn→∞(∑i=0n31n2(9i2−6in+n2)1n)

N=limn→∞⎛⎝⎜⎜∑i=0n39i2−6in+n211n21n⎞⎠⎟⎟N=limn→∞(∑i=0n39i2−6in+n211n21n)

N=limn→∞(∑i=0n39i2−6in+n2n)N=limn→∞(∑i=0n39i2−6in+n2n)

N=limn→∞(∑i=0n3n(3i−n)2)N=limn→∞(∑i=0n3n(3i−n)2)

Notemos que si n=3kn=3k, entonces 3k−n=03k−n=0, así que la cosa en el denominador no estaría definida. Y como por definición de limites al infinito, dado ε>0ε>0 debe existir un M>0M>0 tal que, si n>Mn>M entonces…

∣∣∣∣(∑i=0n3n(3i−n)2)−N∣∣∣∣<ε|(∑i=0n3n(3i−n)2)−N|<ε

Pero como 3k−n3k−n no esta definido para algún n=3k>Mn=3k>M, entonces este límite no existe. La función ni siquiera es integrable en ese intervalo, así que no puedes aplicar el teorema fundamental del cálculo.

Pero somos matemáticos, no robots, no dejamos que el hecho de que algo parezca cumplir con nuestras reglas nos detenga, hemos trascendido muchas matemáticas por incomodidades como esta, así que, en honor a la verdad, intentemos hallar el área bajo esta curva:

Pues resulta que el área que tiene esa cosa, es la misma área que tiene esta cosa:

Este es el cono generado por las dos funciones inversas de f(x)f(x), pero no están definidas en 00, de hecho, ambas son discontinuas con una asíntota que va al infinito, así que de nuevo, integral impropia tipo 2, de hecho, como queremos calcular una integral que va de 00 a ∞∞, esta es una integral impropia de tipo 1 también.

Ojalá sea claro que el área del cono en la franja azul es igual a:

∫140g(x)−3dx+∫114g(x)dx+∫∞1g(x)−h(x)dx∫014g(x)−3dx+∫141g(x)dx+∫1∞g(x)−h(x)dx

Donde

g(x)=1x−−√+1g(x)=1x+1

h(x)=−1x−−√+1h(x)=−1x+1

Así que hagamos esto:

Como gg tiene una asíntota en 00, es una integral impropia tipo 11, así que para calcular esa integral, debes hacer esto:

∫10g(x)dx=limt→0+∫1tg(x)dx∫01g(x)dx=limt→0+∫t1g(x)dx

Porque en el intervalo [t,1][t,1], gg si cumple las condiciones del teorema fundamental del cálculo, así que puedes integrar con la antiderivada:

limt→0+∫1tg(x)dx=limt→0+G(1)−G(t)limt→0+∫t1g(x)dx=limt→0+G(1)−G(t)

Donde:

G(x)=2x−−√+xG(x)=2x+x

Así que, colocando números, tenemos que:

limt→0+G(1)−G(t)=limt→0+21–√+1−2t√=21–√+1−20–√−0limt→0+G(1)−G(t)=limt→0+21+1−2t=21+1−20−0

Esto último porque G(x)G(x) es continua.

21–√−20–√−0=2+1=321−20−0=2+1=3

Así que, aparentemente, esta cosa de aquí:

Tiene un área de 33, pero nosotros no queríamos el área de eso, queríamos el área de esto:

Bueno, en ese caso, notemos que si

3=g(x)3=g(x), entonces x=1/4x=1/4. Luego, el área de la región azul es simplemente:

∫140g(x)−3dx+∫114g(x)dx∫014g(x)−3dx+∫141g(x)dx

Para nuestra fortuna,

∫140g(x)−3dx=∫140g(x)dx−∫1403dx∫014g(x)−3dx=∫014g(x)dx−∫0143dx

Y además de eso,

∫140g(x)dx+∫114g(x)dx=∫10g(x)dx∫014g(x)dx+∫141g(x)dx=∫01g(x)dx

Que acabamos de calcular, es 33. Así que:

∫140g(x)−3dx+∫114g(x)dx=∫10g(x)dx−∫1403dx∫014g(x)−3dx+∫141g(x)dx=∫01g(x)dx−∫0143dx

Que es simplemente:

∫10g(x)dx−∫1403dx=3−34=94∫01g(x)dx−∫0143dx=3−34=94

Genial, ya tenemos el área de esa parte en azul, ahora nos falta el área de esta parte:

Como dije, esta área es simplemente:

∫∞1g(x)−h(x)dx∫1∞g(x)−h(x)dx

Pero notemos que:

g(x)−h(x)=2sqrt(x)g(x)−h(x)=2sqrt(x), esta función si cumple con las condiciones del teorema fundamental del cálculo, así que podemos calcular la integral usando la antiderivada:

T(x)=4x−−√T(x)=4x

Luego, tenemos que, como esa es una integral impropia tipo 11, primero la escribimos como:

∫∞1g(x)−h(x)dx=limt→∞∫t1g(x)−h(x)dx∫1∞g(x)−h(x)dx=limt→∞∫1tg(x)−h(x)dx

Y ahora si, por el teorema fundamental del cálculo:

limt→∞∫t1g(x)−h(x)dx=limt→∞T(t)−T(1)=limt→∞4t√−4limt→∞∫1tg(x)−h(x)dx=limt→∞T(t)−T(1)=limt→∞4t−4

Si has hecho ese límite, sabrás que:

limt→∞4t√−4=∞limt→∞4t−4=∞

Así que, al parecer, el área de esta cosa es infinita:

Y como esta cosa tiene la misma área que lo que nos interesaba:

Entonces el área de lo que nos interesaba es infinita, Badaboom Badabang.

El número −1.5−1.5 no representa nada, porque si en lugar de elegir la integral de 00 a 33, la hubieras elegido de 00 a 44, o de 00 a tt con t>1t>1, la zona que intentas integrar seguiría teniendo esta franja, que tiene un área infinita. Así que el número no significa nada.