Un objeto se mueve de manera que la velocidad al cabo de t minutos es v(t) =t tan^−1 t metros por minuto. ¿Qué distancia recorre el objeto durante...

Nos interesa la ecuación del movimiento del objeto:

x(t)x(t)

La definición de velocidad es:

v(t)=ddtx(t)v(t)=ddtx(t)

Por lo tanto, para hallar x(t), la posición en función del tiempo, tenemos que integrar la ecuación de velocidad:

x(t)=∫t0v(t)dt=∫t0tarctan(t)dtx(t)=∫0tv(t)dt=∫0ttarctan⁡(t)dt

Esta es una gráfica de la velocidad y la posición en función del tiempo:

la integral podemos reordenarla y escribir

x(t)=∫t0arctan(t)tdtx(t)=∫0tarctan⁡(t)tdt

Podemos resolver esta integral integrando por partes:

∫fdg=fg−∫gdf∫fdg=fg−∫gdf

donde

f=arctan(t)f=arctan⁡(t)

y

dg=tdtdg=tdt

De una tabla de integrales obtenemos

∫arctan(t)dt=1t2+1+C∫arctan⁡(t)dt=1t2+1+C

por lo tanto,

df=1t2+1dtdf=1t2+1dt

y

g=t22g=t22

Para t=0t=0, x=0,x=0, por lo tanto C=0C=0

Entonces,

x(t)=12[arctan(t)t2−∫t0t2t2+1]x(t)=12[arctan⁡(t)t2−∫0tt2t2+1]

reordenamos los términos en la integral:

−∫t0t2+1−1t2+1dt=−∫t01−1t2+1dt−∫0tt2+1−1t2+1dt=−∫0t1−1t2+1dt

Integrando,

x(t)=12[arctan(t)t2−t+arctan(t)]x(t)=12[arctan⁡(t)t2−t+arctan⁡(t)]

Finalmente:

x(t)=12[arctan(t)(t2+1)−t]x(t)=12[arctan⁡(t)(t2+1)−t]

Ya podemos usar la ecuación para el cálculo. La distancia recorrida por el objeto en el segundo minuto es la distancia recorrida desde t=1t=1 hasta t=2,t=2, es decir,

d=x(2)−x(1)d=x(2)−x(1)

x(2)=1,768mx(2)=1,768m

x(1)=0,2853mx(1)=0,2853m

d=1,483md=1,483m ∎