¿Por qué hay un signo de integral en los violines?

La respuesta simple es: no lo hay. A lo que te refieres es a la forma de lo que llamamos los "agujeros f", que deberían ofrecer una pista sobre cuál es la forma. Es una letra F en cursiva. Note las pequeñas muescas que representan la barra transversal en el medio de la F.

En cuanto a por qué está allí, ese es el orificio de sonido donde el aire vibrante en el cuerpo del instrumento comunica su energía al aire exterior para que se pueda escuchar el instrumento. Cada instrumento de cuerda acústico tiene uno: a veces tiene la forma de una 'C' como en un contrabajo; a veces es un círculo como en una guitarra.

Entonces, ¿por qué la letra cursiva F? No soy luthier ni acústico, pero estoy bastante seguro de que la apertura larga y estrecha permite una transmisión eficiente de la amplia gama de tonos sin una reducción importante en el área de la cara del instrumento. Los extremos suavemente redondeados minimizan el riesgo de que se desarrollen grietas en la madera muy delgada. La ligera inclinación o ángulo de la letra cursiva significa que la veta de la madera se interrumpe por un lapso más corto. Las muescas de la barra transversal también sirven como una indicación de dónde deben alinearse los pies del puente.

En resumen, la F cursiva es una solución visualmente estética, desarrollada a través de décadas de experimentación y siglos de tradición, al desafío de cómo llevar el sonido del instrumento desde su interior hacia el exterior sin comprometer indebidamente el frágil cuerpo.